1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 16及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n都有关B.与 及 n都无关C.与 无关，与 n有关D.与 有关，与 n无关3.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X x ，X
2、2 ，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A. 2 (2)B. 2 (3)C.t(2)D.t(3)5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.Y 2 (n-1)B.Yt(n-1)C.YF(n，1)D.YYF(1，n-1)6.设随机变量 XF(n，n)，记 p 1 =PX1)，p 2 =PX1)，则 ( )（分数：2.00）A.p 1 p 2B.p 1 p 2C.p 1 =p 2D.p 1 ，p 2 大小无法比较二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设二维随机变量(X，Y)的分布律为
3、 （分数：2.00）填空项 1:_8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 PX-75k005，则k= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.某种零件的尺寸方差为 2 =121，对
4、一批这类零件检查 6件得尺寸数据(毫米)： 3256，2966，3164，3000，2187，3103 设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(a=005)（分数：2.00）_14.某批矿砂的 5个样品中镍含量经测定为 X()： 325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(a=001)?（分数：2.00）_15.从一批轴料中取 15件测量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2 =00004 有无显著差别?(a=005，椭圆度服从正态分布)（分数：2.00）_16.设某产品的指
5、标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平 a=005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低于 1600（分数：2.00）_17.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，E(X i )=，D(X j )= 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_19.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能
6、保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_20.用概率论方法证明： （分数：2.00）_21.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N只取正整数且 N与X n 独立，求证：（分数：2.00）_23.假设你是参加
7、某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：2.00）_24.对于任意二事件 A 1 ，A 2 ，考虑二随机变量 （分数：2.00）_25.假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 a 1 ，a 2 ，a 3 ，而另一张上同时印有 a 1 ，a 2 ，a 3 现在随意抽取一张卡片，令 A k =卡片上印有 a k 证明：事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立但不相互独立（分数：2.00）_某商品一周的需求量 X是随机变量，已知其概率密度为 （分数：4
8、.00）(1).U 2 和 U 3 的概率密度 f k (x)(k=2，3)；（分数：2.00）_(2).接连三周中的周最大需求量的概率密度 f (3) (x)（分数：2.00）_26.设 X和 Y相互独立都服从 0-1分布：PX=1=P(Y=1=06试证明：U=X+Y，V=X-Y 不相关，但是不独立（分数：2.00）_27.假设 G=(x，y)x 2 +y 2 r 2 是以原点为圆心，半径为 r的圆形区域，而随机变量 X和 Y的联合分布是在圆 G上的均匀分布试确定随机变量 X和 Y的独立性和相关性（分数：2.00）_28.假设某季节性商品，适时地售出 1千克可以获利 s元，季后销售每千克净亏
9、损 b元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X千克是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 16答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n都有关B.与 及 n都无关C.与 无关，与 n有关 D.与 有关
10、，与 n无关解析：解析：由题设有，XN(， 2 )， 因此 3.设 X 1 ，X 2 ，X n (n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4.设 X x ，X 2 ，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A. 2 (2)B. 2 (3)C.t(2) D.t(3)解析：解析： 所以由 T与 X相互独立得，5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.Y 2 (n-1)B.Yt(n-1) C.YF(n，1)D.YYF(1，n-
11、1)解析：解析：由总体 XN(0，1)知 X 1 N(0，1)， ，且它们相互独立，所以 6.设随机变量 XF(n，n)，记 p 1 =PX1)，p 2 =PX1)，则 ( )（分数：2.00）A.p 1 p 2B.p 1 p 2C.p 1 =p 2 D.p 1 ，p 2 大小无法比较解析：解析：由 XF(n，n)知 F(n，n)，所以 p 1 =PX1= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：关于 X与关于 Y的边缘分布律分别为8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：
12、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Cov(U，V)=COv(X+2Y，-X)=-DX-2Cov(X，Y) =-DX-2E(XY)+2EXEY， 其中 E(XY)= 关于 X的边缘概率密度为9.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：DZ=DX+DY-2Cov(X，Y) =DX+DY-2E(XY)+2EXEY， 其中D=(x，y)0x1，0yx如图 3-4阴影部分所示 关于 X的边缘概率密度为 关于 Y的边缘概率密度为10.设随机变量 X的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计
13、得 PX-75k005，则k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：P(X-75k)=PX-EXk11.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x)）解析：解析：由列维一林德伯格中心极限定理即得三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.某种零件的尺寸方差为 2 =121，对一批这类零件检查 6件得尺寸数据(毫米)： 3256，2966，3164，3000，2187，3103 设零
14、件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 3250 毫米(a=005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 已知的条件下检验假设 H 0 ：=3250 H 0 的拒绝域为Zz a2 ，其中 z 0.025 =196，故 )解析：14.某批矿砂的 5个样品中镍含量经测定为 X()： 325，327，324，326，324，设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为 325(a=001)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 未知的条件下检验假设 H 0 ：=325 H 0 的拒绝域为tt a2 (4)故 )解析：15.从一批轴料中取 15件测
