1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 10及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A与 B满足条件 （分数：2.00）A.AB=B.AB=C.AB=AD.AB=B3.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（分数：2.00）A.0P(AB)1B.0P(B)1C.0P(AB)1D.4.设 A、B 为任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B)C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B
2、)5.设随机变量 xN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 y=minX，0的分布函数为 F(y)=( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 XN(15，4)，若 X的值落入区间(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 分别为( )（分数：2.00）A.12，135，165，18B.115，135，165，185C.12，14，16，18D.11，14，16，197.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.
3、X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布8.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，
4、D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，P=04C.n=8，p=03D.n=24，p=0110.假设随机变量 X与 Y的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（分数：2.00）A.Y=aX+b(a0)B.Cov(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1C.D.11.已知总体 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，现从总体 X与 Y中抽取容量为 n的两组相互独立的简单随机样本，其方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，现构造 2 的四个无偏估计量： (1)S X 2 ， (2)S Y 2 ， （分数：2.00）A.(1)B.(
5、2)C.(3)D.(4)12.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知，则总体均值 的置信区间长度 L与置信度 1一 的关系是( )（分数：2.00）A.当 1一 减小时，L 变小B.当 1 减小时，L 增大C.当 1 减小时，L 不变D.当 1一 减小时，L 增减不定13.下列关于总体 X的统计假设风属于简单假设的是( )（分数：2.00）A.X服从正态分布，H 0 ：E(X)=0B.X服从指数分布，H 0 ：E(X)1C.X服从二项分布，H 0 ：D(X)=5D.X服从泊松分布，H 0 ：D(X)=3二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.在区间(0，1)中随机地取
6、出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7个正品的概率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X的密度函数 (0ab)，且 EX 2 =2，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设离散型随机变量 X的分布函数 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，已知 PX 1 +X 2 0=1 一 e 一 1 ，则 E(X 1 +X 2
7、) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则 PX+Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分
8、布，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 X与 Y相互独立且均服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2
9、，3，4，求 PY2（分数：2.00）_26.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；()二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_27.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_28.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_29.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1
10、)，令估计量 （分数：2.00）_30.设 X的概率密度为 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本 ()求 的矩估计量 ()求 的方差 （分数：2.00）_31.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值 ()求参数 的矩估计量 ； ()判断 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 10答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A与 B满
11、足条件 （分数：2.00）A.AB=B.AB= C.AB=AD.AB=B解析：解析：由对称性可知选项 C、D 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，若选项 A成立3.设随机事件 A与 B为对立事件，0P(A)1，则一定有( )（分数：2.00）A.0P(AB)1B.0P(B)1 C.0P(AB)1D.解析：解析：因 A、B 为对立事件，即 AB=，4.设 A、B 为任意两个事件，且 A （分数：2.00）A.P(A)P(A|B)B.P(A)P(A|B) C.P(A)P(A|B)D.P(A)P(A|B)解析：解析：由于 A5.设随机变量 xN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 y=m
12、inX，0的分布函数为 F(y)=( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：F(y)=PYy=Pmin(X，0)y=1 一 Pmin(X，0)y=1 一 PXy，0y 当 Y0 时，PXy，0y=PXy，F(y)=1PXy=PXy=(y) 当 Y0 时，PXy，0y=0，P(y)=1因此选项 B正确6.已知 XN(15，4)，若 X的值落入区间(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 分别为( )（分数：2.00）A.12，135，16
13、5，18B.115，135，165，185C.12，14，16，18 D.11，14，16，19解析：解析：X 落入(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)的概率应为 即 007，024，038，024，007 PXx 4 =1PXx 4 =1一007=093=(15) 7.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 Y)未必服从正态分布 解析：解析：选项 A不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y=0不服从正态分
14、布选项 C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布选项 B也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布8.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.F 1 (x)F 2 (x)
15、必为某一随机变量的分布函数 C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度解析：解析：由题设条件，有 F 1 (x)F 2 (x)=PX 1 PX 2 x =PX 1 x，X 2 X(因 X 2 与 X 2 相互独立) 令 x=maxx 1 ，x 2 ，并考虑到 PX 1 x，X 2 x=Pmax(X 1 ，X 2 )x，可知，F 1 (x)F 2 =(x)必为随机变量 X的分布函数，即 F X (x)=PXx故选项 B正确9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，P 的
