1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 19及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 。B.T 2 t 0 。C.T 3 t 0 。D.T 4 t 0 。3.设 A 1
2、 ，AV 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )B=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )。B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)。C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)。D.P(A 1 A 2 ) 4.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中后次(kn)的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分
3、布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度。B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数。C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数。D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度。6.设随机变量 X服从正态分布 N(， )，Y 服从正态分布 N(， （分数：2.00）A. 1 2 。B. 1 2 。C. 1 2 。D. 1 2 。7.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（
4、分数：2.00）A.1-F(x，y)。B.1-F X (x)-F Y (y)。C.F(x，y)-F X (x)-F Y (y)+1。D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)-1。8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX+Y1=C.PX-Y0=D.PX-Y1=9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，p 的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06。B.n=6，p=04。C.n=8，p=03。D.n=24，p=01。10.已知随机变量
5、X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立。B.不相关且相互不独立。C.相关且相互独立。D.相关且相互不独立。11.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望。B.有相同的方差。C.有相同的分布。D.服从同参数 p的 0-1分布。12.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( ) （分数：2.00）A.
6、B.C.D.13.总体均值 置信度为 95的置信区间为 （分数：2.00）A.总体均值 的真值以 95的概率落入区间B.样本均值 以 95的概率落人区间C.区间D.区间 含样本均值14.下列关于总体 X的统计假设 H 0 属于简单假设的是( )（分数：2.00）A.X服从正态分布，H 0 ：E(X)=0。B.X服从指数分布，H 0 ：E(X)1。C.X服从二项分布，H 0 ：D(X)=5。D.X服从泊松分布，H 0 ：D(X)=3。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)15.10个同规格的零件中混人 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.
7、00）填空项 1:_16.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X的密度函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_18.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X和 y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 X服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1
8、。（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，D(X 1 -2X 2 +3X 3 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4XV) 4 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解
9、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设连续型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_25.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_27.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。 ()求 Y的概率密度 f F (y)； () （分数：2.00）_28.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 19
10、答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=( )（分数：2.00）A.T 1 t 0 。B.T 2 t 0 。C.T 3 t 0 。 D.T 4 t 0 。解析：解析：由于 T 1 T 2 T 3 T 4
11、，所以 T 1 t 0 T 2 t 0 T 3 t 0 3.设 A 1 ，AV 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )B=P(A 1 B)+P(A 2 B)，则( )（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )。B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 B)+P(A 2 B)。C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)。 D.P(A 1 A 2 ) 解析：解析：由题设知，P(A 1 A 2 B)=0，但是这不能保证 P(A 1 A 2 )=0和 P(A 1 A 2 )=0，故选项 A和 D不成立。由于 P(A 1 B)+
12、P(A 2 B)=P(A 1 A 2 )B)未必等于 P(A 1 +A 2 )，因此 B一般也不成立。由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 )B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)，可见选项 C成立： 4.某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n次才命中后次(kn)的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：n 次射击视为 n次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1-p，设事件A=“射击 n次命中 k次”=“前 n-1次有 k-1次击中，且第 n次也击中”，则5.设 X 1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别
13、为 f 1 (x)和 f 2 (x)，分布函数分别为 F 1 (x)和 F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度。B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数。 C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数。D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度。解析：解析：由题设条件，有 F 1 (x)F 2 (x)=PX 1 xPX 2 x =PX 1 x，X 2 x(因 X 1 与 X 2 相互独立)。 令 X=maxX 1 ，X 2 ，并考虑到 PX 1 x，X 2 x=Pmax(X 1 ，
14、X 2 )x， 可知，F 1 (x)F 2 (x)必为随机变量 X的分布函数，即 F X (x)=PXx。 故选项 B正确。6.设随机变量 X服从正态分布 N(， )，Y 服从正态分布 N(， （分数：2.00）A. 1 2 。 B. 1 2 。C. 1 2 。D. 1 2 。解析：解析：根据题干可知 即 。其中 (x)是服从标准正态分布的分布函数。 因为 (x)是单调不减函数，所以 7.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，边缘分布为 F X (x)和 F Y (y)，则概率 PXx，Yy等于( )（分数：2.00）A.1-F(x，y)。B.1-F X (x)-F Y (y)。C.
