1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 25及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X-2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.已知随机事件 A的概率 P(A)=05，随机事件 B的概率 P(B)=06 及条件概率 P(B|A)=08，则和事件AB 的概率 P(AB)= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.设两个相互独立
2、的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_5.设相互独立的两个随机变量 X与 Y具有同一分布律，且 X的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_6.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_8.将 n个同样的盒子和，n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。将这 n个小球随机地投入 n个盒子中，每个盒子中投入一只小球，问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.0
3、0）_9.设事件 A、B、C 两两独立，且 ABC=，P(A)=P(B)=P(C)=p，问 p可能取的最大值是多少?（分数：2.00）_10.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_11.某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现这 10件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)，记 X为一天中调整设备的次数，试求 X的分布列（分数：2.00）_12.设随机变量 X，Y，Z 独立，均服从指数分布，参数依次为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PX=min(X，Y，Z)（分数：2.00）_13.设一电路装有
4、3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为 的指数分布(0)，当 3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的密度 f(t)。（分数：2.00）_14.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 25，设 X为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望。（分数：2.00）_设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 Y的概率分布；（分数：2.00）_(2).求 EY（分数：2.00）_15.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布
5、，且 P(X 1 =1)=p，P(X 1 =0)=1-p，记： （分数：2.00）_16.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_17.从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上的概率为002，求总体的标准差(233)=099)（分数：2.00）_18.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_19.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).判断 （分数：2.00）_2
6、0.设总体的密度为： （分数：2.00）_21.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程。 附表：t 分布表，Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 25答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和
7、 2，则随机变量 3X-2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：由 DX=4，DY=2，且 X与 Y独立，故 D(3X-2y)=9DX+4DY=94+42=44二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.已知随机事件 A的概率 P(A)=05，随机事件 B的概率 P(B)=06 及条件概率 P(B|A)=08，则和事件AB 的概率 P(AB)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.7）解析：解析：由 08=P(B|A)=4.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
8、）解析：解析：由题意得 得 P(A)-P(AB)=P(B)=P(AB)，P(A)=P(B) =1-P(AB)=1-P(A)+P(B)-P(AB) =1-2P(A)+P(A) 2 解得 P(A)= 5.设相互独立的两个随机变量 X与 Y具有同一分布律，且 X的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知知，Z 可能取的值为 0、1 两个 而 PZ=0=PmaxX，Y=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1=P(Z=0)=6.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1。（分数：2
9、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，X 的概率分布为： 且 P(Y=2|X=1)=0，P(Y=2|X=2)= ，P(Y=2|X=3)= ，P(Y=2|X=4)= ，故由全概率公式得三、解答题(总题数：17，分数：36.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：8.将 n个同样的盒子和，n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。将这 n个小球随机地投入 n个盒子中，每个盒子中投入一只小球，问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设事件 A、B、C 两两独立，且 ABC=，P(
10、A)=P(B)=P(C)=p，问 p可能取的最大值是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p-3p 2 ，又P(ABC)P(AB)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p 2 ，2p-p 2 3p-p 2 ，解得 (p=0显然无意思)；取 =w 1 ，w 2 ，w 3 ，w 4 ，p(w i )= ，i=1，4，A=w 1 ，w 2 ，B=w 1 ，w 3 ，C=w 2 ，w 3 ，则 P(A)=P(B)=P(C)= ，而此 A、B、C 两两独立且 ABC=，可见 p可能取的最大值应为 (
11、后半部分在说明：这个 )解析：10.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X的边缘概率密度为： 当-x+时， )解析：11.某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现这 10件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)，记 X为一天中调整设备的次数，试求 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设检验员取出的 10件产品中有 Y件次品，则 YB(10，01)而 XB(6，p)，其中 p=P(Y1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C 10 0 09 10-0 -C
12、 10 1 01 1 09 10-1 =02639，故 P(X=k)=C 6 k 02639 k 07361 6-k ，k=0，1，2，6。)解析：12.设随机变量 X，Y，Z 独立，均服从指数分布，参数依次为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PX=min(X，Y，Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为 )解析：13.设一电路装有 3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为 的指数分布(0)，当 3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的密度 f(t)。（分数：2.00）_正确答案：
13、(正确答案：记 X 1 ，X 2 ，X 3 为这 3个元件的无故障工作的时间，则 T=min(X 1 ，X 2 ，X 3 )的分布函数为 F T (t)=P(Tt)=1-Pmin(X 1 ，X 2 ，X 3 )t=1-P(X 1 t) 3 =1-1-P(X 1 t) 3 )解析：14.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 25，设 X为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，XB(3， ) 分布函数 F(x)=P(Xx) 当 x0 时，F(x)=0 当 0x1
14、 时，F(x)=PX=0= 当 1x2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)= 当 2x3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 当 x3 时，F(x)=1 )解析：设随机变量 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 Y的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 EY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设随机变量 X 1 ，X n ，X n+1 独立同分布，且 P(X 1 =1)=p，P(X 1 =0)=1-p，记： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EY i =P(X i +X i+1 =1)=P(X
15、 i =0，X i+1 =1)+P(X i =1，X i+1 =0)=2p(1-p)，i=1，n =2np(1-p)，而 E(Y i 2 )=P(X i +X i+1 =1)=2p(1-p)，DY i =E(Y 2 2 )-(EY i ) 2 =2p(1-p)1-2p(1-p)，i=1，2，n若 l-k2，则 Y k 与 Y l 独立，这时 cov(Y k ，Y l )=0，而E(Y k Y k+1 )=P(Y k =1，Y k+1 =1)=P(X k +X k+1 =1，X k+1 +X k+2 =1)=P(X k =0，X k+1 =1，X k+2 =0)+P(X k =1，X k+1 =
16、0，X k+2 =1)=(1-p) 2 p+p 2 (1-p)=p(1-p)，cov(Y k ，Y k+1 )=E(Y k Y k+1 )-EY k EY k+1 =p(1-p)-4p 2 (1-p) 2 ，故 =2np(1-p)1-2p(1-p)+ )解析：16.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引随机变量 X k (1)(参数为 1的泊松分布)，k=1，2，且X k 相互独立，由泊松分布的再生性知 令 n，由中心极限定理即知： )解析：17.从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上的概率为002，求总体的标准差(233
17、)=099)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设总体 XN(， 2 )，则 ，由题意得： )解析：18.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计： 再求最大似然估计，似然函数 L(x 1 ，x n ；)为 当 0x 1 ，x n 1 时， lnL=nln(+1)+ln(x 1 x n ) 由于 ，lnL，在 0 处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知 lnL(或 L)在 = 0 处取得最大值，故知 的最大似然估计为 )解析：19.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数 而由题意，x 1 ，x 2 ，x n 中有 N
18、个的值在区间(0，1)内，故知 L= N (1-) n-N lnL=Nln+(n-N)ln(1-) 故知 的最大似然估计为 )解析：设总体 X的概率密度为 其中参数 (01)未知，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 DX0，0，可知 E4( ) 2 2 ，有4( ) 2 2 ，即 4( )解析：20.设总体的密度为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程。 附表：t 分布表，Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这次考试全体考生的成绩为总体 X，抽的 36位考生的成绩为简单随机样本值 x 1 ，x n ，而 和 s 2 分别为样本均值和样本方差，由题意，可设 XN(， 2 )， 2 未知 现要检验 H 0 ：=70，(H 1 ：70)(=005) )解析：
