1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 12及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 （分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)-1B.P(C)P(A)+P(B)-1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)3.对事件 A，B，已知 P(A)=1，则必有：( )（分数：2.00）A.A=B.C.A与 B独立D.P(B)P(A)4.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分
2、布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从标准正态分布 N(0，1)，y 的概率分布为 PY=0=PY=1= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设随机变量 X，Y 独立同分布，P(x=-1)=P(x-1)=12，则( )（分数：2.00）A.P(X=Y)=12B.P(X=Y)
3、=1C.P(X+Y=0)=14D.P(XY=1)=147.设 XN(，16)，YN(，25)，p 1 一 PX-4，p 2 =Py+5，则：( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，有 p 1 =p 2B.对任意实数 ，有 p 1 p 2C.对任意实数 ，有 p 1 p 2D.只对部分实数 ，有 p 1 =p 28.将长度为 1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.12C.-12D.-1二、填空题(总题数：2，分数：4.00)9.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球 1个白球，第二个箱子中有 3个黑球 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球 5个白球，现随机
4、地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1个球，这个球为白球的概率等于 1，已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_10.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2个人取得黄球的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_袋中有 1个红球、2 个黑球与 3个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所
5、取得的红球、黑球与白球的个数。（分数：4.00）(1).求 PX=1|Z=0；（分数：2.00）_(2).求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_13.甲袋中有 2个白球，乙袋中有 2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放人对方袋中，共交换 3次，用 X表示 3次交换后甲袋中的白球数，求 X的分布列（分数：2.00）_已知随机变量 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，而(X，Y)服从二维正态分布且 X与 Y的相关系数 （分数：6.00）(1).求 EZ和 DZ；（分数：2.00）_(2).求 X与 Z的相关系数 P XZ ；（分数：2.00）_(3).问 X与 Z是否
6、相互独立?为什么?（分数：2.00）_设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.00）(1).求 P(X=2Y)（分数：2.00）_(2).求 Cov(X-Y，Y)（分数：2.00）_14.在长为 a的线段 AB上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD的平均长度（分数：2.00）_15.(1)设系统由 100个相互独立的部件组成，运行期间每个部件损坏的概率为 01，至少有 85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率(2)如果上述系统由 n个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作，问 n至少多大才能使系统正常工作的概率不小于 095？(1645)=095（
7、分数：2.00）_16.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X的简单样本，记 （分数：2.00）_17.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_18.设总体 X的概率分别为 （分数：2.00）_设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_19.某种清漆的 9个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2 )，求 的置信度为 095 的置信区间，在(1)=06(小时)；(2) 未知，两种情况下作，( 0975 =196，t
8、 0975 (8)=23060，下侧分位数)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 12答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 （分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)-1B.P(C)P(A)+P(B)-1 C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)解析：解析：由 1P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)，P(C)P(AB)P(A)+P(B)-1，可见应选(B)3.对事件 A，B，已知 P(A)=1，则必有：( )
9、（分数：2.00）A.A=B.C.A与 B独立 D.P(B)P(A)解析：解析：“概率为 0或 1的事件与任一事件独立”，可见应选(C)注意由“P(A)=1”推不出“A=”，而有可能 B= 呢!故另 3个选项不行。4.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度B.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数D.F 1
10、(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数 解析：解析：由已知， - + f 1 (x)dx= - + f 2 (x)dx=1，故 - + f 1 (x)+f 2 (x)dx= - + f 1 (x)dx+ - + f 2 (x)dx=21， 所以不选(A)，若设 f 1 (x)=f 2 (x)= 则 即 - + f 1 (x)f 2 (x)dx有可能非 1，故不选(B) 又由分布函数的性质和 F 1 (+)=F 2 (+)=1，故 5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从标准正态分布 N(0，1)，y 的概率分布为 PY=0=PY=1= （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解
11、析：解析：F Z (z)=P(Zz)=P(XYz) =P(XYz|Y=0)PY=0+PXYz|Y=1PY=1 在 z0 和z0 上，F Z (z)显然连续；在 z=0上， 可见 F Z (z)只有 1个间断点(z=0 处， 6.设随机变量 X，Y 独立同分布，P(x=-1)=P(x-1)=12，则( )（分数：2.00）A.P(X=Y)=12 B.P(X=Y)=1C.P(X+Y=0)=14D.P(XY=1)=14解析：解析： 由题意可得(X，Y)的分布列如左表，可算得 P(X=Y)=7.设 XN(，16)，YN(，25)，p 1 一 PX-4，p 2 =Py+5，则：( )（分数：2.00）A
12、.对任意实数 ，有 p 1 =p 2 B.对任意实数 ，有 p 1 p 2C.对任意实数 ，有 p 1 p 2D.只对部分实数 ，有 p 1 =p 2解析：解析：p 1 = =(-1)，p 2 = 8.将长度为 1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.12C.-12D.-1 解析：解析：设这两段的长度分别为 X和(是随机变量)， 则 X+Y=1即 Y=1-X DY=D(1-X)=DX Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=-Coy(X，X)=-DX 故(X，Y)的相关系数为二、填空题(总题数：2，分数：4.00)9.三个箱子，第一个箱子中有 4个黑球
13、 1个白球，第二个箱子中有 3个黑球 3个白球，第三个箱子中有 3个黑球 5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1个球，这个球为白球的概率等于 1，已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：A i =(取的是第 i个箱子)，i=1，2，3 B=(从箱中取出的是白球) 第一问由全概率公式： P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )+P(A 3 )P(B|A 3 ) 第二问由贝叶斯公式： 10.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从
14、袋中各取一球，取后不放回，则第 2个人取得黄球的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A i =(第 i人取得黄球)，i=1，2 三、解答题(总题数：13，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Z 的分布函数为(见图 44) z0 时，F(z)=0 )解析：袋中有 1个红球、2 个黑球与 3个白球现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（分数：4.00）(1).
