1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 15及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X取非负整数值，PX=n)=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.153.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= （分数：2.00）A.B. 2C.D.4.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )（分数：2.00）A.PXC)=EXCB.PXC)E
2、XCC.PXC)EXCD.PXC)DX 25.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)一 f(-x，y)，且 XY 存在，则 XY =( )（分数：2.00）A.1B.0C.一 1D.一 1或 16.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为，且概率 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X n (n=1，2，)相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布
3、中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C.D.(2)9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， 是样本均值，记 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设总体 X服从正态分布 N(，)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）A.1B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数
4、：20.00)12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_14.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 XN(一 3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X一 2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00
5、）填空项 1:_17.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_20.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分数：2.00）填空项 1:_21.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 1. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
6、演算步骤。_设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).使用的最初 150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；（分数：2.00）_(2).在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数 Y的分布律；（分数：2.00）_(3).Y的分布函数（分数：2.00）_23.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_24.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1一 e -X 的概率密度函数 f Y (y)（分数：2.00）_25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_26.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函
7、数（分数：2.00）_27.已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：2.00）_28.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_29.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_30.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_31.设二次方程 x 2 一 Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 15答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，
8、只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X取非负整数值，PX=n)=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.15解析：解析：3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 Y= （分数：2.00）A.B. 2C. D.解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X 1 +X 2 +X 3 P(3)，E(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 +X 3 )=3， 4.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )（分数：
9、2.00）A.PXC)=EXCB.PXC)EXCC.PXC)EXC D.PXC)DX 2解析：解析：5.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)一 f(-x，y)，且 XY 存在，则 XY =( )（分数：2.00）A.1B.0 C.一 1D.一 1或 1解析：解析：6.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为，且概率 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布 服从一维正态分布，又 EX=1，EY=2E(aX+bY)=a+2b，于是 显然，只有 1一(a+2b)=0 时
10、，7.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 于是由切比雪夫不等式知8.已知随机变量 X n (n=1，2，)相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C. D.(2)解析：解析：由题设知 由中心极限定理，对任意 x有9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， 是样本均值，记 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：10.设总体 X服从正态分布 N(，)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的
11、简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，所以 又 X与 S 2 独立，由 2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2 (1)的随机变量因为 11.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X n 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 （分数：2.00）A.1B.C.D. 解析：解析：应用 t分布的典型模式由于 而 且相互独立，所以 ，U 与 V相互独立，由t分布的典型模式 ，由题意知二、填空题(总题数：10，分数：20.00
12、)12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：990）解析：解析：13.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设14.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 D：0yx1 是由 y=一 x，y=x，x=1 三条线围成的，关于 z轴对称，所以15.已知随机变量 XN(一 3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=
13、X一 2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：N(0，5)）解析：解析：Z 服从正态分布，EZ=E(X 一 2Y+7)=EX一 2EY+7=一 34+7=0， DZ=D(X 一 2Y+7)=DX+2 2 DY=1+4=516.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，所以 Cov(X i ，X j )=0(ij)，于是 D(X 1 +X 2 +X 3 )=D(
14、X 1 +X 2 )+X 3 =D(X 1 +X 2 )+DX 3 +2Cov(X 1 +X 2 ，X 3 ) =D(X 1 )+D(X 2 )+D(X 3 )+2Cov(X 1 ，X 2 )+2Cov(X 1 ，X 3 )+2Cov(X 2 ，X 3 ) =D(X 1 )+D(X 2 )+D(X 3 )=317.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X的分布律为： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：EX 1
15、(X 1 +X 2 X 3 )=E(X 1 2 +X 1 X 2 一 X 1 X 3 )=E(X 1 2 )+E(X 1 )E(X 2 )一 E(X 1 )E(X 3 )=D(X 1 )+E(X 1 ) 2 +E(X 1 )E(X 2 )一 E(X 1 )E(X 3 ) 19.设随机变量 X与 Y的分布律为 且相关系数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设(X，Y)的分布律为 (X，Y)的边缘分布律也表示于表中)，则 E(XY)=p 11 ,从而有 20.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分
16、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：关于 X与关于 Y的边缘分布律分别为三、解答题(总题数：11，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).使用的最初 150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 为在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数，YB(3，p)，其中 所求概率为 PY2)=PY=2)+PY=3 )解
17、析：(2).在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数 Y的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布列为 即 )解析：(3).Y的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布函数为 )解析：23.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 YB(5，p)，其中 )解析：24.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1一 e -X 的概率密度函数 f Y (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=1 一 e -x 是(0，+)上的单调函数，且其反函数为 )解析：25.设随
18、机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 X的密度函数积分得 X的分布函数 )解析：26.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X 2 的联合分布有如下形式： 其中 p 12 =p 32 =0是由于 P(X 1 ，X 2 =0=1，所以，PX 1 ，X 2 0)=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下： (2)由联合分布表可以看出 而
19、)解析：28.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以按以下公式先算出 Z的分布函数 Fz(z)： 然后对 Fz(z)求导算出fz(z)，但较麻烦记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 于是，Z=2X+Y=U+Y(其中U与 Y相互独立)的概率密度 即 f U (u)f Y =(z一 u)仅在 D z =(u，z)0u2,z 一 u0)(图38的阴影部分)上取值 在 uOz平面的其他部分都取值为 0，所以 )解析：29.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X，Y 不是相互独立的，所
20、以记 V=一 Y时，(X，V)的概率密度不易计算应先计算 Z的分布函数，再计算概率密度 f Z (z)记 Z的分布函数为 F Z (z)，则 其中 D Z =(z，y)xyz(直线 xy=z的上方部分)，由 D z 与 D=(x，y)0x1，0yx)(图 39的带阴影的OSC)相对位置可得： )解析：30.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y相互独立，且它们的概率密度都为 记 u=g(x)=x 2 ，它在 f(x)0 的区间(0，1)内单调可导，且反函数为 ，所以 U=X 2 的概率密度 同样地，V=Y 2 的概率密度为 由 X与 Y相互独立知 X 2 与 Y 2 相互独立，从而(X 2 ，Y 2 )的概率密度为 )解析：31.设二次方程 x 2 一 Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二次方程的两个根为 X 1 ，X 2 ，则它们的概率密度都为 记 X的概率密度为 fx(x)，则由 X=X 1 +X 2 得 即 f(t)f(x一 t)仅在图 310的带阴影的平行 )解析：
