1、考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷 2及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.矩阵 A= （分数：2.00）A.1，1，0B.1，一 1，一 2C.1，一 1，2D.1，1，23.矩阵 A= （分数：2.00）A.(1，2，一 1) T B.(1，一 1，2) T C.(1，一 2，3) T D.(一 1，1，一 2) T 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则 2A 2 一 3A+5E必有特征
2、值 1；（分数：2.00）填空项 1:_5.已知 A，B 都是 n阶矩阵，且 P 1 AP=B，若 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则矩阵 B必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 ， 均为 3维列向量，且满足 T =5，则矩阵 T 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素之和都为 2，则矩阵 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T ()如果 A的另外两个特征值是 2和一 1，又 =2 的特征向
3、量是(2，0，一 1) T ，则 =1 的特征向量是 1； ()如果 A的另外两个特征值是 3(二重根)，则 =3 的特征向量是 2（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.若 1 ， 2 是矩阵 A不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量（分数：2.00）_14.已知 A= （分数：2.00）_15.求 A= （分数：2.00）_16.求
4、 A= （分数：2.00）_17.已知 A是 n阶矩阵，满足 A 2 2A一 3E=0，求矩阵 A的特征值（分数：2.00）_18.设 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 一 2 +3 3 ， A 2 =4 1 一 3 2 +5 3 ， A 3 =0 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_19.设 A是 n阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y都是 n1矩阵，且 x T y=2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_20.已知 A，B 均是 3阶非零矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，AB=BA=0，证明 0和 1必是 A与 B
5、的特征值，并且若 是 A关于 =1 的特征向量，则 必是 B关于 =0 的特征向量（分数：2.00）_21.已知 A= （分数：2.00）_22.已知 =0 是 A= （分数：2.00）_23.设矩阵 A= （分数：2.00）_24.设 A是 n阶矩阵，A 2 =A， r(A)=r；证明 A能对角化，并求 A的相似标准形（分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_26.已知 A= （分数：2.00）_27.设矩阵 A与 B相似，且 A= （分数：2.00）_28.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2
6、=2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值； ()求可逆矩阵 P使 P 1 AP=A（分数：2.00）_29.已知矩阵 A与 B相似，其中 A= （分数：2.00）_30.已知 = （分数：2.00）_31.已知 A= （分数：2.00）_32.设矩阵 A= （分数：2.00）_33.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T 求矩阵 A（分数：2.00）_34.已知线性方程组 有无穷多解，而 A是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_35.设 A是 3阶实对称矩阵
7、，A 的特征值是 6，一 6,0，其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1，a，1) T 及(a，a+1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_36.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1，且(1，1，1) T ，(1，0，一 1) T ，(1，一 1，0) T 是 A的 3个特征向量，求 A（分数：2.00）_37.已知 A= （分数：2.00）_38.已知 （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷 2答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2
8、.00）_解析：2.矩阵 A= （分数：2.00）A.1，1，0 B.1，一 1，一 2C.1，一 1，2D.1，1，2解析：解析：本题可以由特征方程E 一 A=0，即 3.矩阵 A= （分数：2.00）A.(1，2，一 1) T B.(1，一 1，2) T C.(1，一 2，3) T D.(一 1，1，一 2) T 解析：解析：如果(1，一 1，2) T 是矩阵 A的特征向量，则(一 1，1，一 2) T 亦是 A的特征向量所以(B)，(D)均错误 又 ，所以(A)不正确，故应选(C) 事实上由 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则
9、2A 2 一 3A+5E必有特征值 1；（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如 A=，则 A 2 =A()=A= 2 因此(2A 2 3A+5E)=2A 2 一3A+5=(2 2 一 3+5) 所以 2.2 2 3.2+5=7必是 A的特征值5.已知 A，B 都是 n阶矩阵，且 P 1 AP=B，若 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则矩阵 B必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：P 1 ）解析：解析：因 P 1 AP=B P 1 A=BP 1 ，又 A= p 1 A=BP 1 6.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项
10、1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由公式(53)知 a+3+(一 1)= i =3， 则 a=1 又 7.设 ， 均为 3维列向量，且满足 T =5，则矩阵 T 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5，0，0）解析：解析：因为矩阵 A= T 的秩为 1，由公式(52)的特例知，矩阵 A的特征值为a ii ，0，0 又因矩阵特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵主对角线元素之和)，由于 T = T 正是矩阵的迹，所以矩阵 T 的特征值为 5，0，08.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素之和都为 2，则矩阵 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A的每行元素之和都为 2，所以有 9.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T ()如果 A的另外两个特征值是 2和一 1，又 =2 的特征向量是(2，0，一 1) T ，则 =1 的特征向量是 1； ()如果 A的另外两个特征值是 3(二重根)，则 =3 的特征向量是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()k(1，一 5，2) T ()k 1 (一 1，1，0) T +k 2 (一 2，0，1) T）解析：解析：对于实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交 ()设 =1 的特
