1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 14及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容。B.相容。C.P(AB)=P(A)P(B)。D.P(A-B)=P(A)。3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不
2、相互独立的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 F(x)= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数。B.是某连续型随机变量的分布函数。C.是某随机变量的分布函数。D.无法确定。6.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立。B.独
3、立。C.相关系数不为零。D.相关系数为零。9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 为未知参数 的无偏一致估计，且 （分数：2.00）A.无偏一致估计。B.无偏非一致估计。C.非无偏一致估计。D.非无偏非一致估计。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.0
4、0）填空项 1:_13.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x)，已知F(b)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1-e -X 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X
5、的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设事件 A与 B互不相容，P(A)=04，P(B)=03，求 （分数：2.00）_21.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0-1分布。()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)。（分数：2.00）_22.袋中有 1个红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 ()求PX=1
6、Z=0； ()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_23.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_24.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_25.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P=i= （分数：2.00）_26.设 X 1 ，X 2 ，X n (
7、n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i - （分数：2.00）_27.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000只零件的总质量超过 2510kg的概率是多少?（分数：2.00）_28.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 ； ()如果用 （分数：2.00）_考
8、研数学一（概率论与数理统计）-试卷 14答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.不相容。B.相容。C.P(AB)=P(A)P(B)。D.P(A-B)=P(A)。 解析：解析：因为 AB= ，所以 A-B=A-AB=A- =A，从而 P(A-B)=P(A)，故选项 D正确。 对于选项A、B 可举反例排除，如取 =1，2，3，A=1，B=2，则 AB= ，故
9、选项 A不正确；如果取 A=1，B=2，3，显然 AB= 不相容，选项 B也不正确。 对于选项 C，由于 AB=3.设 A和 B为任意两不相容事件，且 P(A)P(B)0，则必有( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为4.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积(或其逆)与事件 C或5.设函数 F(x)= （分数：2.00）A.不是任何随机变量的分布函数。B.是某连续型随
10、机变量的分布函数。C.是某随机变量的分布函数。 D.无法确定。解析：解析：由函数 F(x)的表达式可知，F(x)是单调非减的；F(x)是有界的；F(x)是右连续的(主要在x=0和 x=2这两点处)，即 F(x)满足分布函数的三条基本性质，所以 F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F(x)在 x=2处不连续，所以 F(x)不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C正确。6.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +PX=
11、1PY=17.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 xX 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 xX 1 =1 8.设随机变量 X和 Y独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则随机变量 U与 V必然( )（分数：2.00）A.不独立。B.独立。C.相关系数不为零。D.相关系数为零。 解析：解析：因为 Cov(U，V)=E(UV)-E(U).E(V)
12、 =E(X 2 -Y 2 )-E(X-Y).E(X+Y) =E(X 2 )-E(Y 2 )-E 2 (X)+E 2 (Y) =D(X)-D(Y)=0。 则 9.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2 ，则可以作出服从自由度为 n的 2 分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，故各选项的第二项 与 S 2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从 2 (1)分布的随机变量。因为 10.设 为未知参数 的无偏一致估计，且 （分数：2.00）A.无偏一致估计。B.无偏非一致
13、估计。C.非无偏一致估计。 D.非无偏非一致估计。解析：解析：根据无偏估计和一致估计的概念可得二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，有 由于 A和 B相互独立，所以 A与 与 B也相互独立，于是由 ，有即 P(A)1-P(B)=1-P(A)P(B)， 可得 P(A)=P(B)。 从而 解得 P(A)=12.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=PY0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：首先分析事件的关系
14、，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。 由于A=max(X，Y)0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 P(A)=PX0+PY0-Px0，Y0= 又max(X，Y)0 min(X，Y)0，则 B=max(X，Y)0，min(X，Y)0=max(X，Y)0= 。 从而 P(B)= 根据全集分解式知：A=max(X，Y)0=max(X，Y)0，min(X，Y)0+max(X，Y)0，min(X，Y)0=C+X0，Y0，故 P(C)=P(A)-PX0，Y0=13.设随机变量 X的概率分布 P(X=k)= ，k=1，2，其中 a为常数。X 的分布函数为 F(x)，已知F(
15、b)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3b4）解析：解析：首先确定 a，由 解得 a=1。 又 当 ixi+1 时，F(x)=14.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，可知 D(X)= ，于是15.设随机变量 X服从参数为 1的指数分布，随机变量函数 Y=1-e -X 的分布函数为 F Y (y)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
16、答案：正确答案：*）解析：解析：17.已知随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：由于 D(X 2 )=E(X 4 )-E 2 (X 2 )。 18.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，即求 E(X 2 )。首先对所给概率密度作变换：对于 x(-x+)，有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 E(X)= 。于是 E(X 2 )=D(X)+E 2 X= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程
17、或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设事件 A与 B互不相容，P(A)=04，P(B)=03，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A与 B互不相容，所以 AB= ，故 )解析：21.设离散型随机变量 X服从参数 p(0p1)的 0-1分布。()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 G(y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()F(x)=PXx= ()Y=F(X)= PY=0=PX0=0， PY=1-P=P0X1=PX=0=1-P， PY=1=PX1=PX=1=p， 于是 y的分布律与分布函数分别为 )解析：22.袋中有 1个
18、红球，2 个黑球和 3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 ()求PX=1Z=0； ()求二维随机变量(X，Y)的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()在没有取白球的情况下取了一次红球，根据压缩样本空间原则，相当于只有1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球。所以 ()X，Y 取值范围为 0，1，2，故 )解析：23.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如
19、图 3-3-5所示 ()(1)当 10x20 时，f X (x)0，条件概率密度f YX (yx)存在。 (2)当 10x20 时，有 (3)当 5y10 或 10y20，f Y (y)0，f XY (xy)存在。当 5y10 时， (4)当 10y20 时， f XY (xy)是单个自变量 x的函数，y是一个固定值。 ()当 x=12时 Y的条件概率密度为 ()PY8X=12= )解析：24.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量
20、的分布函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P=i= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()X，Y 可能的取值均为 1，2，3。 PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1P=1= 同理 PX=2，Y=2=PX=3，Y=3= PX=2，Y=1=P=2，=1+P=1，=2 =2.P=1.P=2= 同理 PX=3，Y=1=PX=3，Y=2= 由题意可知 XY 始终成立，即XY是不可能事件，故 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 (X，Y)的联合分布律如下表： )解析：26.设 X 1 ，X
21、2 ，X n (n2)为取自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i - （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立，且 E(X i )=0，D(X i )=1(i=1，2，n)， ()因为已知 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， )解析：27.设各零件的质量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为 05kg，均方差为01kg，问 5000只零件的总质量超过 2510kg的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，设 X i 表示第 i只零
22、件的质量(i=1，2，5000)，且 E(X i )=05，0(X i )=012。设总质量为 Y= ，则有 E(Y)=500005=2500，D(Y)=500001 2 =50， 根据独立同分布中心极限定理可知 Y近似服从正态分布 N(2500，50)，而 近似服从标准正态分布 N(0，1)所求概率为 )解析：28.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的数学期望是 设 x 1 ，x 2 ，x 3 是相对于样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组观测值，则似然函数为 当 0x i 1 时，L0 且 lnL= ，解得 的极大似然估计量为 )解析：29.设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 =minX 1 ，X 2 ，X n 。 ()求总体 X的分布函数 F(x)； ()求统计量 的分布函数 ； ()如果用 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： () =PminX 1 ，X 2 ，X n x =1-PminX 1 ，X 2 ，X n x =1-PX 1 x，X 2 x，X n x =1-1-F(x) n 所以 )解析：
