1、考研数学三（无穷级数）-试卷 4 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设级数 发散(a n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 （分数：2.00）A.发散B.收敛于C.收敛于 0D.敛散性不确定3.设 收敛，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛，又 0k ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关5.下列结论正确的是( ) （分数：2
2、.00）A.B.C.D.6.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关7.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 k 的取值有关8.设 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.级数 （分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设
3、f(x)= S 0 = 0 2 f(x)e 一 x dx，S 1 = 2 4 f(x 一 2)e 一 x dx，S n = 2n 2n+2 +2f(x一 2n)e 一 x dx，求 （分数：2.00）_14.判断级数 （分数：2.00）_15.判断级数 （分数：2.00）_16.判断级数 （分数：2.00）_17.判断级数 （分数：2.00）_18.设 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_19.判断级数 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_(2).若 （分数：2.00）_20.求幂级数 （
4、分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.求幂级数 （分数：2.00）_23.求幂级数 （分数：2.00）_24.验证 y=x+ （分数：2.00）_25.将 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（无穷级数）-试卷 4 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设级数 发散(a n 0)，令 S n =a 1 +a 2 +a n ，则 （分数：2.00）A.发散B.收敛于 C.收敛于 0D.敛散性不确定解析：解析：因为正项级数 发
5、散，所以 =+， 令 S“ n = 因为 3.设 收敛，则下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)不对，如 收敛，但 发散；(B)不对，如 收敛， 也收敛；(C)不对，如 收敛，但4.设 a n 0(n=1，2，)且 收敛，又 0k ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 k 有关解析：解析：令 u n =(一 1) n 因为|u n |= a 2n ka 2n ，而 a n 收敛，所以 ka 2n 收敛，于是 5.下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：(A)正确，因为 0(u n n )
6、2 2(u n 2 + n 2 )，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 (u n n ) 2 收敛；(B)不对，如 u n = u n n = u n 收敛，而 显然 u n n (n=1，2，)且 6.设 a 为任意常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与常数 a 有关解析：解析：因为 单调减少且以零为极限，所以 发散，所以7.设 k0，且级数 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 k 的取值有关解析：解析：因为 都收敛，所以8.设 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解
7、析：因为 a n (x 一 1) n 在 x=一 1 处收敛，即 a n (一 2) n 收敛，所以 a n t n 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|2 一 1|R，所以级数 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 得收敛半径为 R=2，当 x=一 2 时级数收敛，当 x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为一 2，2)，令 S(x)= 则 S(x)=10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xln(1 一 x 2 )+x 3 一 x 3 ln(1 一 x 2 )(一1x1)）解
8、析：解析： 而 =一 ln(1 一 x 2 )(一 1x1)， 一 x 2 =一 ln(1 一 x 2 )一 x 2 (一 1x1)， 所以 11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 f(x)= S 0 = 0 2 f(x)e 一 x dx，S 1 = 2 4 f(x 一 2)e 一 x dx，S n = 2n 2n+2 +2f(x一 2n)e 一 x dx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 0 = 0 2 f(x)e 一
9、 x dx= 0 1 xe 一 x dx+ 1 2 (2 一 x)e 一 x dx= 令t=x 一 2，则 S 1 =e 一 2 0 2 f(t)e 一 t dt=e 一 2 S 0 ， 令 t=x 一 2n，则 S n =e 一 2n 0 2 f(t)e 一t dt=e 一 2n nS 0 ， )解析：14.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 是正项级数，又 收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数 )解析：15.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 发散，由比较审敛法的极限形式得级数 )解析：16.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因
10、为 所以级数 )解析：17.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 为发散的正项级数，令 S n =a 1 +a 2 +a n (n=1，2，)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然S n n=1 ，单调增加，因为级数 a n 发散，所以 S n =+ 对交错级数 单调减少，且 )解析：19.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 是交错级数， )解析：设 （分数：4.00）(1).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，由 =0，根据极限的定义，存在 N0，当 nN 时， 1，即 0a n b n ，由 收
11、敛得 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛，从而 )解析：(2).若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据(1)，当 nN 时，有 0a n b n ，因为*发散，所以*发散，由比较审敛法，*发散，进一步得*b n 发散)解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1 时，由 绝对收敛，所以级数 )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为 (4) n 一 1 (n)，所以幂级数的收敛域为(一 4，4) )解析：22.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+) )解析：23.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则收敛半径为 R=2， )解析：24.验证 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数 y=x+ 的收敛域为一 1，1 即级数 )解析：25.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