12、征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 10.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由于 =12 是矩阵 A的特征值，故12EA=0，即11.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A的特征方程 得到特征值 =1(二重)，=1 因为 A有 3个线性无关的特征向量，故 =1 必须有两个线性无关的特征向量(59)那么，必有 r(EA)=32=1于是由三、解答题(总题数：27，分数：54.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.若 1
13、 ， 2 是矩阵 A不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法) 若 1 是 2 所对应的特征向量，则 1 1 =A 1 = 2 1 于是( 1 2 ) 1 =0从 1 2 得到 1 =0，与特征向量非零相矛盾)解析：14.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= =( 一 3) 2 =0， 得矩阵 A的特征值 1 = 2 =3， 3 =0 当 =3 时，对(3EA)x=0，3EA= 2 得特征向量 1 =(1，一 2，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，对(0EA)x=0
14、，0EA= 得特征向量 3 =(一 1，一 1，1) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= ，有 P 1 AP= )解析：15.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA= =( 一 7)( 2 5 一 14)=( 一 7) 2 (+2)， 当 =7时，7EA= 当 =2 时，一 2EA= )解析：16.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.已知 A是 n阶矩阵，满足 A 2 2A一 3E=0，求矩阵 A的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任意一个特征值， 是 所对应的特征向量，即A=，0 那么(A 2 2A一
15、 3E)=0 )解析：18.设 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 一 2 +3 3 ， A 2 =4 1 一 3 2 +5 3 ， A 3 =0 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 =0=0 3 ，知 =0 是 A的特征值， 3 是 =0 的特征向量 由已知条件，有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 一 2 +3 3 ，4 1 一 3 2 +5 3 ，0) =( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，由 1 ， 2 ， 3 线性无关，知矩阵 P可逆，进而 P 1 AP=B，
16、 其中 B= 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B的特征多项式 所以矩阵 A的特征值是：一 1，一 1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B关于特征值 =1 的特征向量是 =(一2，1，1) T 若 B=，即(P 1 AP)=，亦即 A(P)=(P)，那么矩阵 A关于特征值=1 的特征向量是 P=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：19.设 A是 n阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y都是 n1矩阵，且 x T y=2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=xy T = (y 1 ，y 2 ，y n )，则 B 2 =(xy T )(xy T )=x(y T
17、 x)y T =2xy T =2B， 可见 B的特征值只能是 0或 2 因为 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=0的基础解系由 n一 1个向量组成，则 )解析：解析：令 B=xy T ，则 A=E+B，如 是 B的特征值， 是对应的特征向量，那么 A=(B+E)=+=(+1) 可见 +1 就是 A的特征值， 是 A关于 +1 的特征向量反之，若A=，则有 B=( 一 1) 所以，为求 A的特征值、特征向量就可转化为求 B的特征值、特征向量20.已知 A，B 均是 3阶非零矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，AB=BA=0，证明 0和 1必是 A与 B的特征值，并且若 是 A关于 =1 的特征
18、向量，则 必是 B关于 =0 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =A，则 A的特征值只能是 0或 1，又因(AE)A=0，A0，知齐次方程组(AE)x=0有非零解，故AE=0，即 =1 必是 A的特征值据 AB=0，B0，得 Ax=0有非零解，那么0EA=A=0，故 0必是 A的特征值 由于已知条件的对称性，0 与 1必是 B的特征值对于A=，同时左乘矩阵 B，得 B=B(A)=(BA)=0=0=0， 所以 是矩阵 B关于 =0 的特征向量)解析：21.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于1 是 A的特征值，将其代入特征方程，有 所以 据(
19、53)， )解析：22.已知 =0 是 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0 是特征值，故由 由特征多项式EA= = 2 ( 一1)，知 =0 是 A的二重特征值 由于 r(0E一 A)=r(A)=r )解析：23.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A的特征多项式为 ()如果 =2 是单根，则 2 8+18+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 a= 由于矩阵 A的特征值是 2，4，4，而秩 r(4E一 A)=r =2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A不能相似对角化 ()如果 =2 是二重特征值，则 2 8+18+3a=
20、( 一 2)( 一 6)，那么有 18+3a=12，即 a=一 2 由于矩阵 A的特征值是2，2，6，而秩 r(2E一 A)=r )解析：24.设 A是 n阶矩阵，A 2 =A， r(A)=r；证明 A能对角化，并求 A的相似标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A按列分块，记 A=( 1 ， 2 ， n )由 r(A)=r，知 A中有 r个列向量线性无关， 不妨设为 1 ， 2 ， r ，因为 A 2 =A，即 A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )，所以 A 1 = 1 =1. 1 ， ， A r = r =1. r 那么 =1 是 A的特征值， 1 ， 2
