1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 5及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D.Z-X 2 是服从均匀分布的随机变量3.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，则随机变量 Z=Y-X的概率密度 f Z (z)= ( ) （分数：2.0
2、0）A.B.C.D.4.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN （分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加D.随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（分数：2.00）A.为连续函数B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点6.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为 ( )（分数：2.00）A.6B.78C.9D.112二、填
3、空题(总题数：5，分数：10.00)7.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_9.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 Y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：34.00)
4、12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2，P1X3= （分数：4.00）(1).a，b，c 的值；（分数：2.00）_(2).随机变量 Y=e X 的数学期望和方差（分数：2.00）_13.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.00）_14.在长为 L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00）_15.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）_设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：（分数：4.00）(1).maxX，Y的数学期望；（分数：2.00）_(2).minX，Y
5、的数学期望（分数：2.00）_16.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=q k-1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y)（分数：2.00）_设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：（分数：4.00）(1).aEXb；（分数：2.00）_(2).DX （分数：2.00）_17.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_18.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可
6、得利润 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_19.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_20.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY-(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值 Q min ，并证明：Q min =DY(1- 2 XY)（分数：2.00）_21.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 Y-Z
7、的相关系数（分数：2.00）_将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数（分数：4.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.00）_(2).计算 EX和 DX（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 5答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量 B.Z=X+Y是服从均匀分
8、布的随机变量C.Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D.Z-X 2 是服从均匀分布的随机变量解析：解析：当 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为3.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，则随机变量 Z=Y-X的概率密度 f Z (z)= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：记 Z的分布函数为 F Z (z)，则 其中 D z =(x，y)y-xz)如图 3-1的阴影部分所示， 4.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN （分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减
9、少，随 2 的减少而增加 D.随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少解析：解析：由 XN ，从而 由于 (x)是 x的单调增加函数，因此当 1 增加时， 减少； 当 2 减少时 5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（分数：2.00）A.为连续函数 B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点解析：解析：记 Z=X+Y，则 Z的分布函数6.现有 10张奖券，其中 8张为 2元的，2 张为 5元的今从中任取 3张，则奖金的数学期望为 ( )（分数：2.00）A.6B.78 C.9D.112解析：解析：记
10、奖金为 X，则 X全部可能取的值为 6，9，12，并且二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 P(Z=0)=PY.minX，Y=0=PminX，Y=0=PX=0)=PZ=1=PY.minX，Y=1=PY=1，minX，Y=1=PX=1，Y=1)= PZ=2=P(Y.minX，Y=2=PY=2，minX，Y=1=PX=1，Y=2= PZ=3=PYmin(X，Y=3)=PY=3，minX，Y=1=P(X=1，Y=3)= 所以 Z的分布律为8.设随机变量 X
11、与 Y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：X 的概率密度为9.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046）解析：解析：X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1-010)(1-020)(1-030)=0504， PX=1=(1-010)(1-020)030+(1-010)(1-030)020+(1-020)(1
12、-030)010=0398， PX=2=(1-010)020030+(1-020)010030+(1-030)010020=0092， PX=3=010020030=0006， 所以EX=00504+10398+20092+30006=06， E(X 2 )=0 2 0504+1 2 0398+2 2 0092+3 2 0006=082 DX=E(X 2 )-(EX) 2 =082-(06) 2 =04610.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设随机变量 Y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （
13、正确答案：正确答案：*）解析：解析： 所以 E(X 1 +X 2 )=EX 1 +EX 2 =e -1 +e -2 = 三、解答题(总题数：14，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2，P1X3= （分数：4.00）(1).a，b，c 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解方程组 )解析：(2).随机变量 Y=e X 的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.在长为 L的线段上任取
14、两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立 )解析：15.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z=X-Y，则 ZN(0，1)故 )解析：设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：（分数：4.00）(1).maxX，Y的数学期望；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，则 U和 V独立同服从正态分布 N(0，1)， X=U+，Y=V+，maxX，Y=(maxU，V)+，
15、而 )解析：(2).minX，Y的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)得：minX，Y=(minU，V)+，而 minU，V= (U+V-U-V)则 E(minU，V)= )解析：16.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=q k-1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PmaxX，Y=n=PX=n，Yn+PXn，Y=n =PX=nPYn+PXnPY=n)解析：设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：（分数：4.00）(1).aEXb；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 aXb，所以
16、 EaEXEb，即 aEXb)解析：(2).DX （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对于任意的常数 C有 DXE(X-C) 2 ， 取 )解析：17.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布为 由此计算 EX和 DX相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算 设 X i 的分布如下： 于是 EX i =p i ，DX i =p i (1-p i )，i=1，2，3 故 )解析：18.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随
17、机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T为一周内所得利润，则 其中 )解析：19.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 为“第 i张的号码”，i=1，2，k，则 X i 的分布为 )解析：20.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY-(a+b
18、X) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值 Q min ，并证明：Q min =DY(1- 2 XY)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Q(a，b)=E(Y-(a+bX) 2 =D(Y-a-bX)+E(Y-a-bx) 2 =Dy+b 2 DX-2bCov(X，Y)+(EY-bEX-a) 2 ， 解方程组 )解析：21.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 Y-Z的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(X-Y，Y-Z)=Cov(X，Y)-Cov(X，Z)-Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=-DY=-1， D(X-Y)=D(Y-Z)=2 所以 X-Y与 Y-Z的相关系数为 )解析：将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数（分数：4.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =数字 i在原位置上，i=1，2，n，则 表示至少有一个数字在原位置上则 )解析：(2).计算 EX和 DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：
