1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 17 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(AB)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(AB)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 13.设 A，B 是任意两个事件，且 （分数：2.00）A.P(A)P(AB)B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)
2、P(AB)4.设事件 A，B 满足 （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)5.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1 一 p 1 一 p 2B.1 一 p 1 p 2C.1 一 p 1 一 p 2 +p 1 p 2D.(1 一 p 1 )+(1 一 p 2 )6.以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将 C，C，E，E，
3、I，N，S 共 7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率是 ；(4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 P(A)=a，P(B)=b，P(A+B)=c，则 P(AB)= ( )（分数：2.00）A.a 一 bB.cbC.a(1b)D.a(1 一 c)8.设 0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A
4、 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )9.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 B)=0B.P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.D.10.设 X 1 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)一 F 2 (x)
5、C.F 1 (x)F 2 (x)D.F 1 (x)F 2 (x)11.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 2 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 （分数：2.00）A.a=1，b=0B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_13.事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发
6、生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成
7、功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)=4PX=2)，则 PX=3)= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5
8、的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：（分数：6.00）(1).A=“某指定的五个盒子中各有一个球“；（分数：2.00）_(2).B=“每个盒子中最多只有一个球”；（分数：2.00）_(3).C=“某个指定的盒子不空”（分数：2.00）_24.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A
9、，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_27.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C 独立（分数：2.00）_28.袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_29.甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_30.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 .甲先射，谁先命中谁得胜问甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_
10、31.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_32.设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率（分数：2.00）_33.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只；若未
11、发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 17 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下结论，错误的是 ( )（分数：2.00）A.若B.若 A，B 满足 P(BA)=1，则 P(AB)=0C.设 A，B，C 是三个事件，则(AB)B=ABD.若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 1
12、解析：解析：3.设 A，B 是任意两个事件，且 （分数：2.00）A.P(A)P(AB) B.P(A)P(AB)C.P(A)P(AB)D.P(A)P(AB)解析：解析：由于4.设事件 A，B 满足 （分数：2.00）A.互不相容B.相容C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A) 解析：解析：用文氏图，如果 A，B 满足 则 相容，所以 A 错误如果 A，B 满足 则 ，所以 B 错误由于5.一种零件的加工由两道工序组成第一道工序的废品率为 p 1 ，第二道工序的废品率为 p 2 ，则该零件加工的成品率为 ( )（分数：2.00）A.1 一 p 1 一 p 2B.1 一 p 1 p
13、 2C.1 一 p 1 一 p 2 +p 1 p 2 D.(1 一 p 1 )+(1 一 p 2 )解析：解析：设 A=“成品零件”，A i =“第 i 道工序为成品”，i=1，2P(A 1 )=1 一 p 1 ，P(A 2 )=1一 p 2 ，P(A)=P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 )=(1 一 p 1 )(1 一 p 2 )=1p 1 一 p 2 +p 1 p 2 故选 C6.以下 4 个结论：(1)教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 ；(2)教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 ；(3)将 C，C，E，E，I，N，S 共 7 个字
14、母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率是 ；(4)袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：对于 4 个结论分别分析如下：(1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在365 天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365 个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A 1 =“他们的生日都不相同”，则 (2)设 A 2 =“至少有两个人的生日在同一个月”，则考虑对立事件， (3)设 A 3 =“
15、恰好排成 SCIENCE”，将7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 C 7 2 种占法，字母 E 在余下的 5 个位置中占两个位置，共有 C 6 2 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3 1 种，故基本事件总数为 C 7 2 C 5 2 3!=1 260，而 A 3 中的基本事件只有一个，故 (4)设 A 4 =“最小号码为 5”，则 7.设 P(A)=a，P(B)=b，P(A+B)=c，则 P(AB)= ( )（分数：2.00）A.a 一 bB.cb C.a(1b)D.a(1 一 c)解析：解析：8.设
16、0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )解析：解析：P(A 1 U A 2 B )=P(A 1 B)+P(A 2 B)一 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)P(A 1 A 2 B)=0P(A 1 A 2 B)=0，P(A 1 BUA 2 B)=P(
17、A 1 B)+P(A 2 B)-P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，故选 B9.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 B)=0B.P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C. D.解析：解析：由 A 1 A 2 =，得 P(A 1 A 2 )=0，于是 10.设 X 1 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)一 F
