1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 9及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X取非负整数值，PX=n=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 (X 1 +X 2 +X 3 )，则 Y 2 的数学期望为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )
2、（分数：2.00）A.PX-C=E(X-C)B.PX-CE(X-C)C.PX-CE(X-C)D.PX-CDX 25.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)=f(-x，y)，且 xy 存在，则 xy= ( )（分数：2.00）A.1B.0C.-1D.-1或 16.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为xy= 且概率 PaX+bY1= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 （分数：2.00）填空项 1
3、:_8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =0，i=，2，100，令 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X和 Y均服从 B （分数：2.00）填空项 1:_10.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.0
4、0）(1).方差 D(XY)；（分数：2.00）_(2).协方差 COV(3X+Y，X-2Y)（分数：2.00）_设随机变量 U在-2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：4.00）(1).Cov(X，Y)，并判定 X与 Y的独立性；（分数：2.00）_(2).DX(1+Y)（分数：2.00）_13.设 X为随机变量，EX r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_14.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PX-EX02（分数：2.00）_15.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09（分
5、数：2.00）_16.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_17.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：2.00）_从装有 1个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 （分数：4.00）(1).Y的分布律，EY，E(Y 2 )；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_19.若 X 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_20.已知
6、 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n)（分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n， ，而 ， 为常数试求 （分数：2.00）_22.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_23.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余
7、 N- 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_24.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 9答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数
8、：2.00）_解析：2.设随机变量 X取非负整数值，PX=n=a n (n1)，且 EX=1，则 a的值为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 得到 a=(1-a) 2 ，a 2 -3a+1=0， 3.设 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 (X 1 +X 2 +X 3 )，则 Y 2 的数学期望为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X 1 +X 2 +X 3 P(3)， E(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 +x 3 )=3， 4
9、.设 X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C和 0，必有 ( )（分数：2.00）A.PX-C=E(X-C)B.PX-CE(X-C)C.PX-CE(X-C) D.PX-CDX 2解析：解析：5.设随机向量(X，Y)的概率密度 f(x，y)满足 f(x，y)=f(-x，y)，且 xy 存在，则 xy= ( )（分数：2.00）A.1B.0 C.-1D.-1或 1解析：解析： 所以 E(XY)=0 同理，EX=6.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为xy= 且概率 PaX+bY1= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B
10、.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布 aX+by服从一维正态分布，又 EX=1，EY=2，则 E(aX+bY)=a+2b，于是 显然，只有 1-(a+2b)=0时，P(aX+by1)=二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：EZ=3EX-2=48.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =0，i=，2，100，令 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：990）解析：解析：9.设随机变量
11、 X和 Y均服从 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设 DX=DY= D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)=1， 于是有10.设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 D：0yx1 是由 y=-x，y=x，x=1 三条线围成的，关于 x轴对称，所以11.已知随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：N(0，5)）解析：解析
12、：Z 服从正态分布， EZ=E(X-2Y+7)=EX-2EY+7=-3-4+7=0 DZ=D(X-2Y+7)=DX+2 2 DY=1+4=5三、解答题(总题数：16，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).方差 D(XY)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D(XY)=E(X 2 Y 2 )-E(XV) 2 ， )解析：(2).协方差 COV(3X+Y，X-2Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(3X+Y，X-2Y)=3DX-5Cov(X，Y)-2Dy =3DX-5E(
13、XY)+5EXEY-2DY (X，Y)关于 X的边缘概率密度 )解析：设随机变量 U在-2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：4.00）(1).Cov(X，Y)，并判定 X与 Y的独立性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X，Y 的全部可能取值为-1，1，且 PX=-1，Y=-1)=PU-1，U1=PU-1)=PX=-1，Y=1PU-1，U1=0， PX=1，Y=-1=PU-1，U1=P-1U1= PX=1，Y=1=PU-1，U1=PU1= 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 )解析：(2).DX(1+Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：DX(1+Y)=D(X+XY)D
14、X+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X 2 Y)-2EXE(XY) 此外，由于 XY及 X 2 Y的分布律分别为 D(XY)=E(X 2 Y 2 )-E(XY) 2 =1-0=1， 将代入得 )解析：13.设 X为随机变量，EX r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 X为离散型，其概率分布为 PX=x i =p i ，i=1，2， 则 若 X为连续型，其概率密度为 f(x)，则 )解析：14.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PX-EX02（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式 )解
15、析：15.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需掷 n次，正面出现的次数为 Y n ，则 Y n B ，依题意应有 )解析：16.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 所以对任意的 0， )解析：17.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则同时使用的
16、终端数 所求概率为 )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，EX=，DX= 2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 进而有 )解析：从装有 1个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 （分数：4.00）(1).Y的分布律，EY，E(Y 2 )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 是连续 5次取球中取得黑球的个数，所以 YB 从而 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X的分布律为 ，所以 )解析：19.若 X 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 X 2 (n)，所以
17、 X可表示为 X= ，其中 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且均服从 N(0，1)，于是 )解析：20.已知 Xt(n)，求证：X 2 F(1，n)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xt(n)，则 X可表示为 X= ，其中 ZN(0，1)，Y 2 (n)且 Z，Y 相互独立，又 Z 2 2 (1)，于是 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n， ，而 ， 为常数试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y
18、 i N(b， 2 )，i=1，2，n，且 X 1 ，X 2 ，X m ， Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，则 也服从正态分布 )解析：22.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，随机变量 X的分布律为 对于给定的样本 X 1 ，X 2 ，X n ，似然函数为 )解析：23.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，
19、其余 N- 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X为连掷两次正面出现的次数，A=取出的硬币为普通硬币，则 PX=0)=P(A)PX=0A)+ PX=1=P(A)PX=1A)+ PX=2)=P(A)PX=2A)+P(A)PX=2 = 即 X的分布为 lnL=n 0 .ln-ln(4N)+n 1 ln-ln(2N)+n 2 ln(4N-3)-ln(4N)， 解得 的最大似然估计 )解析：24.设总体 X的概率密度为 又设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的一个简单随机样本，求未知参数 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的数学期望为 )解析：
