1、考研数学一（矩阵及其运算）-试卷 1 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.EC.ED.E+ T 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(A 一 E)(A+E)4.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =（分数：2
2、.00）A.A+BB.A 1 +B 1 C.A(A+B) 1 BD.(A+B) 1 5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0D.AB06.设 A= P 1 = （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_11
3、.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.若 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：3
4、8.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 AE 可逆（分数：2.00）_21.已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XY T 可逆（分数：2.00）_22.设 AB 是 n 阶矩阵，EAB 可逆，证明 EBA 可逆（分数：2.00）_23.设 H= （分数：2.00）_24.已知 A （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.设 3 阶方阵 A，B 满足 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）_27.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_28.设矩阵
5、A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_29.已知 A= ，若 A * B( （分数：2.00）_30.设 A 1 = （分数：2.00）_31.设 A= （分数：2.00）_32.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB)(E+AB) 1 A（分数：2.00）_33.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C 1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_34.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_35.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E 一 A 可逆（分数：
6、2.00）_36.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2.00）_37.设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A) 1 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学一（矩阵及其运算）-试卷 1 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.E C.ED.E+ T 解析：解析：AB=(E T )(E+2 T )=E+2 T 一 T 一 2 T T =E
7、+ T 一2 T ( T ) 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(AE)=(A 一 E)(A+E)解析：解析：因为 AA * =A * A=AE， A m A p =A p A m =A m+p ， (A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A 2 一E， 所以(A)、(B)、(D)均正确 而 AA T = 4.设 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 +B 1 ) 1 =（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1 C.A(A
8、+B) 1 B D.(A+B) 1 解析：解析：(A 1 +B 1 ) 1 =(EA 1 +B 1 ) 1 =(B 1 BA 1 +B 1 ) 1 =B 1 (BA 1 +AA 1 )1 =B 1 (B+A)A 1 1 =(A 1 ) 1 (B+A) 1 (B 1 ) 1 =A(A+B) 1 B 故应选(C)5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0 D.AB0解析：解析：A= 0，但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确 又如 A=6.设 A= P 1 = （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3
9、 P 1 D.AP 2 P 3 解析：解析：把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵 B，A 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP 1 ，故应在(A)、(B)中选择而 P 3 = 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：用定义A 11 =3，A 12 =6，A 13 =3，A 21 =6，A 22 =12，A 23 =6，A 31 =3，A 32 =6， A 33 =3，故
10、 9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用 易见10.设矩阵 A= ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B 1 ，故 11.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(A+2E)(A 一 4E)+9E=A 2 2A+E=0 有 (A+2E). (4EA)=E 所以 (A+2E) 1 = 12.若 A= （分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(A * ) 1 = 所以(A * ) 1 = 13.若 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(kA) * =k n1 A * ，故(3A) * =3 2 A * ，又 A * =AA 1 ， 而A 1 = 从而(3A) * =9A * = 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 或5）解析：解析：A 不可逆 A=0而15.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析
12、：由 AB 一 2AB+2E=2E，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)=2E，则 (AE)(B 一 2E)=2E 于是 AE.B 一 2E=2E=8，而AE=16.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BA=A 2 一 E，又 A 可逆，则有 B=(A 2 一 E)A 1 =AA 1 故 17.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XAX=A T 有 X(AE)=A T ,因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆 故 X=A T (AE)
13、 1 = 18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘 A 并把 AA * =AE 代入得 AX=E+2AX， 移项得 (AE 一 2A)X=E故X=(AE 一 2A) 1 由A=4 知 X=(4E 一 2A) 1 = 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 AE 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A+B 有 ABBA+E=E，于是(AE)B 一(AE)=E 故 (AE)(BE)=E
14、所以按定义知 AE 可逆)解析：21.已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XY T 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=XY T ，则 A 2 =(XY T )(XY T )=X(Y T X)Y T =0，于是 A 的特征值全是 0，那么 E+A 的特征值全是 1，所以 E+XY T 可逆)解析：22.设 AB 是 n 阶矩阵，EAB 可逆，证明 EBA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法) 如EBA=0，则齐次方程组(E 一 BA)x=0 有非零解，设 是其非零解，则 (EBA)=0，即 BA=，且 0 (*) 对于齐次方程组(EAB)x
15、=0，由于 (EAB)A=A一(AB)A=A 一 A(BA) =A 一 A=0， 从(*)式易见 A0这样(EAB)x=0 有非零解 A，这与EAB 可逆相矛盾)解析：23.设 H= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 均可逆，由拉普拉斯展开式(16)有 H= =AB0， 所以矩阵 H 可逆： 解得 X=A 1 ，Y=O，Z=B 1 CA 1 ，W=B 1 故 )解析：24.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =10，矩阵可逆，且 所以 )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A= 用初等行变换(214)，得 从增广矩阵的第一
16、列解出 x 3 =2， x 2 =t，x 1 =3t1 同理 y 3 =0，y 2 =u，y 1 =43u， z 3 =5，z 2 =v， z 1 =3v11， 故 )解析：26.设 3 阶方阵 A，B 满足 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由题设知，A 可逆然后在题设关系式两端右乘 A 1 有：A 1 B=6E+B，在该式两端左乘A，得 B=6A+AB移项得(E 一 A)B=6A，则 B=6(EA) 1 A于是由 得 27.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A(EC 1 B) T C T =AC(EC
17、 1 B) T =A(CB) T ，于是 )解析：28.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * =A n1 ，有A 3 =8，得A=2 又因(AE)BA 1 =3E，有(AE)B=3A，左乘 A * ，得 (AEA * )B=3AE，即 (2E 一 A * )B=6E 故 B=6(2EA * ) 1 所以 )解析：解析：对矩阵方程化简，右乘 A 得 ABB=3A 29.已知 A= ，若 A * B( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于A=4，用矩阵 A 左乘方程两端，有 AA * B( A * ) * =8B+12A 因为 AA *
18、=AE=4E， AA=A，故 4BA=8B+12A，即 B(A 一 2E)=3A 那么 B=3A(A 一 2E) 1 由 得到 )解析：解析：由于(kA) * =k n1 A * ， (A * ) * =A n2 A，可见 30.设 A 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(A * ) 1 = )解析：31.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 )解析：32.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB)(E+AB) 1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)EB(E+
19、AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB) 1 A =E+BA 一B(E+AB)(E+AB) 1 A=E+BABA=E)解析：33.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C 1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=E，即 A 1 =BAC又CABA=E，得 A 1 =CAB 从而 BAC=CAB)解析：34.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A，B
20、T =B，那么(AB) T =B T A T =BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T =AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T =BA=AB，即 AB 是反对称矩阵)解析：35.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E 一 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m =0，有 EA m =E于是 (EA)(E+A+A 2 +A m1 )=EA m =E 所以EA 可逆，且(E 一 A) 1 =E+A+A 2 +A m1 )解析：36.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2.00）_正确答案：(
21、正确答案：()由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA 1 有 ()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 )解析：37.设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A) 1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EA)(E+A) 1 (EA)(E+A) 1 T =(EA)(E+A) 1 (E+A) 1 T (EA) T =(EA)(E+A) 1 (E+A) T 1 (E+A) =(EA)(E+A) 1 (EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A) 1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA) 1 (E+A) =(EA)(EA) 1 (E+A) 1 (E+A)=E 同理 (EA)(E+A) 1 T (EA)(E+A) 1 =E 所以 (EA)(E+A) 1 是正交矩阵)解析：