16、值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，P=04 C.n=8，p=03D.n=24，p=01解析：解析：因为 XB(n，P)，所以 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，将已知条件代入，可得10.假设随机变量 X与 Y的相关系数为 ，则 =1 的充要条件是( )（分数：2.00）A.Y=aX+b(a0)B.Cov(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1C.D. 解析：解析：显然选项 A、B、C 是 P=1的充分条件但不是必要条件，因此选 D事实上，11.已知总体 X与 Y都服从正态分布 N(， 2 )，现从总体 X与 Y中抽取容量为 n的两组相互独立的简单随机样本，其
17、方差分别为 S X 2 和 S Y 2 ，现构造 2 的四个无偏估计量： (1)S X 2 ， (2)S Y 2 ， （分数：2.00）A.(1)B.(2)C.(3) D.(4)解析：解析：由对称性可知 D(S X 2 )=D(S Y 2 ) 12.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 2 已知，则总体均值 的置信区间长度 L与置信度 1一 的关系是( )（分数：2.00）A.当 1一 减小时，L 变小 B.当 1 减小时，L 增大C.当 1 减小时，L 不变D.当 1一 减小时，L 增减不定解析：解析：要求出 L，进而推断 L与 1 的关系当总体 XN(， 2 )， 2 已知时， 的
18、置信区间为 确定，其中 (x)是 x单调增函数，因此置信区间的长度 当样本容量 n同定时，随 13.下列关于总体 X的统计假设风属于简单假设的是( )（分数：2.00）A.X服从正态分布，H 0 ：E(X)=0B.X服从指数分布，H 0 ：E(X)1C.X服从二项分布，H 0 ：D(X)=5D.X服从泊松分布，H 0 ：D(X)=3 解析：解析：选项 A、B、C 的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而选项 D的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选 D二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填
19、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记(0，i)中任取的两个数为 X，Y，则(X，Y)=(x，y)|0x1，0y1， 为基本事件全体，并且取 中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，事件 A=“两数之积小15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有 7个正品的概率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A i =“盒内原有 i件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A 0 ，A 0 ，A 10 构成一
20、个完备事件组，依题意有 所求概率 P(A 7 |B)可直接应用贝叶斯公式： 16.设随机变量 X的密度函数 (0ab)，且 EX 2 =2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17.设离散型随机变量 X的分布函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于分布函数 F(x)只在 x=一 1，0，l 处有 3个间断点，因此离散型随机变量 X与|X|的概率分布分别为18.已知随机变量 X 1 和 X 2 相互独立，且分别服从参数为 1 ， 2 的泊松分布，已知 PX 1 +X 2 0=1 一 e 一 1 ，则 E(X 1 +
21、X 2 ) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知 X i 一 P( i )且 X 1 与 X 2 相互独立所以 E(X i )=0(X i )= i (i=1，2)， E(X 1 +X 2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=E(X 1 2 )+2E(X 1 )E(X 1 )+E(X 2 2 ) = 1 + 1 2 +2 1 2 + 2 + 2 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 因为 P(X 1 +X 2 0)=1 一 e(X 1 +X 2 0)=1 一 P(X 1 +X 2 =0) =1一 e(X 1
22、=0，X 2 =0)=1一 P(X 1 =0)P(X 2 =0) =1一 e 一 1 e 一 2 =1一 e 一(1+2) =1一 e 一 1 所以 1 + 2 =1故 E(X 1 +X 2 ) 2 = 1 + 2 +( 1 + 2 ) 2 =219.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则 PX+Y1= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据正态分布的性质，即服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以(X+Y)N(1，2)，利用正态分布在其数学期望左右两侧取值的概率均为20.已知(X，Y)在以点(0
23、，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 4一 1所示21.设 X和 Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：本题是考查数字特征计算的基础题，所以22.设随机变量 X 1 ，
24、X 2 ，X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，所以 E(X n )=0，D(X n )= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有 23.设总体 X与 Y相互独立且均服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意可知 X i N(0， 2
25、)，Y i N(0， 2 )且相互独立，所以 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()随机变量 X可能取值为 1，2，3，4，设事件 A i 表示第 i个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则 )解析：26.设某班车起点站上客人数 X服从参数为
26、(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1)，且中途下车与否相互独立，Y 为中途下车的人数，求：()在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；()二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()PY=m|X=n=C n m p m (1一 p) n一 m ，0mn，n=0，1，2，. ()PX=n，Y=m=PX=nPY=m|X=n )解析：27.设随机变量 Y i (i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p的 01分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，随机变量(X 1 ，X 2 )是离散型的，它的全部可能取值 N
27、(0，0)，(0，1)，(1，0)题目中是要计算出取各相应值的概率注意事件 Y 1 ，Y 2 ，Y 3 相互独立且服从同参数 p的 01分布，所以它们的和 Y 1 +Y 2 +Y 3 Y服从二项分布 B(3，p)于是 PX 1 =0，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=0+PY=3=q 3 +p 3 ， PX 1 =0，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +Y 3 1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=PY=2=3p 2 q， PX 1 =1，X 2 =0=PY 1 +Y 2 +Y 3 =1，Y 1 +Y 2 +Y 3 2=PY=1=3pq 2
28、， PX 1 =1，X 2 =1=PY 1 +Y 2 +y3=1，Y 1 +Y 2 +Y 3 =2=P =0 计算可得(X 1 ，X 2 )的联合概率分布为 )解析：28.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X同分布，所以 ()根据抽样分布有关结论可知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 (n)，则 D(Y)=2n 所以 )解析：30.设 X的概率密度为 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本 ()求 的矩估计量 ()求 的方差 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， 是样本均值 ()求参数 的矩估计量 ； ()判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
