1、考研数学三（无穷级数）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定3.已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 a n = (n=1，2，3，)，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列命题中正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列命题中错误的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.
2、对于级数 ，其中 u n 0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 0u n ，则下列级数中一定收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关11.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛二、填空题(总题数：17，分数：34.00)12.设 a 为正常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 a 为常数，若级数 （分数：2.00）填空项 1:_14
3、.级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_16.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:_23.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_24.e x 展开成(x3)的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_25.级数 （
4、分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_26.若 （分数：2.00）填空项 1:_27.函数 f(x)=cosx 展开成(x+ （分数：2.00）填空项 1:_28.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_考研数学三（无穷级数）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不确定解析：解析：由 3.已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则 ( ) （分数：2.00
5、）A.B.C.D. 解析：解析：设 u n =(1) n n ， 则当 n时，u n 的敛散性相同，故 而由 条件收敛可知 031，即 23 若使两个结论都成立，只有 4.设 a n = (n=1，2，3，)，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 a n =cosn ，所以级数 是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此 收敛，因为 a n 2 =ln 2 (1+ )在 n时与 是等价无穷小，且调和级数 发散，所以 5.下列命题中正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为 w n u n v n ，所以 0u n w n v n w n 又因
6、为 收敛，所以 (u n w n )收敛，因而 (u n w n )收敛故 收敛 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 6.下列命题中错误的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由级数收敛的性质知命题(A)正确 由反证法可知命题(B)正确 若设 ，这两个级数都发散，但是7.对于级数 ，其中 u n 0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因(1) n1 u n =u n =u n ，由 u n 收
7、敛知 (1) n1 u n 绝对收敛，命题(B)正确(A)错误：如 ；(C)，(D)错误：如 8.下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由幂级数 a n x n 在收敛域(R，R)上的和函数性质可知，命题(C)正确 (A)错误：如 ，收敛域为(1，1，但在 x=1 处， 条件收敛 (B)错误：因为可能 R=0 或 R=+ (D)错误：由幂级数的定义可知 9.设 0u n ，则下列级数中一定收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因 0u n ，有 u n 2 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D) (
8、A)，(C)错：如 (B)错：如 10.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关解析：解析：因 01 收敛，因此11.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛 D.绝对收敛解析：解析：设 u n =(1) n1 ln(1+ ) 对于 发散，故由比较审敛法的极限形式可知 u n 发散 而 为交错级数因u n+1 = =u n (或因当 x0 时， 0)，因此u n 即ln(1+ )是单调递减数列，且极限显然为 0由莱布尼茨定理知， 二、填空题(总题数：17，分数：34.00)12.设 a 为正常数，则 （分数：2.00）填空项
9、1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：因13.设 a 为常数，若级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：因级数 (u n a)收敛，所以 (u n a)=0，从而 14.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因级数 为等比级数，其公比 q 满足q= =1故 收敛且和为15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1）解析：解析：因 为不缺项的 x 的幂级数，又因 = =1，故 R=1 在 x=1 处， 收敛；在x=1 处， 发散 故16.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因 (1) n .x n ，1x1故 17.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 S(x)= ，x(a，a) 因 ，故 S(x)=19.函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3+ ）解析：解析：f(x)=ln(3+x)=ln3(1+ )=ln3+1n(1+ ) 因 ln(1+x)= x n+1 (
11、1x1)，故 f(x)=ln3+ln(1+ )=ln3+ 1 20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3)）解析：解析：令 y=x2，则 为不缺项级数，a n = =1，故 R=1当 y=1 时， 发散(p 级数，p= 1)，当 y=1 时， 为收敛的交错级数因此 的收敛域为1，1) 可知1x21，即 1x3 时，原级数 21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：由 收敛，知 =0，故 =(0)，从而22.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：有界(或有上界)）解析：解析：级数 收敛等价于S
12、 n 收敛对于正项级数 23.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，1）解析：解析： 为缺项级数，不能通过 求 R，可用比值审敛法求收敛半径尺具体为： =x 2 当x 2 1，即x1 时，级数绝对收敛； 当x 2 1，即x1 时，级数发散，故 R=1 当 x=1 时，原级数 收敛；当 x=1 时，原级数 24.e x 展开成(x3)的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 3 ）解析：解析：e x =e 3+(x3) =e 3 .e x3 ，因 e x = +(x+) 从而 e x =e 3 .e x3 =e 3 25.级数 （分数
13、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：p1）填空项 1:_ （正确答案：0p1）填空项 1:_ （正确答案：p0）解析：解析：设 u n =(1) n1 当 p1 时， 绝对收敛； 当 0p1 时， 为交错级数且u n = =u n+1 ， =0故由莱布尼茨定理 收敛且为条件收敛； 当 p0 时， 26.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因 a n x n 在 x=3 收敛，故由阿贝尔定理，x3 时， a n x n 绝对收敛 又因 a n x n 在 x=3 条件收敛，故x3 时， a n x n 发散如若不然，必存在x 1 ，使x 1 3 且有在 x=x 1 处 a n x n 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1 时，特别是 x=3 时 27.函数 f(x)=cosx 展开成(x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：f(x)=cosx= 因 cosx= ，x+，sinx= ，x+ 有 f(x)28.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 S(x)= (1) n1 nx n1 ，x(1，1) 因 ，故 s(x)= 0 x S(x)dx)=
