1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 7及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A与 B互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(ABC)=P(AC)P(BC)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P(AC)=P(A)。B.P(BC)=P(B)。C.P(ABC)=P(AB)。D.P(BAC)=P(BC)。4.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，
2、则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1-p) 2 。B.6p(1-p) 2 。C.3p 2 (1-p) 2 。D.6p 2 (1-p) 2 。5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 a 满足 PX a =，若PXx=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y
3、1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关。B.若 X 2 与 Y 2 不相关，则 X与 Y不相关。C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价。D.若 X与 Y均服从 0-1分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价。9.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X-2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8。B.16。C.
4、28。D.44。10.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.-1。B.0。C.D.1。11.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.y 2 (n)。B.y 2 (n-1)。C.yF(n，1)。D.YF(1，n)。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1。（分数：2.00
5、）填空项 1:_14.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX9=0025，则概率PX4= 1。(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_15.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0-1分布：PX i =1=p，PX i =0=1-p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x
6、)+06 1 (2x+1)，则 E(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P0X+Y10 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1-(01)。若已知PXx=b(b0)，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设总体 X的概率分布为 （分数：2.0
7、0）填空项 1:_21.设总体 XN(， 2 )未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自该总体的样本，记 ，则对假设检验H 0 ：= 0 H 1 ： 0 使用的 t统计量 t= 1(用 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率： ()两件都是正品； ()两件都是次品； ()一件是正品，一件是次品； ()第二次取出的是次品。（分数：2.00）_24.随机地向圆 x 2 +y 2 =2x内投一点，该点落在任何
8、区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数和概率密度。（分数：2.00）_25.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=-1= （分数：2.00）_26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_27.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_28.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （分数：2.00）_29.设总体 X服从区间0，上的均匀分布，X，X，X 是取自总体 X的简单随机样本， =maxX 1 ，X n 。 ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求
9、常数 a，b，使 =bX (n) 的数学期望均为 ，并求 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 7答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A与 B互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：已知 AB= ，因此选项 A、B 不能选。由于 AB= 所以3.设事件 A、B、C 满足 P(ABC)0，则 P(ABC)=P(AC)P(BC)的充要条件是( )（分数：2.00）A.P(AC)=P(A)。B
10、.P(BC)=P(B)。C.P(ABC)=P(AB)。D.P(BAC)=P(BC)。 解析：解析：P(ABC)=P(AC)P(BC，只在 C发生的条件下，A 与 B独立，所以“在 C发生的条件下，A发生与否不影响 B发生的概率”，即 P(BAC)=P(BC，故选 D。选项 A、B、C 分别是 A与 C、B 与C、AB 与 C独立的充要条件。4.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为( )（分数：2.00）A.3p(1-p) 2 。B.6p(1-p) 2 。C.3p 2 (1-p) 2 。 D.6p 2 (1-p) 2
11、。解析：解析：根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4次击中目标 = 5.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意得，f(x)关于 x= 是对称的，故6.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 a 满足 PX a =，若PXx=，则 x等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu a = 与 PXx=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 3-2-2及图 3-2-3所示图形。 如图 3
12、-2-3所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 7.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y 1 ，Y 2 )的分布为 F 2 (y 1 ，y 2 )。 F 2 (y 1 ，y 2 )=PY 1 y 1 ，Y 2 y 2 =P2X 1 y 1 ， X 2 y 2 8.设(X，Y)为二维随机变量
13、，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关。B.若 X 2 与 Y 2 不相关，则 X与 Y不相关。C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价。D.若 X与 Y均服从 0-1分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价。 解析：解析：对于选项 D：设 XB(1，p)，YB(1，q)，当 X与 Y独立时 X与 Y不相关。反之，当 X与 Y不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq时，可得下列分布律9.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X-2Y的方差是( )（分数：2.00
14、）A.8。B.16。C.28。D.44。 解析：解析：根据方差的运算性质 D(C)=0(C为常数)，D(Cx)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质D(XY)=D(X)+D(Y)可得 D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=44。故选项 D正确。10.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.-1。 B.0。C.D.1。解析：解析：根据题意，Y=n-X，故 XY =-1。应选 A。 一般来说，两个随机变量 X与 Y的相关系数 Y 满足 XY 1。 若 Y=aX+b(a，b 为常数)，则当 a0 时，
15、XY =1，当 a0 时， XY =-1。11.设随机变量 Xt(n)(n1)，Y= （分数：2.00）A.y 2 (n)。B.y 2 (n-1)。C.yF(n，1)。 D.YF(1，n)。解析：解析：因 Xt(n)，故根据 t分布定义知 ，其中 UN(0，1)，V 2 (n)。于是 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.将一枚硬币重复掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该试验为独立重复试验序列概型，记 A=“正、反面都至少出现两次”，X 为将硬币投掷五次正面出现的次数，则 XB(5， )，而 Y=5
