【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc

上传人:brainfellow396 文档编号:1394139 上传时间:2019-12-03 格式:DOC 页数:10 大小:241.50KB
下载 相关 举报
【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc_第1页
第1页 / 共10页
【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc_第2页
第2页 / 共10页
【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc_第3页
第3页 / 共10页
【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc_第4页
第4页 / 共10页
【考研类试卷】考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷2及答案解析.doc_第5页
第5页 / 共10页
点击查看更多>>
资源描述

1、考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷 2及答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.矩阵 A= (分数:2.00)A.1,1,0B.1,一 1,一 2C.1,一 1,2D.1,1,23.矩阵 A= (分数:2.00)A.(1,2,一 1) T B.(1,一 1,2) T C.(1,一 2,3) T D.(一 1,1,一 2) T 二、填空题(总题数:8,分数:16.00)4.设 A是 n阶矩阵,=2 是 A的一个特征值,则 2A 2 一 3A+5E必有特征

2、值 1;(分数:2.00)填空项 1:_5.已知 A,B 都是 n阶矩阵,且 P 1 AP=B,若 是矩阵 A属于特征值 的特征向量,则矩阵 B必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_6.已知矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_7.设 , 均为 3维列向量,且满足 T =5,则矩阵 T 的特征值为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.设 A是 3阶矩阵,如果矩阵 A的每行元素之和都为 2,则矩阵 A必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_9.已知 A是 3阶实对称矩阵,且 A=,其中 =(1,1,2) T ()如果 A的另外两个特征值是 2和一 1,又 =2 的特征向

3、量是(2,0,一 1) T ,则 =1 的特征向量是 1; ()如果 A的另外两个特征值是 3(二重根),则 =3 的特征向量是 2(分数:2.00)填空项 1:_10.已知 =12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_11.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:27,分数:54.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.若 1 , 2 是矩阵 A不同的特征值, 1 是对应于 1 的特征向量,则 1 不是 2 的特征向量(分数:2.00)_14.已知 A= (分数:2.00)_15.求 A= (分数:2.00)_16.求

4、 A= (分数:2.00)_17.已知 A是 n阶矩阵,满足 A 2 2A一 3E=0,求矩阵 A的特征值(分数:2.00)_18.设 A是 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是 3维线性无关的列向量,且 A 1 = 1 一 2 +3 3 , A 2 =4 1 一 3 2 +5 3 , A 3 =0 求矩阵 A的特征值和特征向量(分数:2.00)_19.设 A是 n阶矩阵,A=E+xy T ,x 与 y都是 n1矩阵,且 x T y=2,求 A的特征值、特征向量(分数:2.00)_20.已知 A,B 均是 3阶非零矩阵,且 A 2 =A,B 2 =B,AB=BA=0,证明 0和 1必是 A与 B

5、的特征值,并且若 是 A关于 =1 的特征向量,则 必是 B关于 =0 的特征向量(分数:2.00)_21.已知 A= (分数:2.00)_22.已知 =0 是 A= (分数:2.00)_23.设矩阵 A= (分数:2.00)_24.设 A是 n阶矩阵,A 2 =A, r(A)=r;证明 A能对角化,并求 A的相似标准形(分数:2.00)_25.已知 A= (分数:2.00)_26.已知 A= (分数:2.00)_27.设矩阵 A与 B相似,且 A= (分数:2.00)_28.设 A为 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量,且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ,A 2

6、=2 2 + 3 ,A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值; ()求可逆矩阵 P使 P 1 AP=A(分数:2.00)_29.已知矩阵 A与 B相似,其中 A= (分数:2.00)_30.已知 = (分数:2.00)_31.已知 A= (分数:2.00)_32.设矩阵 A= (分数:2.00)_33.已知 A i =i i (i=1,2,3),其中 1 =(1,2,2) T , 2 =(2,一 2,1) T , 3 =(一 2,一 1,2) T 求矩阵 A(分数:2.00)_34.已知线性方程组 有无穷多解,而 A是 3阶矩阵,且 (分数:2.00)_35.设 A是 3阶实对称矩阵

7、,A 的特征值是 6,一 6,0,其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1,a,1) T 及(a,a+1,1) T ,求矩阵 A(分数:2.00)_36.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1,且(1,1,1) T ,(1,0,一 1) T ,(1,一 1,0) T 是 A的 3个特征向量,求 A(分数:2.00)_37.已知 A= (分数:2.00)_38.已知 (分数:2.00)_考研数学一(矩阵的特征值与特征向量)-试卷 2答案解析(总分:76.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2

8、.00)_解析:2.矩阵 A= (分数:2.00)A.1,1,0 B.1,一 1,一 2C.1,一 1,2D.1,1,2解析:解析:本题可以由特征方程E 一 A=0,即 3.矩阵 A= (分数:2.00)A.(1,2,一 1) T B.(1,一 1,2) T C.(1,一 2,3) T D.(一 1,1,一 2) T 解析:解析:如果(1,一 1,2) T 是矩阵 A的特征向量,则(一 1,1,一 2) T 亦是 A的特征向量所以(B),(D)均错误 又 ,所以(A)不正确,故应选(C) 事实上由 二、填空题(总题数:8,分数:16.00)4.设 A是 n阶矩阵,=2 是 A的一个特征值,则