15、F(x，y)-F X (x)-F Y (y)+1。 D.F X (x)+F Y (y)+F(x，y)-1。解析：解析：记事件 A=Xx，B=Yy，则 PXx，Yy= 8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( )（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PX+Y1= C.PX-Y0=D.PX-Y1=解析：解析：由于 XN(0，1)与 YN(1，1)以及 X与 Y相互独立，得 X+YN(1，2)，X-YN(-1，2)。 因为，若 ZN(， 2 )，则必有 9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=24，D(X)=144，则二项分布的参数 n，p
16、的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=06。B.n=6，p=04。 C.n=8，p=03。D.n=24，p=01。解析：解析：因为 XB(n，P)，所以 E(X)=np，D(x)=np(1-P)，将已知条件代入，可得10.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X+3，则 X与 Y( )（分数：2.00）A.不相关且相互独立。B.不相关且相互不独立。C.相关且相互独立。D.相关且相互不独立。 解析：解析：通过计算 Cov(X，Y)来判定。 由于 XN(0，1)，所以 E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=1，E(X 3 )=0，E(XY)=E(X)(2X 2 +X+3)=2
17、E(X 3 )+E(X 2 )+3E(X)=1，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=10 X与 Y相关 11.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律， （分数：2.00）A.有相同的期望。B.有相同的方差。C.有相同的分布。D.服从同参数 p的 0-1分布。 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之外，还要求 X 1 ，X 2 ，X n ，同分布与期望存在。只有选项 D同时满足后面的两个条件，应选 D。12.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与
18、Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别取自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 服从 t(n)分布，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据 t分布典型模式来确定正确选项。由于 N(0，1)且相互独立，所以 V= 2 (n)，U 与 V相互独立，根据 t分布典型模式知， 13.总体均值 置信度为 95的置信区间为 （分数：2.00）A.总体均值 的真值以 95的概率落入区间B.样本均值 以 95的概率落人区间C.区间 D.区间 含样本均值解析：解析：根据置信区间的概念，应选 C。 均值 是一个客观存在的数，说“ 以 95的概率落入区间14.下列关于总体 X
19、的统计假设 H 0 属于简单假设的是( )（分数：2.00）A.X服从正态分布，H 0 ：E(X)=0。B.X服从指数分布，H 0 ：E(X)1。C.X服从二项分布，H 0 ：D(X)=5。D.X服从泊松分布，H 0 ：D(X)=3。 解析：解析：选项 A、B、C 的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而选项 D的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)15.10个同规格的零件中混人 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
20、：记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”，现要求的是 P(A)的值。事实上，事件 A由两个事件合成：B=“前 4次检查，查出 2个次品”和 C=“第 5次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(CB)，事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合，所以 P(B)=已知事件 B发生的条件下，即已检查了 2正 2次，剩下 6个零件，其中 5正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率 P(CB)=16.设每次射击命中概率为 03，连续进行 4次射击，如果 4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 0
21、6；如果击中 2次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04071）解析：解析：设事件 A k =“射击 4次命中 k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据 4重伯努利试验概型公式，可知 P(A i )= ，i=0，1，2，3，4，则 P(A 0 )=07 4 =02401，P(A 1 )=04116，P(A 2 )=02646， P(A 3 )=0075 6，P(A 4 )=00081。 由于 A 0 ，A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 是一完备事件组，且根据题意得 P(BA 0 )=0，P(BA
22、 1 )=04，P(BA 2 )=06，P(BA 3 )=P(BA 4 )=1。 应用全概率公式，有 17.设随机变量 X的密度函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= ，又 P1X2=P2X3，18.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意有19.设随机变量 X和 y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1)，因此20.已知随机变量
23、X服从(1，2)上的均匀分布，在 X=x条件下 Y服从参数为 x的指数分布，则 E(XY)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题设知 f YX (yx)= 所以(X，Y)的联合密度函数 21.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，其中 X 1 服从区间0，6上的均匀分布，X 2 服从正态分布N(0，2 2 )，X 3 服从参数为 3的泊松分布，D(X 1 -2X 2 +3X 3 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：根据题设可知，D(X 1 )= 22.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X
24、 4 是取自正态总体 N(0，2 2 )的简单随机样本，Y=a(X 1 -2X 2 ) 2 +b(3X 3 -4XV) 4 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意 X i N(0，2 2 )且相互独立，所以 X 1 -2X 2 N(0，20)，3X 3 -4X 4 N(0，100)，故 且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 所以 a= 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设连续型随机变量
25、 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 X是连续型随机变量，所以分布函数 F(x)连续，故 F(-a-0)=F(-a)，且F(a+0)=F(a)，即 () )解析：25.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以 假如随机变量 X与 Y相互独立，就应该对任意的 i，j 都有 p ij =p i. p .j ，而本题中 p 14 =0，但是 p 1.2 与 p .4 均不为零，所以 p 14 p 1. p .4 故 X与 Y不是相互独立的。 ()PX
26、=Y= )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据分布函数的性质 ()将 A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 所以当 x0，y0 时， 而当 x和 y取其它值时，F(x，y)=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为 ()当 x0 时，X 的边缘密度为 当 x0 时，f X (x)=0。因此 X的边缘概率密度为 同理可得 Y的边缘概率密度函数为 ()根据公式 已知R：x0，y0，2x+3y6，将其转化为二次积分，可表示为 )解析：27.设随机变量 X的概率密度为 令 Y=X 2 ，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数。
27、 ()求 Y的概率密度 f F (y)； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 Y的分布函数为 F Y (y)，即 F Y (y)：P(Yy)=P(X 2 y)，则 (1)当y0 时，F Y (y)=0； (2)当 0y1 时，F Y (y)=P(X 2 y)= (3)当 1y4 时，F Y (y)=P(X 2 y)=P(-1X ) (4)当 y4，F Y (y)=1。 所以 根据题设的 X概率密度，上式= )解析：28.设随机变量 X和 Y的概率分布分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 P(X 2 =Y 2 )=1，因此 P(X 2 Y 2 )=0。
28、故 P(X=0，Y=1)=0，可知 P(X=1，Y=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= 再由 P(X=1，Y=0)=0 可知 P(X=0，Y=0)=P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(Y=0)= 同理，由 P(X=0，Y=-1)=0 可知 P(X=1，Y=-1)=P(X=1，Y=-1)+P(X=0，Y=-1)=P(Y=-1)= 这样，就可以写出(X，Y)的联合分布如下： ()Z=XY 可能的取值有-1，0，1。其中 P(Z=-1)=P(X=1，Y=-1)= ，P(Z=1)=P(X=1，Y=1)= 则有 P(Z=0)= 因此，Z=XY 的分布律为 ()E(X)= ，E(Y)=0，E(XY)=0，Cov(X，Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=0， 所以 )解析：29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()E(X)= ()构造似然函数 )解析：