15、求 PX=1|Z=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 和 Y可能取得值均为：0，1，2得： )解析：13.甲袋中有 2个白球，乙袋中有 2个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换后放人对方袋中，共交换 3次，用 X表示 3次交换后甲袋中的白球数，求 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =经过 2次变换后甲袋中有 i个白球，i=0，1，2则 P(A 0 )= ，P(A 1 )= ，P(A 2 )=14，P(X=0|A 0 )=0，P(X=0|A 1 )=14，P(
16、X=0|A 2 )=0，P(X=1|A 0 )=P(X=1|A 2 )=1，P(X=1|A 1 )=12，P(X=2|A 0 )=P(X=2|A 2 )=0，P(X=2|A 1 )=14 故 P(X=0)= P(X=0|A i )P(A i )=18，P(X=1)= P(X-0|A i )P(A i )=34，P(X=2)= P(X=2|A i )P(A i )=18，故 X的分布列为 )解析：已知随机变量 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，而(X，Y)服从二维正态分布且 X与 Y的相关系数 （分数：6.00）(1).求 EZ和 DZ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然
17、EX=1，DX=9，EY=0，DY=16 )解析：(2).求 X与 Z的相关系数 P XZ ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).问 X与 Z是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 XZ =0，知 X与 Z不相关 )解析：设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.00）(1).求 P(X=2Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= )解析：(2).求 Cov(X-Y，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的分布可得 X，Y 及 XY的分布分别为
18、： )解析：14.在长为 a的线段 AB上独立、随机地取两点 C，D，试求 CD的平均长度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AC、AD 的长度分别为 X、Y，由题意知 X与 Y独立同分布，均服从区间(0，a)上的均匀分布，故(X，Y)的概率密度为： 其中 D=(x，y)|0xa，0ya，而 CD的长度为|X-Y|，故知 )解析：15.(1)设系统由 100个相互独立的部件组成，运行期间每个部件损坏的概率为 01，至少有 85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率(2)如果上述系统由 n个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作，问 n至少多大才能使系统正常工
19、作的概率不小于 095？(1645)=095（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设有 X个部件完好，则 XB(100，09)，EX=90，DX=9，P系统正常工作=PX85= (2)设有 Y个部件完好，则 YB(n，9)，EX=09n，DX=009n，PX08n= ，由题意，P(X08n)095， 095，故 )解析：16.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X的简单样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数 L(x 1 ，x n ；)为 =2n0，可见
20、 lnL(或 L)关于 0单调增欲使 lnL(或 L)达最大，则应在 限制下让 取得最大值，这里应为 = ，故 的最大似然估计值为 )解析：18.设总体 X的概率分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计 E(X)=0 2 +120(1-)+2 2 +3(1-2)=3-4 由题目所给的样本值算得 (3+1+3+0+3+1+2+3)=2 代入得 又求最大似然估计，本题中n=8，样本值 x 1 ，x 8 由题目所给，故似然函数为 L()= PX i =x i =PX=0P(X=1) 2 P(X=2)P(X=3) 4 = 2 20(1-) 2 2 (1-2) 4 =4 6 (1-)
21、 2 (1-2) 4 lnL()=ln4+6ln+2ln(1-)+4ln(1-2) 令 lnL()=0，得 24 2 -28+6=0， 解得 = 不合题意，舍去，故得 的最大似然估计值为 )解析：设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 可见， 的最大似然估计为 )解析：19.某种清漆的 9个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2 )，求 的置信度为 095 的置信区间，在(1)=06(小时)；(2) 未知，两种情况下作，( 0975 =196，t 0975 (8)=23060，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可算得 =62，n=9，=005(1)=06 时， 的置信下限为 =5808， 的置信上限为 =6592；(2) 未知时，S 2 = =043， 的置信下限为 =56960， 的置信上限为 )解析：
