1、考研数学三（无穷级数）-试卷 6 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列结论中正确的是（分数：2.00）A.若数列u n 单调有界，则级数 B.若级数C.若级数 D.若级数 3.现有命题 （分数：2.00）A.与B.与C.与D.与4.若级数 （分数：2.00）A.1B.-1C.2D.-25.设常数 0 且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 A 有关6.设 u n = ，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设
2、 a0 为常数，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关8.设常数 a2，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关二、解答题(总题数：24，分数：48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.已知级数 （分数：2.00）_11.判定下列级数的敛散性： （分数：2.00）_12.判定下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_13.判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛： （分数：2.00）_14.求下列幂级数的收敛域： （分数：2.00）_15.求 （
3、分数：2.00）_16.求下列幂级数的和函数： （分数：2.00）_17.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_18.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_19.判别下列正项级数的敛散性： () （分数：2.00）_20.考察级数 ，p 为常数()证明： (n=2，3，4，)；()证明：级数 （分数：2.00）_21.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_22.讨论级数 （分数：2.00）_23.判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛) （分数：2.00）_24.判别级数 （分数：2.00）_25.判断如下命题是否正确：设无穷小 u n v n (n)，若级
4、数 （分数：2.00）_26.求下列幂级数的收敛域： （分数：2.00）_27.求下列幂级数的收敛域及其和函数： （分数：2.00）_28.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： (I) ln(1+x+x 2 )； () （分数：2.00）_29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： () （分数：2.00）_30.将 f(x)= （分数：2.00）_31.将下列函数展开成 x 的幂级数： （分数：2.00）_32.将函数 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（无穷级数）-试卷 6 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1
5、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列结论中正确的是（分数：2.00）A.若数列u n 单调有界，则级数 B.若级数 C.若级数 D.若级数 解析：解析：由级数收敛的概念知级数 收敛就是其部分和数列S n 收敛数列u n 单调有界只说明 存在；由S n 单调有界必存在极限即可判定级数 收敛，故选(B)而由级数 3.现有命题 （分数：2.00）A.与B.与 C.与D.与解析：解析：设 u n =(-1) n-1 (n=1，2，3，)，于是 发散可见命题不正确或把 去掉括号后所得的级数由级数的基本性质 5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且
6、收敛于原级数的和；但若加括号所得新级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛故命题不是真命题 设 的部分和 T n =S n+1000 -S 1000 ，(n=1，2，)，从而 收敛 设 ，由极限的保号性质可知，存在自然数 N，使得当 nN 时 成立，这表明当 nN 时 u n 同号且后项与前项的比值大于 1无妨设 u N+1 0，于是有 0u N+1 u N+2 u n (nN)，从而 有负项，可类似证明同样结论成立 可见命题与都是真命题 设 u n =1，v n =-1 (n=1，2，3)，于是 4.若级数 （分数：2.00）A.1
7、B.-1 C.2D.-2解析：解析：本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定 a 的取值 由 知收敛半径为 1，从而收敛区间为x-a1，即 a-1xa+1 又当 x-a=1 即 x=a+1 时，原级数变为 ，收敛；当 x-a=-1 即 x=a-1 时，原级数变为5.设常数 0 且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 A 有关解析：解析：利用不等式 2aba 2 +b 2 可得 6.设 u n = ，则级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 是交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的而7.设 a0 为常数，
8、则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关解析：解析：用分解法分解级数的一般项8.设常数 a2，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 a 有关解析：解析：由于 设常数 p 满足 1-p-1，则有 由正项级数比较判别法的极限形式知级数二、解答题(总题数：24，分数：48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.已知级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及 知，级数 收敛，其和数为 2，且 a n 0又由于 ，从而 设 的部
9、分和为 S n ，则 S n =a 1 +a n +a 2n-1 +a 2n =(a 1 +a n )+(a 2n-1 +a 2n ) 是 ，注意到 S 2n+1 =S 2n +a 2n+1 ， 因此 )解析：解析：注意到 的一个加括号级数，由题设知级数 的奇数项构成的级数 收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定11.判定下列级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 a1 时，1+a n a n ，因此 当 0a1 时，1+a n 2，因此 ，由级数收敛的必要条件可知 发散 ()注意到 x lnn =e lnnlnx =n lnx ，这样原级数转化为p 一级数 )解析
10、12.判定下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用比值判别法因 ，故原级数收敛 ()利用比较判别法的一般形式由于 发散，故原级数发散 ()利用比较判别法的极限形式由于 ，而级数 也发散 ()利用比较判别法的一般形式由不等式 ln(1+x)x(x0)可得 ()利用比较判别法的极限形式取 ，那么，由 ()注意到当 n时 ，由洛必达法则可得 )解析：13.判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 收敛，所以此级数绝对收敛 ()由于当 n 充分大时有 ，所以此级数为交错级数，且此时还有 )解析