16、-X为 5次投掷中反面出现的次数，那么 A=2X5，2Y5 =2X5，25-X5 =2X5，0X3 =X=2X=3 所以 P(A)=PX=2+PX=3=13.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 Yf(x)= 所以所求的概率为 p=P方程有实根=P0=P16Y 2 -16(Y+2)0=P16(Y-2)(Y+1)0 =P(Y2)u(Y-1) =PY2+JPY-1 14.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，已知 PX2=0062，PX
17、9=0025，则概率PX4= 1。(154)=0938，(196)=0975)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02946）解析：解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数 与 。根据题意有 由题意已知，可得 于是 PX4=P-4X415.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 相互独立且都服从 0-1分布：PX i =1=p，PX i =0=1-p(i=1，2，3，4，0p1)，已知二阶行列式 的值大于零的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 =X 1 X 4 -X 2 X 3 ，则
18、 p应使 P0=PX 1 X 4 -X 2 X 3 0=PX 1 X 4 X 2 X 3 = ，因为 X i 仅能取 1或 0，且相互独立，故事件X 1 X 4 X 2 X 3 =X 1 X 4 =1，X 2 X 3 =0，所以 =PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =0+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =0，X 3 =1+PX 1 =1，X 4 =1，X 2 =1，X 3 =0=p 2 (1-p) 2 +p 3 (1-p)+p 3 (1-p)=p 2 (1-p 2 )=p 2 -p 4 ，则 p 4 -p 2 + 16.设随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，
19、概率密度函数为 f 1 (x)，且 E(X 1 )=1，随机变量 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06 1 (2x+1)，则 E(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：已知随机变量 X 1 的分布函数为 F 1 (x)，概率密度函数为 f 1 (x)，可以验证 F 1 (2x+1)为分布函数，记其对应的随机变量为 X 2 ，其中 X 2 为随机变量 X 1 的函数，且 X 2 = ，记随机变量 X 2 的分布函数为 F 2 (x)，概率密度函数为 f 2 (x)，所以 X的分布函数为 F(x)=04F 1 (x)+06F 2 (x)
20、， 两边同时对 x求导得 f(x)=04f 1 (x)+06f 2 (x)，于是 即 E(X)=04E(X 1 )+06E(X 2 )=04E(X 1 )+06E 17.设随机变量 X与 Y的相关系数为 05，E(X)=E(Y)=0，E(X 2 )=E(Y 2 )=2，则 E(X+Y) 2 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由已知条件得，D(X)=E(X 2 )-E 2 (X)=2，同理，D(Y)=2。则有 18.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则根据切比雪夫不等式有P0X+Y10 1。（分数：2.00）填空项
21、1:_ （正确答案：正确答案：0928）解析：解析：因为 E(X)=4，D(X)=08，E(Y)=l，DY=1，所以 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5， D(X+Y)=D(X)+D(Y)=18。 根据切比雪夫不等式，可得 P0X+Y10=PX+Y-5519.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1-(01)。若已知PXx=b(b0)，则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 t分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1-PXx=1- PXx=1- 根据题干“t 满足 PXt =1-(0a1)”可知，x
22、= 20.设总体 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：E(X)=20(1-)+2(1-) 2 =2(1-)。E(X)= ，则 的矩估计量为 由抽取的样本可得 又样本似然函数 21.设总体 XN(， 2 )未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自该总体的样本，记 ，则对假设检验H 0 ：= 0 H 1 ： 0 使用的 t统计量 t= 1(用 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 2 未知，对 的检验使用 t检验，检验统计量为 对双边检验 H 0 ：= 0 H 1 ： 0 ，所以其拒绝域为 三、解答题(总题数：
23、8，分数：16.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知在 10件产品中有 2件次品，在其中任取两次，做不放回抽样。求下列事件的概率： ()两件都是正品； ()两件都是次品； ()一件是正品，一件是次品； ()第二次取出的是次品。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令事件 A i 表示“第 i次取出正品”，则其对立事件 表示“第 i次取出次品”(i=1，2)。依题意可知： ()A 1 A 2 表示“两件都是正品”，且由概率乘法公式可得： P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )= ()X 表示“两件都是次品”，且由
24、概率乘法公式可得： )解析：24.随机地向圆 x 2 +y 2 =2x内投一点，该点落在任何区域内的概率与该区域的面积成正比，令 X表示该点与原点的连线与 x轴正半轴的夹角，求 X的分布函数和概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)为 X的分布函数，则 F(x)=PXx，由于 F(x)=0的取值范围为 ，因此当 x0 时，F(x)=0；当 x 时，F(x)=1。 当 0x ，Xx 所代表的区域如图 3-2-5中阴影部分。现计算它的面积，如图所示，阴影部分可分为两个三角形和两个扇形。其中每个三角形的面积均为 每个扇形的面积均为 S 2 = 2x1 2 =x，则阴影部分的总
25、面积 S(x)=sin2x+2x，所以 )解析：25.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=-1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=-1，y=2+PX=0，Y=l+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=-1，Y=0=PX=-1，Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为 ()因为 PX=-1，Y=0=0PX=-1PY=0= )解析：26.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据概率密度的性质 ，可知
26、X的边缘概率密度为 所以，条件概率密度为 )解析：27.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出 f(x，y)非零定义域，应用定义、公式进行计算。 因为 f X (x)f Y (y)f(x，y)，所以 X与 Y不独立。 ()分布函数法。Z=X-Y 的分布函数为 F Z (z)=PX-Yz= (1)当 z0 时，如图 3-3-7所示，有 (2)当 z0 时，如图 3-3-8所示，有 由于 F Z (z)为 z的连续函数，除 z=0外，导函数存在且连续，故 )解析：28.设随机变量 X和 Y分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= （分数：2.00）_正确
27、答案：(正确答案：()由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得 ()PX 2 +Y 2 =1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0= PX=1X 2 +Y 2 =1= )解析：29.设总体 X服从区间0，上的均匀分布，X，X，X 是取自总体 X的简单随机样本， =maxX 1 ，X n 。 ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 =bX (n) 的数学期望均为 ，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的密度函数、分布函数分别为 样本 X 1 ，X n 的似然函数为 L()为 的单调减函数，且 0x i ，即 要取大于 x i 的一切值，所以 的最小取值为maxx 1 ，x n ， 的最大似然估计量 =maxX 1 ，X 2 =X (n) 。 X (n) 的分布函数 F (n) (x)及密度函数 f (n) (x)分别为 )解析：
