1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 pn=(an+丨 an 丨）/2，q n=(an-丨 an 丨）/2 ，n=1,2,则下列命题正确的是（A）若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 都收敛（B）若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn 都收敛（C）若 an 条件收敛，则 pn 与 qn 的敛散性都不定（D）若 an 绝对收敛，则 pn 与 qn 的敛散性都不定2 设一下命题：若 (u2n-1+u2n)收敛，则 un 收敛.若 un 收敛，则 un+1000收敛.若 un+1/un1，则 un 发散.若 (un+v
2、n)收敛，则 un， vn 都收敛.则以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）3 设 an0，n=1,2,若 an 发散， （-1） n-1an 收敛，则下列结论正确的是（A） a2n-1 收敛， a2n 发散.（B） a2n 收敛， a2n-1 发散.（C） (a2n-1+a2n)收敛.（D） (a2n-1-a2n)收敛.4 若 an 收敛，则级数（A） 丨 an 丨收敛（B） （-1） nan 收敛（C） anan+1 收敛（D） (an+an+1)/2 收敛5 设u n是数列，则下列命题正确的是（A）若 un 收敛，则 （u 2n-1+u2n）收敛.（B）若 (u2n-1+u2n)
3、收敛，则 un 收敛.（C）若 un 收敛，则 (u2n-1-u2n)收敛.（D）若 (u2n-1-u2n)收敛，则 un 收敛.6 已知级数 据对收敛，级数 条件收敛，则（A）0a1/2（B） 1/2a1（C） 1a3/2（D）3/2a 27 下列各项正确的是8 设 un=（-1） 2ln ，则级数9 设 an0（n=1，2，且 an 收敛，常数 （0，/2),则级数 （-1）n(ntan/n)a2n（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关10 设 un0（n=1,2，），且（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性根据所给的条件不能判定11 的收敛半径为（A）5（
4、B） 4（C） 3（D）212 设幂级数 anxn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan(x-1)n+1 的收敛区间是（A）(-2,4）（B） (-2,5）（C） (-2,3）（D）(-2,1）13 设 ， 1， 2 线性相关， 2， 3 线性无关，则( ) （A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C） 1 可用 ， 2， 3 线性表示（D） 可用 1,2 线性表示二、填空题14 已知幂级数 an(x+2)n 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 an(x-3)n 的收敛域为_.15 设a n单调减少， an=0，S n= ak(n=1,2,)无界，则幂级
5、数 an（x-1) n 的收敛域为_.16 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3 的正、负惯性指数都是1，则 a=_17 设向量组 1， 2， 3 线性无关，问常数 a，b，c 满足什么条件时，a 1-2，b 2-3， c3-1 线性相关?三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 已知 f(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 fn(1)=e/n，求函数项级数 fn(x)之和19 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值。20 求幂级数 x2n 在区间（-1,1）内的和函数 S（x）.21
6、 设银行存款的年利率为 r=005，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元 ?22 幂级数 xn 的收敛半径为_.23 幂级数 x2n-1 的收敛半径为_.24 求幂级数 xn/n 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性 .25 求幂级数 x2n 的收敛域和函数.26 将函数 f(x)=x/(2+x-x2)展开成 x 的幂级数.27 将函数 y=ln(1-x-2x2)展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间.28 将函数 f(x)=1/(x2-3x-4)展开
7、成 x-1 的幂级数，并指出其收敛区间.29 30 有 k 个坛子，每一个装有 n 个球，分别编号为 1 至 n，今从每个坛子中任取一球，求 m 是所取的球中的最大编号的概率31 已知 P(A)=04，P(B)=025，P(A-B)=025，求 P(AB)，P(AB)，P(B-A)32 将 13 个分别写有 A、A、A、C、E、H、I、I、M、M 、N 、T、T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN”的概率33 一个均匀的四面体，其第一面染红色，第二面染白色，第三面染黑色，而第四面染红、白、黑三种颜色，以 A、B、C 分别记投掷一次四面体，底面出现红、白、黑的三个事件
8、，判断 A、B、C 是否两两独立，是否相互独立34 设 1， 2， , r， 都是 n 维向量， 可由 1， 2，, r 线性表示，但 不能由1， 2，, r-1 线性表示，证明：r 可由 1， 2， , r-1， 线性表示考研数学三（无穷级数）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 A【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 D【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】
9、 A【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 A【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 A【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 A【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 C【知识模块】 无穷级数二、填空题14 【正确答案】 (1,5【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 0,2)【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 -2【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 abc=1【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 由已知条件可知 fn(x)满足 fn
10、(x)-fn(x)=xn-1ex 其通解为 fn(x)=ex（x n/n+C） .由条件 f1(x)=e/n,可确定常数 C=0，故 fn(x)=ex（x n/n+C）.从而【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 1/e【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 时，愿幂级数收敛.【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 1-x-2x 2=(1-
11、2x)(1+x)可知，ln(1-x-2x 2)=ln(1+x)+ln(1-2x)【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 每次取球编号有 n 种可能，k 次取球共有 nk 种可能，而“取得号码不超过 m”的可能取法有 mk，类似地，“取得号码不超过 m-1”的可能取法有(m-1)k，故“m 为最大号码” 的取法有 mk- (m-1)k 种，则 P(m 为最大号码)=m k-(m-1)k/nk【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 利用概率性质 P(A-B)=P(A)-P(AB)，有P(AB)=P(A)-P(A
12、-B)=04-0 25=015；根据加法公式，得P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=04+0 25-015=05；根据减法公式，有P(B-A)=P(B)-P(AB)=025-015=0 1；【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 P(13 个卡片排成单词“MATHEMATICIAN”)=(3!1112!2!12!)/13!=48/13!【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 根据题意，有 P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4， P(ABC)=1/4，因此P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，A，B，C 两两独立，而 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C)，故 A，B，C 不相互独立【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 因为 可由 1， 2，, r 线性表示，设 =k 11+k22+kr-1r-1+krr， 又因为 不能由 1， 2，, r-1 线性表示，所以 kr0，故 r=(1/kr)(p - k 11-k22-kr-1r-1)， 即 r 可由 1， 2，, r-1， 线性表示【知识模块】 无穷级数