11、14.求下列幂级数的收敛域： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 ()由于 的收敛半径 R=+，即收敛域 D 为(-，+) ()该幂级数缺偶次方项，即 a 2n =0，故不能用比值法来求其收敛半径此时，可将 x 看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理由于 故当 4x 2 1 即x 时级数绝对收敛；当4x 2 1 即，x 时通项不趋于 0，级数发散，所以收敛半径 R= ，发散故原幂级数的收敛域为 )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用公式，并以 x 2 代替其中的 x，则有 由于 arctanx 在-1，1上连续，幂级数 在-1，1上收敛，故当 x=1
12、 时上述展开式也成立即 arctanx= )解析：16.求下列幂级数的和函数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 S 1 (x)= ，则易知 S 1 (x)的收敛域为(-1，1)，且 S(x)=xS 1 (x)为求其和函数 S(x)首先求 S 1 (x)，在其收敛区间(-1，1)内进行逐项积分得 ()容易求得幂级数 的收敛域为-1，1)为求其和函数首先在收敛区间(-1，1)内进行逐项求导，得 又因为 S(0)=0，因此 S(x)=S(x)-S(0)= )解析：17.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用比值判别法 ()由于 ，所以，当 pe
13、时，级数 收敛；当pe 时，该级数发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列 是单调递增趋于 e 的，所以当p=e 时， ，即u n 单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的从而，级数 当 pe时收敛，pe 时发散 () ，因此，当 1 时，原级数收敛，当 1 时发散若 =1，则原级数为 )解析：18.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用比较判别法的极限形式，由于级数 发散，而且当 n时 所以原级数也发散 ()仍利用比较判别法的极限形式先改写 用泰勒公式确定 的阶由于()注意到 )解析：19.判别下列正项级数的敛散性： () （分数：2.00）_
14、正确答案：(正确答案：()直接利用定义来判别其收敛性由 可知 =4e -1 ，所以原级数收敛，且其和为 4e -1 ()首先因为x n 是单调递增的有界正数数列，所以 01- 现考察原级数的部分和数列S n ，由于 又x n 有界，即x n M(M0 为常数)，故 )解析：20.考察级数 ，p 为常数()证明： (n=2，3，4，)；()证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()将 ()容易验证比值判别法对级数 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n 上下界的估计，由 )解析：21.判别下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：
15、正确答案：()当 p0 时，有 (ln3) -p 1(n3)成立，即级数的一般项不是无穷小量，故级数发散 当 p0 时，令 发散，故级数发散 综合即知：无论常数 p 取何值，题设的级数总是发散的 ()因(lnn) lnn =e lnn.ln(lnn) =n ln(lnn) n 2 收敛，故级数收敛 ()当p1 时，由于 n3 时有 收敛，故级数收敛 当 p1 时，因 发散，故级数发散 )解析：22.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0，1时，x(1-x)sin 2n x0，从而 u n 0故 为正项级数 又sin 2n xx 2n (x0，1)，所以 )解析：23.判
16、别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 发散，所以原级数不是绝对收敛的原级数是交错级数，易知的单调性，令 f(x)= 可知当 x 充分大时 g(x)单调增加，从而 f(x)单调增加故当 n 充分大时单调减少这说明级数 满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的 ()由于 发散，这说明原级数不是绝对收敛的 由于 sinx 在第一象限是单调递增函数，而)解析：24.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意级数的一般项满足 )解析：解析：设 对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式
17、由于 u n 满足 可见级数不绝对收敛又因级数的一般项的绝对值 25.判断如下命题是否正确：设无穷小 u n v n (n)，若级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：若 )解析：26.求下列幂级数的收敛域： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(51)式计算收敛半径，首先计算 所以 R=1 再考察幂级数在两个端点 x=l 处的敛散性当 x=1 时，级数 从而满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛这样即得 的收敛域为-1，1) ()由于，所以其收敛半径为 2 又由于本题是关于 x+1 的幂
18、级数，所以收敛区间的两个端点为 x=-3 与x=1当 x=-3 时，原级数为 是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的这表明幂级数 的收敛域为(-3，1 () 有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(-2，4) ()考瘵 ，由题设 t=-3 时它收敛知收敛半径 R3，又 t=3 时其发散知 R3因此R=3，由此可知 )解析：27.求下列幂级数的收敛域及其和函数： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 均发散，所以其收敛域为(-1，1) 为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数设 当 x=0 时，上面的运算不能
19、进行，然而从原级数可直接得出 S(0)=a 0 =1综合得幂级数 容易看出 这就说明 S(x)在 x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质 ()利用同样的方法容易求得级数 的收敛域为(-1，1) )解析：28.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间： (I) ln(1+x+x 2 )； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ln(1+x+x 2 )= =ln(1-x 3 )-ln(1-x)，利用公式(511)，并分别以(-x 3 )与(-x)代替其中的 x，就有 ()由于 ，利用公式(513)，并以 x 2 代替其中的x，就有 注意函数 在点
20、x=-1 处也收敛，从而上式在端点 x=-1 处也成立，即 )解析：29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()由于 ln(2x 2 +x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1)，对于右端两项应用公式(511)，得 )解析：解析：使用间接法在指定点 x 0 处作泰勒展开，就要用 x-x 0 ，或者 x-x 0 的倍数与方幂等代替原来的 x30.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是 x n 的系数 ，由此可知当 n2 时有 )解析：31.将下列函数展开成 x 的幂级数： （分数：2.
21、00）_正确答案：(正确答案：()由于 ()被积函数的幂级数展开式为 逐项积分即得 )解析：解析：在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分其实在第()小题中由于分母含有(1-x) 2 ，也要借助于求导像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便而且某些题目也必须先展开，第()小题就是如此32.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=arctanx，f“(x)= ，将 f“(x)展开，有 从而当x1 时有f“(x)= )解析：