18、 2 (x)C.F 1 (x)F 2 (x) D.F 1 (x)F 2 (x)解析：解析：用排除法因为 F 1 (x)，F 2 (x)都是分布函数，所以 11.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 2 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 （分数：2.00）A.a=1，b=0B.C.D. 解析：解析：由 ，知四个选项均满足这个条件，所以再通过 确定正确选项，由于二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为
19、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知事件 A 与 B 独立，且13.事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1 一 a)(1-b)）解析：解析：14.设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则 P(ABC)的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 A，B 是任意两个事件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
20、答案：正确答案：0）解析：解析：16.一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A i 表示“第 i 次取的是次品”，i=1，2则有 由全概率公式得 17.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是独立重复试验概型，设 X=“掷五次硬币，正面出现的次数”，则 X ，而 Y=5 一X 为 5 次中反面出现的次数记 A=“正面、反面都至少出现两次”，则18.已知
21、每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是独立重复试验概型，记 A=“成功”，则 P(A)=p，X=“n 次试验中 A 发生的次数”，则XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为19.设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 记 A=X2)，Y=“对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数”20.设随机变量
22、X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，0）解析：解析：由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又21.设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(X1)=4PX=2)，则 PX=3)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX1)=P(X=0)+PX=1)=e 一 1 +e 一 ， 由 P(x1)=4P(X=2知 e 一 +e 一 =一 2 2 e 一 ，即 2 2 一 一 1=0，解得 =1，故 22.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
23、因为 所以，三、解答题(总题数：12，分数：26.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为 1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：（分数：6.00）(1).A=“某指定的五个盒子中各有一个球“；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=10 5 5 个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5!个，所以 )解析：(
24、2).B=“每个盒子中最多只有一个球”；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件 B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C 10 5 种选法)，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法)，由乘法法则，事件 B 包含 C 10 5 5!个基本事件，所以 )解析：(3).C=“某个指定的盒子不空”（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件 C 的逆事件 表示“某个指定的盒子内无球”，即“5 个球都放入其他9 个盒子中”，C 包含的基本事件数为 9 5 ，所以 )解析：24.设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也
25、是不合格品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A i =“从 10 件产品中任取两件，有 i 件不合格品”，i=0，1，2记 B=A 1 U A 2 ，按题意，所求概率为 P(A 2 B)而 )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：26.设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，若 A、B 互不相容，则 AB=，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A、B不相互独立；另一方面，若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是 AB，
26、即 A、B 不是互不相容的)解析：27.证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C 独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A U B)C)=P(AC U BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)一 P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)一 P(AB)P(C) =P(A U B)P(C)， 即 A U B 与 C 相互独立 P(A 一 B)C)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C) =P(A 一 B)P(C)， 即 AB 与 C 相互独立)解析：28.袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋
27、中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=发现是同一颜色，B=全是白色，C=全是黑色，则 A=B+C，所求概率为)解析：29.甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从乙袋中取出的是白球，B=从甲袋中取出的两球恰有 i 个白球，i=0，1，2由全概率公式 )解析：30.有两名选手比赛射击，轮流对同一个目标进行射击，甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 .甲先射，谁先命中谁得胜问
28、甲、乙两人获胜的概率各为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=第 i 次命中目标，i=1，2，所以 )解析：31.某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，那么他从未中奖的可能性是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=第 i 次中奖i=1，2，520，p=P在一次购买彩票中中奖则事件 A 1 ，A 2 ，A 520 相互独立，且 p=10 -5 所以 )解析：32.设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是 05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选
29、一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该随机试验分为两个阶段：选入，A 甲 ，A 乙 ；射击，B=目标被命中则 (2)该随机试验不分阶段， )解析：33.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只；若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A i =抽取的一箱中含有 i 件次品)(i=0，1，2)，则 A 0 ，A 1 ，A 2 构成完备事件组，且 P(A 0 )=08，P(A 1 )=015，P(A 2 )=005设 B=一次通过验收，则 (2)由贝叶斯公式得 )解析：
