1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 10及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下 4个结论：(1)教室中有 r个学生，则他们的生日都不相同的概率是 (2)教室中有 4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 (3)将 C，C，E，E，I，N，S 共 7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 (4)袋中有编号为 1到 10的 10个球，今从袋中任取 3个球，则 3个球的最小号码为 5的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C
2、.3D.43.设 0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )4.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 B)=0B.P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.D.5.设 X 1
3、 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)-F 2 (x)C.F 1 (x)F 2 (x)D.F 1 (x)F 2 (x)6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 1 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.将一枚硬
4、币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 X服从参数为 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X服从泊松分布，且 PX1)=4PX=2)，则 PX=3)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答
5、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数：2.00）_14.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 a，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_15.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并
6、求 （分数：2.00）_16.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_17.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_18.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，-x+求：（分数：6.00）(1).系数 A与 B；（分数：2.00）_(2).P-1X1；（分数：2.00）_(
7、3).X的概率密度（分数：2.00）_19.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).使用的最初 150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；（分数：2.00）_(2).在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数 Y的分布律；（分数：2.00）_(3).Y的分布函数（分数：2.00）_20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_21.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1-e -X 的概率密度函数 f y (y)（分数：2.00）_22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)
8、= （分数：2.00）_23.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 10答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下 4个结论：(1)教室中有 r个学生，则他们的生日都不相同的概率是 (2)教室中有 4个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 (3)将 C，C，E，E，I，N，S 共 7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 (4)袋中有编号为
9、 1到 10的 10个球，今从袋中任取 3个球，则 3个球的最小号码为 5的概率为 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：对于 4个结论分别分析如下： (1)这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r个球随机放人不同的 r个盒子中的概率”设 A 1 =他们的生日都不相同，则 (2)设 A 2 =至少有两个人的生日在同一个月，则考虑对立事件， (3)设 A 3 =恰好排成 SCJENCE，将 7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 C在 7个位置中占两个
10、位置，共有 种占法，字母 E在余下的 5个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 I，N，S 剩下的 3个位置上全排列的方法共 31种，故基本事件总数为 ，而 A 3 中的基本事件只有一个，故 (4)设 A 4 =最小号码为 5，则 P(A 4 )= 3.设 0P(B)1，P(A 1 )P(A 2 )0 且 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则下列等式成立的是 ( )（分数：2.00）A.B.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A
11、 2 )P(BA 2 )解析：解析：由 P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)-P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)可得P(A 1 A 2 B)=0，即 P(A 1 A 2 B)=0， P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)-P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，故选(B)4.设 P(B)0，A 1 ，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 B)=0B.P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C. D.解析：解析：由 A 1 A
12、 2 = ，得 P(A 1 A 2 )=0，于是 P(A 1 A 2 B)= =0，(A)正确； P(A 1 A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)-P(A 1 A 2 B) =P(A 1 B)+P(A 2 B)，(B)正确； 5.设 X 1 ，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.F 1 (x)-F 2 (x)C.F 1 (x)F 2 (x) D.F 1 (x)F 2 (x)解析：解析：用排除法 因为 F 1 (x)，F 2 (x)都是分布函数
13、，所以 故(A)不正确 故(B)不正确 对于(D)，由于 型未定式极限，因此，不能保证 6.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 1 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 ，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过 F(0)= 确定正确选项由于二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
14、确答案：*）解析：解析：这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则 X ，而 Y=5-X为5次中反面出现的次数 记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5，25-X5 =P2X5，0X3=PX=2X-3 =8.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中 A发生的次数，则XB(n，p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为9.设
