1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 26及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 A，B 为任意两个随机事件，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)P(A)P(B)C.D.3.设事件 A与 B独立且不相容，则 minP(A)，P(B)=( )（分数：2.00）A.1B.0C.D.不能确定4.设随机变量 X的密度为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，xR 1 ，又设 X的分布函数为 F(x)，则对任意实数a，F(-a)等于
2、( )（分数：2.00）A.1- 0 a f(x)dxB.C.F(a)D.2F(a)-15.设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX与 EY存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y)，则 E(UV)=( )（分数：2.00）A.EUEVB.EXEYC.EUEYD.EXEY6.设随机变量 Xt(n)，YF(1，n)，给定 (005)，常数 c满足 PXc=，则 PYc 2 =( )（分数：2.00）A.B.1-C.2D.1-2二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 A、B 两个事件满足条件 P(AB)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 在区间(1，6)上服从均匀分布
3、，则方程 x 2 +x+1=0 有实根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则 E(X+e -2x )= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的概率分布为 PX=k)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：28.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且
4、中途下车与否相互独立，以 y表示在中途下车的人数，求（分数：4.00）(1).在发车时有，n 个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（分数：2.00）_(2).二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 PX2Y；（分数：2.00）_(2).求 Z=X+Y的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_13.将一枚均匀硬币连掷 3次，X 为这 3次抛掷中正面出现的次数，Y 为这 3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值，试写出(X，Y)的分布列和关于 X，Y 的边缘分布列，并判断 X与 Y是否独立。（分数：2.00）_
5、14.设区域 D为：由以(0，0)，(1，1)，(0，12)，(12，1)为顶点的四边形与以(12，0)，(1，0)，(1，12)为顶点的三角形合成而(X，Y)在 D上服从均匀分布，求关于 X和 Y的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)。（分数：2.00）_15.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)（分数：2.00）_16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布且 DX 1 = 2 ，令 （分数：2.00）_17.设试验成功的概率为 34，失败的概率为 14，独立重复试验直到两次成功为止，设 X为所需要进行的试验次数，求 X的概率分布及 E(X)
6、（分数：2.00）_18.两家影院竞争 1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响，试用中心极限定理近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=0990)（分数：2.00）_设总体 X的分布函数为 （分数：6.00）(1).求 EX与 EX 2 ；（分数：2.00）_(2).求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：2.00）_19.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了 13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表： （分数：2.00）_考研
7、数学一（概率与数理统计）-试卷 26答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 A，B 为任意两个随机事件，则( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)P(A)P(B)C. D.解析：解析：由 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，两式相加即得：3.设事件 A与 B独立且不相容，则 minP(A)，P(B)=( )（分数：2.00）A.1B.0 C.D.不能确定解析：解析：AB=，得 0=P(AB)=P(A)P(B)，可
8、见 P(A)与 P(B)中至少有一个为 0，故 minP(A)，P(B)=04.设随机变量 X的密度为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，xR 1 ，又设 X的分布函数为 F(x)，则对任意实数a，F(-a)等于( )（分数：2.00）A.1- 0 a f(x)dxB. C.F(a)D.2F(a)-1解析：解析：1= - + f(x)dx=2 0 + f(x)dx， 0 + f(x)dx=12，而 F(-a)= - -a f(x)dx= + a f(-t)(-dt)= a + f(t)dt= 0 + f(x)dx= 0 a f(x)dx= 5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX与 EY存
9、在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y)，则 E(UV)=( )（分数：2.00）A.EUEVB.EXEY C.EUEYD.EXEY解析：解析：由题意知6.设随机变量 Xt(n)，YF(1，n)，给定 (005)，常数 c满足 PXc=，则 PYc 2 =( )（分数：2.00）A.B.1-C.2 D.1-2解析：解析：由题意，X 2 与 Y同分布，即|X|与 同分布，且由 005，可见 c0，故 P(Yc 2 )=P c)=P(|X|c)=P(Xc)+P(X-c)=+=2 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知 A、B 两个事件满足条件 P(AB)= （分数：2.00）填空项
