1、考研数学三（无穷级数）-试卷 5 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1x)B.C.ln(x1)D.ln(x1)3.设 u n =(1) n ln(1+ )，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.函数项级 （分数：2.00）A.(1，1)B.(1，0)C.1，0D.1，0)5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.2C.4D.16.已知级数(1) （分数：2.00）A.级数(1)收敛
2、，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散7.当级数 都收敛时，级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛C.一定发散D.可能收敛，也可能发散8.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关9.若正项级数 收敛，级数 发散，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设数列a n 单调减少， (n=1，2，)无界，则幂级数 （分数：2.00）A.(1，1B.1，1)C.0，2)D.(0，211.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性由所给条件
3、无法确定二、解答题(总题数：32，分数：64.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.判别下列级数的敛性(k1，a1)： （分数：2.00）_16.判别级数 （分数：2.00）_17.判别级数 （分数：2.00）_18.判别级数 （分数：2.00）_19.判别级数 （分数：2.00）_20.已知 f n (x)满足 f n (x)=f n (x)+x n1 e x (n 为正整数)，且 f n (1)= ，求函数项级数 （分数：2.00）_21.设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n
4、+1)x 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n 求： (1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n (2)级数 （分数：2.00）_22.将函数 f(x)= （分数：2.00）_23.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_24.设 a n = 0 n xsinxdx，n=1，2，试求 （分数：2.00）_25.求级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_28.设 都是正项级数试证： （分数：2.00）_29.证明：级数 （分数：2.00）_30.设 u 1 =2，u n+1 = (n=1，2
5、，)证明：级数 （分数：2.00）_31.试判断级数 （分数：2.00）_32.设 是正项级数，并设 =b(1)求证：若 b1，则 收敛；若 b1，则 （分数：2.00）_33.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.00）_34.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_35.将 y=sinx 展开为(x （分数：2.00）_36.将 f(x)= （分数：2.00）_37.设 f(x)= (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数；(2)分别判断级数 （分数：2.00）_38.设 a n = ，n=1，2证明：级数 （分
6、数：2.00）_39.(1)证明 (2)求 （分数：2.00）_40.求级数 （分数：2.00）_41.(1)求函数项级数 e x 2xnxln2 ln3 S(x)dx（分数：2.00）_42.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n1 ，n=2，3，证明：在x 时幂级数 （分数：2.00）_43.设 (1)求 y(0)，y(0)，并证明：(1x 2 )yxy=4； (2)求 的和函数及级数 （分数：2.00）_考研数学三（无穷级数）-试卷 5 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题
7、给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1x)B. C.ln(x1)D.ln(x1)解析：解析：设 S(x)= (x1)，则 S(0)=0 因 故 S(x)= 0 x S(x)dx+S(0)= 0 x dx+0=ln(1x)=1n 3.设 u n =(1) n ln(1+ )，则级数 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 为交错级数， 为正项级数 因u n = =u n+1 ，且 =0，则由莱布尼茨定理， 收敛 因 4.函数项级 （分数：2.00）A.(1，1)B.(1，0)C.1，0D.1，0
8、) 解析：解析：因 令 y=x+ ，原级数为 ，而 = =2，故 R= 又因 y= 发散而 y= 时， 收敛，从而 的收敛域为 又因 y=x+ ，所以1，0)为原级数5.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.2 C.4D.1解析：解析： 因 (1+x) m =1+mx+ x n +， 其中1x1，故1 6.已知级数(1) （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散 解析：解析：设 u n =1 ，则u 2n 为单调增数列，故 0，从而级数(1)发散，由级数 7.当级数 都收敛时，级数 （分数：2.00）A.一定条
9、件收敛B.一定绝对收敛 C.一定发散D.可能收敛，也可能发散解析：解析：因级数 都为正项级数，且收敛，又 a n b n = 由比较审敛法， a n b n 收敛，即 8.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关 解析：解析：当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时，9.若正项级数 收敛，级数 发散，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：级数 =0=存在 N，当 nN 时，a n 2 a n ，由比较审敛法， 10.设数列a n 单调减少， (n=1，2，)无界，则幂级数 （分数：2.00）A
10、.(1，1B.1，1)C.0，2) D.(0，2解析：解析：本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题 因数列a n 单调减少，且 =0，故根据莱布尼茨判别法知，交错级数 (1) n a n 收敛，即幂级数 a n (x1) n 在 x=0 处条件收敛； 又 S n = a k (n=1，2，)无界，所以幂级数 a n (x1) n 在 x=2 处发散； 综上，幂级数 11.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性由所给条件无法确定解析：解析：由 =0所考查级数为交错级数，但不能保
