【考研类试卷】考研数学三(无穷级数)-试卷6及答案解析.doc

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1、考研数学三(无穷级数)-试卷 6 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列结论中正确的是(分数:2.00)A.若数列u n 单调有界,则级数 B.若级数C.若级数 D.若级数 3.现有命题 (分数:2.00)A.与B.与C.与D.与4.若级数 (分数:2.00)A.1B.-1C.2D.-25.设常数 0 且级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与 A 有关6.设 u n = ,则级数 (分数:2.00)A.B.C.D.7.设

2、 a0 为常数,则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关8.设常数 a2,则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关二、解答题(总题数:24,分数:48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_10.已知级数 (分数:2.00)_11.判定下列级数的敛散性: (分数:2.00)_12.判定下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_13.判定下列级数的敛散性,当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛: (分数:2.00)_14.求下列幂级数的收敛域: (分数:2.00)_15.求 (

3、分数:2.00)_16.求下列幂级数的和函数: (分数:2.00)_17.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_18.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_19.判别下列正项级数的敛散性: () (分数:2.00)_20.考察级数 ,p 为常数()证明: (n=2,3,4,);()证明:级数 (分数:2.00)_21.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_22.讨论级数 (分数:2.00)_23.判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛) (分数:2.00)_24.判别级数 (分数:2.00)_25.判断如下命题是否正确:设无穷小 u n v n (n),若级

4、数 (分数:2.00)_26.求下列幂级数的收敛域: (分数:2.00)_27.求下列幂级数的收敛域及其和函数: (分数:2.00)_28.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间: (I) ln(1+x+x 2 ); () (分数:2.00)_29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数: () (分数:2.00)_30.将 f(x)= (分数:2.00)_31.将下列函数展开成 x 的幂级数: (分数:2.00)_32.将函数 f(x)= (分数:2.00)_考研数学三(无穷级数)-试卷 6 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1

5、.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列结论中正确的是(分数:2.00)A.若数列u n 单调有界,则级数 B.若级数 C.若级数 D.若级数 解析:解析:由级数收敛的概念知级数 收敛就是其部分和数列S n 收敛数列u n 单调有界只说明 存在;由S n 单调有界必存在极限即可判定级数 收敛,故选(B)而由级数 3.现有命题 (分数:2.00)A.与B.与 C.与D.与解析:解析:设 u n =(-1) n-1 (n=1,2,3,),于是 发散可见命题不正确或把 去掉括号后所得的级数由级数的基本性质 5:收敛级数加括号之后所得级数仍收敛,且

6、收敛于原级数的和;但若加括号所得新级数发散时,则原级数必发散;而当加括号后所得新级数收敛时,则原级数的敛散性不能确定,即原级数未必收敛故命题不是真命题 设 的部分和 T n =S n+1000 -S 1000 ,(n=1,2,),从而 收敛 设 ,由极限的保号性质可知,存在自然数 N,使得当 nN 时 成立,这表明当 nN 时 u n 同号且后项与前项的比值大于 1无妨设 u N+1 0,于是有 0u N+1 u N+2 u n (nN),从而 有负项,可类似证明同样结论成立 可见命题与都是真命题 设 u n =1,v n =-1 (n=1,2,3),于是 4.若级数 (分数:2.00)A.1

7、B.-1 C.2D.-2解析:解析:本题是一个具体的幂级数,可直接求出该级数的收敛域,再根据题设条件确定 a 的取值 由 知收敛半径为 1,从而收敛区间为x-a1,即 a-1xa+1 又当 x-a=1 即 x=a+1 时,原级数变为 ,收敛;当 x-a=-1 即 x=a-1 时,原级数变为5.设常数 0 且级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.收敛性与 A 有关解析:解析:利用不等式 2aba 2 +b 2 可得 6.设 u n = ,则级数 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析: 是交错级数,满足莱布尼茨判别法的两个条件,所以是收敛的而7.设 a0 为常数,