10、 1:_ （正确答案：正确答案：1-p）解析：解析：由 P(AB)=8.设随机变量 在区间(1，6)上服从均匀分布，则方程 x 2 +x+1=0 有实根的概率是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 的密度为： 而方程 x 2 +x+1=0 的判别式= 2 -4 故该方程有实根的概率为P(0)=P( 2 4)=P(|2)= |x|2 f(x)dx= 9.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，则 E(X+e -2x )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，X 的密度为： 且知 EX=110.设随机变量 X的概
11、率分布为 PX=k)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：11.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由题意知 X与 Y独立同分布，且 XN(， 2 )， 故 EX=，E(Y 2 )=DY+(EY) 2 = 2 + 2 E(XY 2 )=EXE(Y 2 )=( 2 + 2 )= 3 + 2三、解答题(总题数：11，分数：28.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设某班车起点站上客人数 X服从
12、参数为 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 y表示在中途下车的人数，求（分数：4.00）(1).在发车时有，n 个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由贝努里概型知 所求概率为 P(y=m|X=n)=C n m p m (1-p) n-m (m=0，1，n)解析：(2).二维随机变量(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=n，Y=m)=P(Y=m|X=n)P(X=n) =C n m p m (1-p) n-m ， )解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4
13、.00）(1).求 PX2Y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 Z=X+Y的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Z (z)= - + f(x，z-x)dx 于是，f Z (z)= 0 1 f(x，z-x)dx z0时，f Z (z)=0；0z1 时，f Z (z)=(2-z)dx=z(2-z) 1z2 时，f Z (z)= z-1 1 (2-z)dx=(2-z) 2 ；z2 时，f Z (z)=0 故 )解析：13.将一枚均匀硬币连掷 3次，X 为这 3次抛掷中正面出现的次数，Y 为这 3次抛掷中正、反面出现的次数之差的绝对值，试
14、写出(X，Y)的分布列和关于 X，Y 的边缘分布列，并判断 X与 Y是否独立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=k)= ，k=0，1，2，3，而 Y=|X-(3-X)|=|2X-3|，得(X，Y)的分布如下表，并算出边缘分布列，P(X=0，Y=1)=0 =P(X=0)P(Y=1)，X 与 Y不独立。 )解析：14.设区域 D为：由以(0，0)，(1，1)，(0，12)，(12，1)为顶点的四边形与以(12，0)，(1，0)，(1，12)为顶点的三角形合成而(X，Y)在 D上服从均匀分布，求关于 X和 Y的边缘密度 f X (x)和 f Y (y)。（分数：2.00）_正确答案：
15、(正确答案： 易算得 D 1 的面积为 38，D 2 的面积为 18，故 D的面积为 12， (X，Y)的概率章密度为 f X (x)= - + y(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X (x)=0 而 f Y (y)= - + f(x，y)dx 当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0； )解析：15.设随机变量(X，Y)N(0，1；0，1；)，求 Emax(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(XY)=EX-EY=0，D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=1+12=2(1-)，X-YN(0，2(1-)， )解析：16.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n
16、 独立同分布且 DX 1 = 2 ，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设试验成功的概率为 34，失败的概率为 14，独立重复试验直到两次成功为止，设 X为所需要进行的试验次数，求 X的概率分布及 E(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=k)=P前 k-1次试验中恰出现 1次成功，第 k次试验成功= ，k=2，3，设出现第 1次成功时进行了 次试验，从第 1次成功(不含)到第 2次成功(含)进行了 次试验，则 X=+，且 与 服从同一几何分布：P(=k)= )解析：18.两家影院竞争 1000名观众，每位观众随机地选择影院且互不影响，试用中心极限定理
17、近似计算：每家影院最少应设多少个座位才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过 1?(2328)=0990)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲影院(乙影院完全同理)应设 N个座位才符合要求，而这 1000名观众中有 X名选择甲影院，则 XB(1000，12)，由题意有：P(XN)099而由中心极限定理知：P(XN)= )解析：设总体 X的分布函数为 （分数：6.00）(1).求 EX与 EX 2 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 )解析：(2).求 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x 1 ，x n 0 时，lnL=nln2-nln+ln(x 1 x n )- )解析：(3).是否存在实数 a，使得对任何 0，都有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 E(X 2 )= 及辛钦大数定律知，n时， ，故知：取 a=，则有 0，均有 )解析：19.为了研究施肥和不施肥对某种农作物产量的影响独立地，选了 13个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X与 Y，XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )，本题中 n=6， =33， )解析：