11、证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和 故原级数收敛 再考查取绝对值后的级数 发散，所以二、解答题(总题数：32，分数：64.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若 收敛，则 =0 对于级数 ，由 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 为正项级数，设 u n = ，由 )解析：15.判别下列级数的敛性(k1，a1)： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1，所以该级数收敛 (2)因为 =01
12、，所以该级数收敛 (3)因为 )解析：16.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 易知当 n 充分大时， 单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 )解析：17.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0u n = )解析：18.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式， 由于 ，表明级数 发散；而级数 )解析：19.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u n = 设 f(x)= 0，f(x)单调减少， 因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的 但级数 )解析：20.已知 f n (x)满足 f n (x)=f
13、 n (x)+x n1 e x (n 为正整数)，且 f n (1)= ，求函数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知，函数 f n (x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n (x)f n (x)=x n1 e x ， 其通解为 f n (x)=e x ( +C) 由条件 f n (1)= 得 C=0，所以，f n (x)=e x ，于是 记 S(x)= ，容易求出其收敛域为1，1)，且 S(0)=0，当 x(1，1)时，求导得 S(x)= 于是得 S(x)=S(0)+ 0 x S (t)dt= 0 x dt=ln(1x) 由 S(x)=ln(1x)在 x=1 点的连续
14、性知，上述和函数在 x=1 点也成立于是，当 1x1 时，有 )解析：21.设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n+1)x 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n 求： (1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n (2)级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)解方程 nx 2 + =(n+1)x 2 + ，得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为 a n = 根据对称性可得 (2)因为 ，n=1，2，所以 )解析：22.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 由已知展开式知 )解析：23.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：
15、2.00）_正确答案：(正确答案： =x 3 ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为 ，收敛；当 x=1 时，级数为 ，发散所以，幂级数的收敛域为(1，1 记 S(x)= ，(x)=xS(x)= ，一 1x1，则 (0)=0，S(0)=1，且 (x)= ，1x1 因为 于是 令 x=1，得 )解析：24.设 a n = 0 n xsinxdx，n=1，2，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=nt，则 a n = n 0 (nt)sintdt=n 0 n sinxdx 0 n sinxdx，所以 a n = 0 n sinxdx= 0 sin
16、xdx=n 2 ，n=1，2， 记 S(x)=， n 2 x n ，1x1，因为 ，1x1，逐项求导，得 ，1x1 整理得 ，1x1 再次逐项求导，得 ，1x1 整理得 ，1x1 从而 )解析：25.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 y(0)=1，y(0)=0于是得到如下微分方程： 特征方程为 r 2 1=0，r=1，得通解： y=C 1 e x +C 2 e x 求导，得 y=C 1 e x C 2 e x 将初值条件代入，解得 C 1 =C 2 = 故 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0，所以该幂级数的收敛域为(，+) 由 S
17、(x)= 逐项求导 4 次，依次得 整理得 S (4) (x)S(x)=0解此四阶常系数齐次线性微分方程得 S(x)=C 1 e x +C 2 e x +C 3 cosx+C 4 sinx 代入初值条件 S(0)=1，S(0)=S(0)=S(0)=0，得 C 1 =C 2 = ，C 3 = ，C 4 =0 所以 S(x)= )解析：27.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然，0 收敛，由比较审敛法得 收敛 (2)因 收敛，则由比较审敛法得 收敛 (3)因 又因 发散，则由比较审敛法得 )解析：28.设 都是正项级数试证： （分数：2.00）_正确答案
18、：(正确答案：(1) u n 收敛，且有 收敛 (2)u n 单调减少=u n+1 u n =u n+1 2 u n u n+1 =u n+1 收敛 (3) (4) )解析：29.证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别法的(2)，故莱布尼茨判别法失效因为u= ，所以由正项级数的比较审敛法知， 发散， 又因为 S 2n = 由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n 单调递减，再由 S 2n 知S 2n 单调递减有下界，故S 2n 收敛，记 =S，易知 =0，则 )解析：30.设 u 1 =2，u n+1 = (n=1，2，)证明：级数 （分数：2