21、 ， r 是其线性无关的特征向量 对于齐次线性方程组 Ax=0，其基础解系由nr(A)=nr个向量组成因此，0 是 A的特征值，基础解系是 =0 的特征向量从而 A有 n个线性无关的特征向量，A 可以对角化(=1 是 r重根，=0 是，nr 重根)，且有 )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A的特征值、特征向量由特征多项式，有 于是 A的特征值是1(二重)，0 对 =1，解齐次方程组(EA)x=0， 得到特征向量 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 对 =0，解方程组 Ax=0 ，得特征向量 3 =(2，0，1) T 令 P=( 1
22、 ， 2 ， 3 )= ，则 P 1 AP=A= )解析：26.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A的特征多项式，得 =( 一 2n+1)( 一 n+1) n1 ， 所以 A的特征值为 1 =2n1， 2 =n一 1(n一 1重根) 对于 1 =2n一 1，解齐次方程组( 1 E一 A)x=0， 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 对于 2 =n一 1，齐次方程组( 2 EA)x=0等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(一 1，1，0，0) T ， 3 =(一 1，0，1，0) T ， n =(一 1，0，0，1) T ， 所以 A的特征向
23、量是：k 1 1 及 k 2 2 +k 3 3 +k n n )解析：27.设矩阵 A与 B相似，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB，据(55)及(57)有 由 AB，知 A与 B有相同的特征值，于是 A的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6 当 =2 时，解齐次线性方程组(2EA)x=0 得到基础解系为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即 =2 的线性无关的特征向量 当 =6 时，解齐次线性方程组(6EA)x=0 得到基础解系是(1，一 2，3) T ，即 =6 的特征向量 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：解析：
24、A 与对角矩阵 B相似，为求矩阵 P应当用相似的性质先求出 a，b，然后再求 A的特征值与特征向量可逆矩阵 P即为特征值 2和 b对应的线性无关特征向量构成的矩阵28.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值； ()求可逆矩阵 P使 P 1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)由已知条件有 A( 1 ， 2 ， 3 ) =( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P 1 =
25、( 1 ， 2 ， 3 )，B= ，则有 AP 1 =P 1 B 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，矩阵 P 1 可逆，所以 AP 1 =B，即矩阵 A与 B相似由 知矩阵 b的特征值是 1，1，4，故矩阵 A的特征值是 1，1，4 ()对矩阵 b，由(E 一 B)x=0，得 =1 的特征向量 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T ； 由(4Eb)x=0，得 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 那么令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )= 于是 故当 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(一 1 + 2 ，一 2 1 + 3 ， 2 + 3
26、 )时， P 1 AP=A= )解析：29.已知矩阵 A与 B相似，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，知 a=7，b=2 从矩阵 A的特征多项式EA= = 2 一 4 一 5，得到 A的特征值是 1 =5， 2 =1它亦是 B的特征值 解齐次线性方程组(5E 一 A)x=0，(一 E一 A)x=0可得到矩阵 A的属于 1 =5， 2 =1 的特征向量 1 =(1，1) T 与 2 =(一2，1) T 解齐次线性方程组(5EB)x=0，(一 EB)x=0得到曰的特征向量分别是 1 =(一 7，1) T ， 2 =(一 1，1) T 那么，令 P 1 = BP 2 ，
27、 即 P 2 =B可见，取 P=P 1 )解析：解析：由A= 1 2 =50，知 AA，因而可求可逆矩阵 P 1 和 P 2 ，使 BP 2 =A，那么 P=P 1 30.已知 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按特征向量的定义，设 是 所对应的特征向量，则 A=，即 即 故 A= ，由 EA= 3 2+(一 3)+(一 2) 2 +(一 1+62) 一(一 1)=(+1) 3 ， 知 =1 是 A的三重特征值又因 r(一 E一 A)=r )解析：31.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB，它们有相同的特征值，相同的迹，又因 B是上三角矩阵，故 0，一1
28、，一 1是 B的特征值，于是由 )解析：解析：由于相似矩阵有相同的特征值(54)，B 是上三角矩阵，故 0，一 1，一 1就是 B的特征值，因而也就是 A的特征值，故A=0，一 E一 A=0，再利用(53)就可得到以 a，b，c 为未知数的方程组32.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：据已知有 AA * =AE=E对于 A * = 0 ，用 A左乘两端，得 由此可得 一得 0 =1将 0 =1代入和得 b=3，a=c 由A=1 和 a=c，有 )解析：33.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3
29、 =(一 2，一 1，2) T 求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A i =i i 知，A 有 3个不同的特征值 1，2，3所以 AA= ，即P 1 AP=A，其中 P=( 1 ， 2 ， 3 )= 故 A=PAP 1 = )解析：34.已知线性方程组 有无穷多解，而 A是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵高斯消元，有 由于方程组有无穷多解，故 a=1 或 a=0 当a=1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去； 当 a=0时， 线性无关，是 A的特征向量，故 a=0 令 P= )解析：35.设 A是 3阶实对称矩阵，A 的特征值
30、是 6，一 6,0，其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1，a，1) T 及(a，a+1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交(512)，所以 1a+a(a+1)+11=0 a=1 设属于 =6 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，它与=6，=0 的特征向量均正交，于是 解得(1，2，1) T 是 =6 的特征向量 那么，A )解析：36.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1，且(1，1，1) T ，(1，0，一 1) T ，(1，一 1，0) T 是 A的 3个特征向量，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这些特征向量分别属于特征值 1 ， 2 ， 3 ，则 类似地， 2 = 3 =0于是 )解析：37.已知 A= （分数：2.00）_
