1、考研数学一（无穷级数）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知级数 绝对收敛，级数 （分数：2.00）A.B.C.1a3D.3.设 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.发散D.收敛4.下列命题中正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 u n v n (n=1，2，3，)，则 B.若 u n n n (n=1，2，3，)，且 C.若D.若 w n u n v n (n=1，2，3，)，且 5.下列命题中错误的是 ( )（分数：2.0
2、0）A.若B.若C.若D.若6.对于级数 （分数：2.00）A.若B.若C.若D.若7.下列结论正确的是（分数：2.00）A.在收敛域上必绝对收敛B.的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数C.若D.都是幂级数8.设 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关10.展开成(x 一 3)幂级数的时候，其收敛区间为 ( ) （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-6，0)C.(-3，3)D.(0，6)11.设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（分数：2.00
3、）A.1B.-1C.0D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 a 为常数，若级数 收敛，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_16.函数 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)=x+x 2 ，一 x，且周期为 T=2当 f(x)在一 ，)上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_18.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项
4、 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.判别下列级数的敛散性(k1，a1)：(1) (2) (3) （分数：2.00）_25.判别级数 （分数：2.00）_26.判别级数 （分数：2.00）_27.判别级数 （分数：2.00）_28.判别级数 （分数：2.00）_29.证明：级数 （分数：2.00）_30.已知 f n (x)满足 f n “(x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数)，且 求函数项级数 （分数：2.00）_31.
5、将函数 （分数：2.00）_32.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 8 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知级数 绝对收敛，级数 （分数：2.00）A.B.C.1a3D. 解析：解析：设 ，则当 n时， 的敛散性相同，故 而由 条件收敛可知 03 一1，即 23若使两个结论都成立，只有3.设 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.发散 D.收敛解析：解析：因为 所以级数 是满足莱布尼茨条件
6、的交错级数，因此 是等价无穷小，且调和级数 发散，所以4.下列命题中正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 u n v n (n=1，2，3，)，则 B.若 u n n n (n=1，2，3，)，且 C.若D.若 w n u n v n (n=1，2，3，)，且 解析：解析：因为 w n v n v n ，所以 0u n 一 wv n 一 w n 又因为 收敛，所以 收敛因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选 A；选项 B，C 将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明 B 不对，取级数 5.下列命题中错误的是 ( )（分数：2.00）A.若B.若C.若D.
7、若 解析：解析：由级数收敛的性质知命题 A 正确由反证法可知命题 B 正确若设 ，这两个级数都发散，但是6.对于级数 （分数：2.00）A.若B.若 C.若D.若解析：解析：因(一 1) n-1 u n =u n =u n ，由 绝对收敛，命题 B 正确A 错误：如 7.下列结论正确的是（分数：2.00）A.在收敛域上必绝对收敛B.的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数C.若 D.都是幂级数解析：解析：由幂级数 在收敛域(一 R，R)的和函数性质可知，命题 C 正确A 错误：如 ，收敛域为(一 1，1，但在 x=1 处， 条件收敛B 错误：因为可能 R=0 或 R=+D 错误：由幂级数的定义可
8、知8.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选DA，C 错，如 B 错，如9.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关解析：解析：因 收敛，因此10.展开成(x 一 3)幂级数的时候，其收敛区间为 ( ) （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-6，0)C.(-3，3)D.(0，6) 解析：解析：因11.设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（分数：2.00）A.1 B.-1C.0D.解析：解析：要得到以 2
9、 为周期的余弦级数 f(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数 F(x)因 x=0 时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理，余弦级数在 x=0 处收敛于 F(0)=f(0)=1故选 A二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 a 为正常数，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：13.设 a 为常数，若级数 收敛，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：因级数14.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一
10、 1，1）解析：解析：16.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 f(x)=x+x 2 ，一 x，且周期为 T=2当 f(x)在一 ，)上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.常数项级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：将已给级数每相邻二项加括号得新级数19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3)）解析：解析：三、解答题(总题数：
11、12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若 )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.判别下列级数的敛散性(k1，a1)：(1) (2) (3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式， )解析
12、：解析：这是交错级数，但不易判别u n u n+1 ，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 28.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数 )解析：解析：这是交错级数，易见：u0，但u n u n-1 不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定29.证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件，因为 )解析：30.已知 f n (x)满足 f n “(x)=f n (x)+x n-1 e x (n 为正整数)，且 求函数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知，函数 f n (x)满足一阶线性非齐次微分方程 f n “(x)一 f n (x)=x n-1 e x ， )解析：31.将函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求幂级数 的收敛域与和函数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时， )解析：