19、.00）_正确答案：(正确答案：由算术平均值不小于其几何平均值得 u n+1 = =1，即数列u n 有下界 1，由此又得 u n+1 u n = (1u n 2 )0，即u n 单调减少，则根据单调有界准则知极 必存在，由u n 单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有 0 u n u n+1 因 S n = (u k u k+1 )=u 1 u n ， 存在，故极限 存在，则由级数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数 )解析：31.试判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于该级数的通项 u n = ，且当 n2 时有 0 ，因此 sin 0，则题给的级数是交
20、错级数，它可以改写为 因u n = ，且当 n2 时 发散，由比较审敛法知 发散，又因 =1，则由极限形式的比较审敛法知 发散，即题给的级数不是绝对收敛 显然，数列u n 满足 =0，设函数 f(x)=sin ，则在 x2 时，f(x)= 0，故 f(x)在2，+)内单调减少，从而数列u n 单调减少，于是，题给的级数 )解析：32.设 是正项级数，并设 =b(1)求证：若 b1，则 收敛；若 b1，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 b1，任取 0，使得 be1，因为 N，当 nN 时， 因b1，所以 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛 又假设 b1，任取 0，使得b+
21、1，因为 N，当 nN 时， 因 b+1，所以 发散，由正项级数的比较审敛法知发散 (2)级数 发散，这时 b= =1； 级数 根据积分审敛法易知其收敛，这时令x=lnn，n+=x+，则有 所以有 b= )解析：33.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的 对于(3)，因幂级数 a n (xx 0 ) n 在点 x 1 处收敛，则 Rx 1 x 0 ； 另一方面，因幂级数 )解析：34.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
22、 t=xb，收敛中心 x 0 =b 的幂级数 a n (xb) n 化为收敛中心 t 0 =0的幂级数 a n t n 根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为 a n (xb) n 在 x=0 处收敛，所以 a n t n 在 t=b 处收敛，从而当tb=b时，幂级数 a n t n 绝对收敛 由于 a n (xb) n 在 x=2b 处发散，故 a n t n 在 t=b 处发散，进而当tb时，幂级数 a n t n 发散 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 a n x n 的收敛半径 R=b，其收敛域为bxb 注意到幂级数 )解析：35.将 y=sinx 展开为(x （分数：2.0
23、0）_正确答案：(正确答案： )解析：36.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果此题这样做：f(x)= 是行不通的改用“先积后导”的方法： )解析：37.设 f(x)= (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数；(2)分别判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 ，x1，则 f(x)展开为 x 的幂级数 (2)根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x 0 =0 处的高阶导数 则所考虑的 都为正项级数 取 v n = 收敛因 故由极限形式的比较审敛法得 收敛注意到 )解析：38.设 a n = ，n=1，2证明：级
24、数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 收敛，故 收敛 为求 的和，作 S(x)= ，x1，1)， 从而， )解析：39.(1)证明 (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)由于 由待定系数法得， ，则 )解析：40.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题 本题要求 给出幂级数 ，其收敛区间为(，+)，并记其和函数 逐项积分得 所以 两边求导得 S(x)= ，故 )解析：41.(1)求函数项级数 e x 2xnxln2 ln3 S(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确
25、答案：(1)该函数项级数的通项 u n (x)=ne ux ，u n+1 (x)=(n+1)e (n+1)x ， 故，当 1，即 x0 时， u n (x)收敛； 当 x0 时， u n (x)发散； 当 x=0 时，该级数成为 1+2+n+，显然是发散的， 所以该级数当 x0 时收敛于 S(x) (2)S(x)=e x +2e 2x +ne nx t+2t 2 +nt n + =t(1+2t+nt n1 +)=t(t+t 2 +t n +) = ，x0 于是 )解析：42.设数列a n 满足 a 1 =a 2 =1，且 a n+1 =a n +a n1 ，n=2，3，证明：在x 时幂级数 （
26、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然，a n 是正项严格单调增加数列，且有 a 3 =2，a 4 =a 2 +a 3 2a 3 =2 2 ，假设 a n 2 n2 ，则有 a n+1 =a n +a n1 2a n 2 n1 ，故由归纳法得 a n n2于是，所考虑的级数的通项有a n x n1 (2x) n1 因级数 (2x) n1 在2x1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 a n x n1 在2x1，即x 时绝对收敛 (2)原幂级数化为 移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为 x 的幂级数，有 而 又是幂级数 的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂 级数的
27、系数， )解析：43.设 (1)求 y(0)，y(0)，并证明：(1x 2 )yxy=4； (2)求 的和函数及级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 y(x)= (2x) 2n ，得 y(0)=0； 又 y(x)= ，于是 y(0)=0， y(x)= 以下证明微分方程成立： (2)下面求解微分方程(1x 2 )yxy=4 首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令 y=p，考生可以自练但是本题更好的做法如下： 微分方程两边同乘以 (想想看这个 是怎么推导出来的)，则有 于是有 =4arcsinx+C 根据 y(0)=0=C=0，即 两边再积分，得 =2arcsin 2 x+C， 故 y(x)=2arcsin 2 x+C )解析：