8、则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性与 a 有关解析:解析:用分解法分解级数的一般项8.设常数 a2,则级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 a 有关解析:解析:由于 设常数 p 满足 1-p-1,则有 由正项级数比较判别法的极限形式知级数二、解答题(总题数:24,分数:48.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:10.已知级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及 知,级数 收敛,其和数为 2,且 a n 0又由于 ,从而 设 的部

9、分和为 S n ,则 S n =a 1 +a n +a 2n-1 +a 2n =(a 1 +a n )+(a 2n-1 +a 2n ) 是 ,注意到 S 2n+1 =S 2n +a 2n+1 , 因此 )解析:解析:注意到 的一个加括号级数,由题设知级数 的奇数项构成的级数 收敛,从而可以由级数的性质通过运算来判定11.判定下列级数的敛散性: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()当 a1 时,1+a n a n ,因此 当 0a1 时,1+a n 2,因此 ,由级数收敛的必要条件可知 发散 ()注意到 x lnn =e lnnlnx =n lnx ,这样原级数转化为p 一级数 )解析

10、:12.判定下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()利用比值判别法因 ,故原级数收敛 ()利用比较判别法的一般形式由于 发散,故原级数发散 ()利用比较判别法的极限形式由于 ,而级数 也发散 ()利用比较判别法的一般形式由不等式 ln(1+x)x(x0)可得 ()利用比较判别法的极限形式取 ,那么,由 ()注意到当 n时 ,由洛必达法则可得 )解析:13.判定下列级数的敛散性,当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 收敛,所以此级数绝对收敛 ()由于当 n 充分大时有 ,所以此级数为交错级数,且此时还有 )解析

11、:14.求下列幂级数的收敛域: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()因 ()由于 的收敛半径 R=+,即收敛域 D 为(-,+) ()该幂级数缺偶次方项,即 a 2n =0,故不能用比值法来求其收敛半径此时,可将 x 看成数,把原幂级数当作一个数项级数来处理由于 故当 4x 2 1 即x 时级数绝对收敛;当4x 2 1 即,x 时通项不趋于 0,级数发散,所以收敛半径 R= ,发散故原幂级数的收敛域为 )解析:15.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用公式,并以 x 2 代替其中的 x,则有 由于 arctanx 在-1,1上连续,幂级数 在-1,1上收敛,故当 x=1

12、 时上述展开式也成立即 arctanx= )解析:16.求下列幂级数的和函数: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 S 1 (x)= ,则易知 S 1 (x)的收敛域为(-1,1),且 S(x)=xS 1 (x)为求其和函数 S(x)首先求 S 1 (x),在其收敛区间(-1,1)内进行逐项积分得 ()容易求得幂级数 的收敛域为-1,1)为求其和函数首先在收敛区间(-1,1)内进行逐项求导,得 又因为 S(0)=0,因此 S(x)=S(x)-S(0)= )解析:17.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用比值判别法 ()由于 ,所以,当 pe

13、时,级数 收敛;当pe 时,该级数发散;当 p=e 时,比值判别法失效注意到数列 是单调递增趋于 e 的,所以当p=e 时, ,即u n 单调递增不是无穷小量,所以该级数也是发散的从而,级数 当 pe时收敛,pe 时发散 () ,因此,当 1 时,原级数收敛,当 1 时发散若 =1,则原级数为 )解析:18.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()利用比较判别法的极限形式,由于级数 发散,而且当 n时 所以原级数也发散 ()仍利用比较判别法的极限形式先改写 用泰勒公式确定 的阶由于()注意到 )解析:19.判别下列正项级数的敛散性: () (分数:2.00)_

14、正确答案:(正确答案:()直接利用定义来判别其收敛性由 可知 =4e -1 ,所以原级数收敛,且其和为 4e -1 ()首先因为x n 是单调递增的有界正数数列,所以 01- 现考察原级数的部分和数列S n ,由于 又x n 有界,即x n M(M0 为常数),故 )解析:20.考察级数 ,p 为常数()证明: (n=2,3,4,);()证明:级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()将 ()容易验证比值判别法对级数 失效,因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n 上下界的估计,由 )解析:21.判别下列正项级数的敛散性: (分数:2.00)_正确答案:

15、(正确答案:()当 p0 时,有 (ln3) -p 1(n3)成立,即级数的一般项不是无穷小量,故级数发散 当 p0 时,令 发散,故级数发散 综合即知:无论常数 p 取何值,题设的级数总是发散的 ()因(lnn) lnn =e lnn.ln(lnn) =n ln(lnn) n 2 收敛,故级数收敛 ()当p1 时,由于 n3 时有 收敛,故级数收敛 当 p1 时,因 发散,故级数发散 )解析:22.讨论级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x0,1时,x(1-x)sin 2n x0,从而 u n 0故 为正项级数 又sin 2n xx 2n (x0,1),所以 )解析:23.判

16、别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 发散,所以原级数不是绝对收敛的原级数是交错级数,易知的单调性,令 f(x)= 可知当 x 充分大时 g(x)单调增加,从而 f(x)单调增加故当 n 充分大时单调减少这说明级数 满足莱布尼茨判别法的两个条件,所以该级数收敛,并且是条件收敛的 ()由于 发散,这说明原级数不是绝对收敛的 由于 sinx 在第一象限是单调递增函数,而)解析:24.判别级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意级数的一般项满足 )解析:解析:设 对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛,为此采取比较判别法的极限形式

17、,由于 u n 满足 可见级数不绝对收敛又因级数的一般项的绝对值 25.判断如下命题是否正确:设无穷小 u n v n (n),若级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对于正项级数,比较判别法的极限形式就是:若 )解析:26.求下列幂级数的收敛域: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() 有相同的收敛半径,可以用求收敛半径公式即(51)式计算收敛半径,首先计算 所以 R=1 再考察幂级数在两个端点 x=l 处的敛散性当 x=1 时,级数 从而满足莱布尼茨判别法的两个条件,故该级数收敛这样即得 的收敛域为-1,1) ()由于,所以其收敛半径为 2 又由于本题是关于 x+1 的幂

18、级数,所以收敛区间的两个端点为 x=-3 与x=1当 x=-3 时,原级数为 是一个交错级数,而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件,所以是收敛的这表明幂级数 的收敛域为(-3,1 () 有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(-2,4) ()考瘵 ,由题设 t=-3 时它收敛知收敛半径 R3,又 t=3 时其发散知 R3因此R=3,由此可知 )解析:27.求下列幂级数的收敛域及其和函数: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 均发散,所以其收敛域为(-1,1) 为求其和函数,先进行代数运算,使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数设 当 x=0 时,上面的运算不能

19、进行,然而从原级数可直接得出 S(0)=a 0 =1综合得幂级数 容易看出 这就说明 S(x)在 x=0处还是连续的,这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质 ()利用同样的方法容易求得级数 的收敛域为(-1,1) )解析:28.将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间: (I) ln(1+x+x 2 ); () (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由于 ln(1+x+x 2 )= =ln(1-x 3 )-ln(1-x),利用公式(511),并分别以(-x 3 )与(-x)代替其中的 x,就有 ()由于 ,利用公式(513),并以 x 2 代替其中的x,就有 注意函数 在点

20、x=-1 处也收敛,从而上式在端点 x=-1 处也成立,即 )解析:29.将下列函数在指定点处展开为泰勒级数: () (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:() ()由于 ln(2x 2 +x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1),对于右端两项应用公式(511),得 )解析:解析:使用间接法在指定点 x 0 处作泰勒展开,就要用 x-x 0 ,或者 x-x 0 的倍数与方幂等代替原来的 x30.将 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 于是 x n 的系数 ,由此可知当 n2 时有 )解析:31.将下列函数展开成 x 的幂级数: (分数:2.

21、00)_正确答案:(正确答案:()由于 ()被积函数的幂级数展开式为 逐项积分即得 )解析:解析:在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算:一个含有求导,一个含有积分其实在第()小题中由于分母含有(1-x) 2 ,也要借助于求导像这样的题目,到底是应该先展开后做分析运算,还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开,因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分,比较简便而且某些题目也必须先展开,第()小题就是如此32.将函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f“(x)=arctanx,f“(x)= ,将 f“(x)展开,有 从而当x1 时有f“(x)= )解析:

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