15、 X服从参数为 的指数分布，对 X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2的概率为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 记 A=X2)，Y=对 X作三次独立重复观察 A发生的次数，YB(3，p)，p=PX2=，由题意10.设随机变量 X的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，0）解析：解析：由 F(x)右连续的性质得 ，即 A+B=1又11.设随机变量 X服从泊松分布，且 PX1)=4PX=2)，则 PX=3)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX1=PX=0+PX
16、=1=e - +e - ，PX=2)= ，由 PX1=4PX=2)知 e - +e - =2 2 e - ，即 2 2 -1=0，解得 =1，故 三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.盒子中有 n个球，其编号分别为 1，2，n，先从盒子中任取一个球，如果是 1号球则放回盒子中去，否则就不放回盒子中；然后，再任取一个球，若第二次取到的是 k(1kn)号球，求第一次取到 1号球的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=第一次取到 1号球，B=第二次取到 k号球，C=第一次取到 k号球，则有 P(A)= (1)当
17、k=1时，因为 所以 (2)当 k1 时，因为 )解析：14.甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得 1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为 a，乙胜的概率为 (+=1)，比赛进行到一人比另一人多 2分为止，多 2分者最终获胜求甲、乙最终获胜的概率比赛是否有可能无限地一直进行下去?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲最终获胜，B=乙最终获胜在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为 C 1 ，则 P(AC 1 )=1；若“乙连胜两个回合”，记为 C 2 ，则 P(AC 2 )=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为 C 3 ，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一
18、样，所以 P(AC 3 )=P(A)显然 P(C 1 )= 2 ，P(C 2 )= 2 ，P(C 3 )=2， 由全概率公式 P(A)=P(AC 1 )P(C 1 )+P(AC 2 )P(C 2 )+P(AC 3 )P(C 3 ) = 2 +0+2P(A) 得 P(A)= 同理有 P(B)=P(BC 1 )P(C 1 )+P(BC 2 )P(C 2 )+P(BC 3 )P(C 3 ) =0+ 2 +2P(B)， 可得 P(B)= 因 )解析：15.向半径为 r的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离 X的分布函数 F(x)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 3-5所示，F(x)
19、=PXx= ，0xr，所以 )解析：16.随机地取两个正数 x和 y，这两个数中的每一个都不超过 1，试求 x与 y之和不超过 1，积不小于009 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 3-6所示，有 =04-0181n 302 )解析：17.一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X=0=P(第一个路口即为红灯= P=X1)=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X的分布律为 )解析：18.一实习生用一台机器接连生产
20、了三个同种零件，第 i个零件是不合格品的概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i个零件是合格品，i=1，2，3，则 则 X的分布律为 )解析：设随机变量 X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx，-x+求：（分数：6.00）(1).系数 A与 B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分布函数的性质 )解析：(2).P-1X1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P-1X1)=F(1)-F(-1)= )解析：(3).X的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为 f(x)=F“(x)= )解析：19.设随机变量 X的概率密度
21、为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的图形如图 3-7所示，则 X的分布函数为 )解析：设电子管寿命 X的概率密度为 （分数：6.00）(1).使用的最初 150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 为在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数，YB(3，p)，其中 所求概率为 PY2)=PY=2+PY=3 )解析：(2).在使用的最初 150小时内烧坏的电子管数 Y的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 的分布列为 PY=k= ，k=0，1，2，3，即 )解析：(3).Y的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：Y 的分布函数为 )解析：20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分)服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 YB(5，p)，其中 于是 Y的分布为 PY=k= )解析：21.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1-e -X 的概率密度函数 f y (y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一(分布函数法) 由题设条件知，X 的密度函数与分布函数分别为 所以当 y0 时，F Y (y)=PYy=P1- -X y=0，f Y (y)=0； 当 0y1 时， F Y (y)=Pyy)=P(1-e -X y = f Y (y)=1
23、； 当 y1 时，F Y (y)=PYy)=P(1-e -X y)=1，f Y (y)=0 从而可得 即随机变量 Y=1-e -X 服从区间(0，1)上的均匀分布 方法二(公式法)y=1-e -x 是(0，+)上的单调函数，且其反函数为 在区间(0，1)上， )解析：22.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 X的密度函数积分得 X的分布函数 设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当y0 时，G(y)=PYy)=PF(X)y)=0； 当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1； 当 0y1 时， G(y)=PYy=PF(X)y= =PX(
24、y+1) 3 =F(y+1) 3 =y， 或 于是，Y=F(X)的分布函数为 )解析：23.设随机变量 X在0，上服从均匀分布，求 Y=sinX的密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一(公式法) 由题设条件 函数 y=sinx在 上单调减少，其反函数分别为 x=arcsiny，0y1； x=-arcsiny，0y1 所以，当 0y1 时， f Y (y)=fx(arcsiny).(arcsiny)“+f X (-arcsiny).(-arcsiny)“ 方法二(分布函数法) 当 y0 时，F Y (y)=PYy=0，f Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=PYy=1，f Y (y)=0； 当 0y1 时， F Y (y)=PYy=PsinXy =PXarcsiny)X-arcsiny )解析：
