1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 11及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x)B.F(x)F(y)C.1-1-F(x) 2D.1-F(x)1-F(y)3.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n =X 1 +X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X
2、n ( )（分数：2.00）A.有相同的数学期望；B.有相同的方差；C.服从同一指数分布；D.服从同一离散型分布二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.设在一次试验中 A发生的概率为户，现进行，n 次独立试验，则 A至少发生一次的概率为 1；而事件 A至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_5.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A厂和 B厂的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A厂生产的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_6.对事件 A，B，已知 ，则 P(A)= 1，P(B)= 2， （分数：2.00
3、）填空项 1:_7.对二事件 A、B，已知 P(A)=06，P(B)=07，那么 P(AB)可能取到的最大值是 1，P(AB)可能取到的最小值是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.已知随机变量 X的概率密度函数 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)=59，则 P(y1) 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设总体 X的概率密度为 其中 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体
4、X的简单随机样本，若 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求 Z的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的分布函数为：F(x，y)=A(B+arctan )(C+arctan （分数：6.00）(1).常数 A，B，C；（分数：2.00）_(2).(X，Y)的概率密度 f(x，y)；（分数：2.00）_(3).关于 X和
5、 Y的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：2.00）_13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，P(X 1 =0)=06，P(X 1 =1)=04求 X= （分数：2.00）_设随机变量 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).求 EX和 DX；（分数：2.00）_(2).求 X与|X|的协方差，并问 X与|X|是否不相关?（分数：2.00）_(3).问 X与|X|是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_设随机变量 X与 Y的概率分布分别为 （分数：6.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_(2).求 Z=XY的概率分
6、布；（分数：2.00）_(3).求 X与 Y的相关系数 (XY) （分数：2.00）_14.n个小球和 n个盒子均编号 1，2，n，将 n个小球随机地投入 n个盒中去，每盒投 1个球记 X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)（分数：2.00）_15.设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，求 T= （分数：2.00）_设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 D( （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 11答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一
7、、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x) B.F(x)F(y)C.1-1-F(x) 2D.1-F(x)1-F(y)解析：解析：Z 的分布函数 F Z (x)=PZx=Pmax(X，Y)x)=PXx，Yx)=PXx)PYx)=F 2 (x)，故选(A)3.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n =X 1 +X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n充分大
8、时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X n ( )（分数：2.00）A.有相同的数学期望；B.有相同的方差；C.服从同一指数分布； D.服从同一离散型分布解析：解析：列维一林德贝格中心极限定理要求诸 X i 独立同分布，因此(A)、(B)不能选(无法保证同分布)，而选项(D)却保证不了EX i 及 DX i 存在，甚至排除不了 X i 为常数(即退化分布)的情形，而中心极限定理却要求 X i 非常数且 EX i 与 DX i 存在，故不选(D)，只有(C)符合要求，可选二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.设在一次试验中 A发生的概率为户，现进行，n 次独立试验，则 A至少发
9、生一次的概率为 1；而事件 A至多发生一次的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-(1-p) n ；(1-p) n +np(1-p) n-1 ）解析：解析：由贝努里概型的概率计算公式，A 至少发生一次的概率为 1-P(A发生 0次)=1-C n 0 p 0 (1-p) n-0 =1-(1-p) n 而 P(A至多发生 1次)=P(A 发生 0次)+P(A 恰发生 1次) =C n 0 p 0 (1-p) n-0 +C n 1 p 1 (1-p) n-1 =(1-p) n +np(1-p) n-1 5.设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1和 2，现从由 A
10、厂和 B厂的产品分别占 60和 40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A厂生产的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 C=(取的产品是 A厂生产的)，D=(取的是次品)，由题意知：P(C)=06， =04，P(D|C)=001， =0026.对事件 A，B，已知 ，则 P(A)= 1，P(B)= 2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：7.对二事件 A、B，已知 P(A)=06，P(B)=07，那么 P(AB)可能取到的最大值是 1，P(AB)可能取到的最小值是 2（分数：2.00）填空项 1
11、:_ （正确答案：正确答案：06）填空项 1:_ （正确答案：03）解析：解析：注意 ，P(AB)P(A)=06，而若8.已知随机变量 X的概率密度函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 当 x0 时，9.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：该二次方程的判别式=4 2 -4X，故 10.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)=59，则 P(y1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：19
12、/27）解析：解析：由 =1-P(X=0)=1-C 2 0 p 0 (1-p) 2-0 =1-(1-p) 2 ，解得 p=13，故 P(Y1)=1-P(Y=0)= 11.设总体 X的概率密度为 其中 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意得： 2 = 三、解答题(总题数：9，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布 PX=i= (i=-1，0，1)，Y 的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 （分
13、数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 Z的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布函数为： Z的分布函数为 )解析：设二维随机变量(X，Y)的分布函数为：F(x，y)=A(B+arctan )(C+arctan （分数：6.00）(1).常数 A，B，C；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).(X，Y)的概率密度 f(x，y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).关于 X和 Y的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X和 Y的边缘分布函数分
14、别为 F X (x)=F(x，+)= 和 F Y (y)=F(+，y)= ，故 f X (x)=F“ X (x)= ，f Y (y)=F“ Y (y)= )解析：13.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，P(X 1 =0)=06，P(X 1 =1)=04求 X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X=X 1 X 4 -X 2 X 3 可能取的值为：-1，0，1P(X=-1)=P(X 1 X 4 -X 2 X 3 =1)=P(X 1 X 4 =0)P(X 2 X 3 =1)=1-P(X 1 =1，X 4 =1P(X 2 =1)P(X 3 =1)=(1-04 2
15、)04 2 =01344，同理 P(X=1)=01344，得 P(X=0)=1-201344=07312)解析：设随机变量 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).求 EX和 DX；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题出现的积分，可验证均收敛 )解析：(2).求 X与|X|的协方差，并问 X与|X|是否不相关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX=0，E|X|存在，故 cov(X，|X|)=E(X|X|)-EXE|X|=E(X|X|) )解析：(3).问 X与|X|是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设随机变量 X与 Y的概率分布分别
16、为 （分数：6.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 P(X 2 =Y 2 )=1，可得： P(X=0，y=-1)=P(X=1，Y=0)=P(X=0，Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示 )解析：(2).求 Z=XY的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的联合分布列易知 Z=XY可能取的值为-1，0，1，易得： )解析：(3).求 X与 Y的相关系数 (XY) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的分布(及 X，Y 的分布)，易知：
17、)解析：14.n个小球和 n个盒子均编号 1，2，n，将 n个小球随机地投入 n个盒中去，每盒投 1个球记 X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，求 T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的分布函数为 F T (t)=P(Tt)= =P(X 1 t，X 4 t)：P(X 1 t)4 = )解析：设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 D( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