15、量其椭圆度，计算得 S=0025，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的 2 =00004 有无显著差别?(a=005，椭圆度服从正态分布)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S=0025，S 2 =0000 625，n=15，问题是检验假设 H 0 ： 2 =00004 (1)H 0 ： 2 = =0000 4； (2)选统计量 2 并计算其值 (3)对于给定的 =005，查 2 分布表得临界值 (4)因为 )解析：16.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 =100，今抽了一个容量为 26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平 a=005 下，能否认为这批产品的指标的期望值 不低
16、于 1600（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：问题是在 2 已知的条件下检验假设 H 0 ：1600；H 1 ：1600 H 0 的否定域为 Z-z a2 ，其中 )解析：17.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： 试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意给定的 0，由于 )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，E(X i )=，D(X j )= 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由切比雪夫不等式得： )解析：19.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克
17、，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X是“装运的第 i箱的重量”，n 表示装运箱数，则 EX i =50，DX i =5 2 =25，且装运的总重量 Y=X 1 +X 2 +X n X n 独立同分布， EY=50n，DY=25n 由列维一林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是 )解析：20.用概率论方法证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设X n 为一独立同分布随机变量序列，每个 X k 服从参数为 1的泊松分布
18、，则EX k =1，DX k =1， 服从参数为 n的泊松分布故有 由列维一林德伯格中心极限定理知： )解析：21.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设游客需要 X小时到达中国馆，则 X的可能取值为 3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3， 要写出 X的分布律很困难，所
19、以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径，即Y=i表示“选择第 i条路径”则 PY=1=PY=2=PY=3= 因为 E(XY=1)=3，E(XY=2)=5+EX，E(XY=3)=7+EX，所以 )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为一列独立同分布的随机变量，随机变量 N只取正整数且 N与X n 独立，求证：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有 n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为 a(米)假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为 （分数：2.00）_正确答案：
20、(正确答案：设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为 1，2，nX 为“已经握手的女嘉宾的编号”，Y 表示“将要去握手的女嘉宾的编号”，则 )解析：24.对于任意二事件 A 1 ，A 2 ，考虑二随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p i =P(A i )(i=1，2)，p 12 =P(A 1 A 2 )，而 是 X 1 和 X 2 的相关系数易见，随机变量 X 1 和 X 2 都服从 01 分布，并且 PX i =1=P(A i )，PX i =0)= ，PX 1 =1，X 2 =1=P(A 1 A 2 ) (1)必要性设随机变量 X 1 和 X 2 独立，则 P(A 1 A 2
21、 )=PX 1 =1，X 2 =1)=PX 1 =1)P(X 2 =1=P(A 1 )P(A 2 ) 从而，事件 A 1 和 A 2 相互独立 (2)充分性设事件 A 1 和 A 2 相互独立，则 也都独立，故 PX 1 =0，X 2 =0= =PX 1 =0)PX 2 =0， PX 1 =0，X 2 =1=PX 1 =0PX 2 =1， PX 1 =1，X 2 =0= =PX 1 =1PX 2 =0， PX 1 =1X 2 =1= )解析：25.假设有四张同样的卡片，其中三张上分别只印有 a 1 ，a 2 ，a 3 ，而另一张上同时印有 a 1 ，a 2 ，a 3 现在随意抽取一张卡片，令
22、A k =卡片上印有 a k 证明：事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立但不相互独立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A k )= 由于对任意 k，j=1，2，3 且 kj，有 可见事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立但是，由于 )解析：某商品一周的需求量 X是随机变量，已知其概率密度为 （分数：4.00）(1).U 2 和 U 3 的概率密度 f k (x)(k=2，3)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 X i (i=1，2，3)表示“第 i周的需求量”，则 X i 的概率密度均为 而 U 2 =X 1 +X 2 ，U 3 =U 2 +X 3 三周中周最
23、大需求量为 X (3) =maxX 1 ，X 2 ，X 3 当 xp 时，显然 f 2 (x)=f 3 (x)=0；对于 x0，有 于是，两周和三周的总需求量 U 2 和 U 3 的概率密度 )解析：(2).接连三周中的周最大需求量的概率密度 f (3) (x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)是随机变量 X的分布函数由题意知连续三周中的周最大需求量 X (3) 的分布函数为 G(x)=F(x) 3 于是，有 )解析：26.设 X和 Y相互独立都服从 0-1分布：PX=1=P(Y=1=06试证明：U=X+Y，V=X-Y 不相关，但是不独立（分数：2.00）_正确答案：(正确
24、答案：(1)由协方差的定义和性质，以及 X和 Y相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2 -Y 2 )-E(X+Y)E(X-Y)=E(X 2 )-E(Y 2 )=0 于是，U=X+Y，V=X-Y 不相关 (2)现在证明 U-X+Y，V=X-Y 不独立事实上，由 PU=0)=PX=0，Y=0)=PX=0PY=0)=016， PV=0)=PX=0，Y=0)+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0)+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=P(X=0，Y=0=PX=0PY=0 =016016052=PU=0PV=0， 可见 U和 V不独立)解析：27.假设 G=(x，y
25、)x 2 +y 2 r 2 是以原点为圆心，半径为 r的圆形区域，而随机变量 X和 Y的联合分布是在圆 G上的均匀分布试确定随机变量 X和 Y的独立性和相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 和 Y的联合密度为 那么，X 的密度函数 f 1 (x)和 Y的密度函数 f 2 (y)相应为 由于 f(x，y)f 1 (x)f 2 (y)，可见随机变量 X和 Y不独立 (2)证明 X和 Y不相关，即 X和 Y的相关系数 =0 )解析：28.假设某季节性商品，适时地售出 1千克可以获利 s元，季后销售每千克净亏损 b元假设一家商店在季节内该商品的销售量 X千克是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据条件随机变量 X的概率密度为 以 Y=P(h)表示销售利润，它与季初应安排商品的数量 h有关由条件知 为求使期望利润最大的 h，我们计算销售利润 Y=P(h)的数学期望为此，首先注意到：ahb，销售利润 Y=P(h)的数学期望为 对 h求导并令其等于 0，得 )解析：