9、2A 2 一 3A+5E必有特征值 1;(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:7)解析:解析:如 A=,则 A 2 =A()=A= 2 因此(2A 2 3A+5E)=2A 2 一3A+5=(2 2 一 3+5) 所以 2.2 2 3.2+5=7必是 A的特征值5.已知 A,B 都是 n阶矩阵,且 P 1 AP=B,若 是矩阵 A属于特征值 的特征向量,则矩阵 B必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:P 1 )解析:解析:因 P 1 AP=B P 1 A=BP 1 ,又 A= p 1 A=BP 1 6.已知矩阵 A= (分数:2.00)填空项

10、1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:由公式(53)知 a+3+(一 1)= i =3, 则 a=1 又 7.设 , 均为 3维列向量,且满足 T =5,则矩阵 T 的特征值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5,0,0)解析:解析:因为矩阵 A= T 的秩为 1,由公式(52)的特例知,矩阵 A的特征值为a ii ,0,0 又因矩阵特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵主对角线元素之和),由于 T = T 正是矩阵的迹,所以矩阵 T 的特征值为 5,0,08.设 A是 3阶矩阵,如果矩阵 A的每行元素之和都为 2,则矩阵 A必有特征向量 1(分数:2.00)填空项

11、1:_ (正确答案:正确答案:(1,1,1) T)解析:解析:由于矩阵 A的每行元素之和都为 2,所以有 9.已知 A是 3阶实对称矩阵,且 A=,其中 =(1,1,2) T ()如果 A的另外两个特征值是 2和一 1,又 =2 的特征向量是(2,0,一 1) T ,则 =1 的特征向量是 1; ()如果 A的另外两个特征值是 3(二重根),则 =3 的特征向量是 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:()k(1,一 5,2) T ()k 1 (一 1,1,0) T +k 2 (一 2,0,1) T)解析:解析:对于实对称矩阵,特征值不同特征向量相互正交 ()设 =1 的特

12、征向量是(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,则 10.已知 =12 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:由于 =12 是矩阵 A的特征值,故12EA=0,即11.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由 A的特征方程 得到特征值 =1(二重),=1 因为 A有 3个线性无关的特征向量,故 =1 必须有两个线性无关的特征向量(59)那么,必有 r(EA)=32=1于是由三、解答题(总题数:27,分数:54.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.若 1

13、 , 2 是矩阵 A不同的特征值, 1 是对应于 1 的特征向量,则 1 不是 2 的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(反证法) 若 1 是 2 所对应的特征向量,则 1 1 =A 1 = 2 1 于是( 1 2 ) 1 =0从 1 2 得到 1 =0,与特征向量非零相矛盾)解析:14.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由EA= =( 一 3) 2 =0, 得矩阵 A的特征值 1 = 2 =3, 3 =0 当 =3 时,对(3EA)x=0,3EA= 2 得特征向量 1 =(1,一 2,0) T , 2 =(0,0,1) T 当 =0 时,对(0EA)x=0

14、,0EA= 得特征向量 3 =(一 1,一 1,1) T 那么,令 P=( 1 , 2 , 3 )= ,有 P 1 AP= )解析:15.求 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:EA= =( 一 7)( 2 5 一 14)=( 一 7) 2 (+2), 当 =7时,7EA= 当 =2 时,一 2EA= )解析:16.求 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.已知 A是 n阶矩阵,满足 A 2 2A一 3E=0,求矩阵 A的特征值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 是矩阵 A的任意一个特征值, 是 所对应的特征向量,即A=,0 那么(A 2 2A一

15、 3E)=0 )解析:18.设 A是 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是 3维线性无关的列向量,且 A 1 = 1 一 2 +3 3 , A 2 =4 1 一 3 2 +5 3 , A 3 =0 求矩阵 A的特征值和特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 3 =0=0 3 ,知 =0 是 A的特征值, 3 是 =0 的特征向量 由已知条件,有 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 一 2 +3 3 ,4 1 一 3 2 +5 3 ,0) =( 1 , 2 , 3 ) 记 P=( 1 , 2 , 3 ),由 1 , 2 , 3 线性无关,知矩阵 P可逆,进而 P 1 AP=B,

16、 其中 B= 因为相似矩阵有相同的特征值,而矩阵 B的特征多项式 所以矩阵 A的特征值是:一 1,一 1,0 对于矩阵 B, 所以矩阵 B关于特征值 =1 的特征向量是 =(一2,1,1) T 若 B=,即(P 1 AP)=,亦即 A(P)=(P),那么矩阵 A关于特征值=1 的特征向量是 P=( 1 , 2 , 3 ) )解析:19.设 A是 n阶矩阵,A=E+xy T ,x 与 y都是 n1矩阵,且 x T y=2,求 A的特征值、特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 B=xy T = (y 1 ,y 2 ,y n ),则 B 2 =(xy T )(xy T )=x(y T

17、 x)y T =2xy T =2B, 可见 B的特征值只能是 0或 2 因为 r(B)=1,故齐次方程组 Bx=0的基础解系由 n一 1个向量组成,则 )解析:解析:令 B=xy T ,则 A=E+B,如 是 B的特征值, 是对应的特征向量,那么 A=(B+E)=+=(+1) 可见 +1 就是 A的特征值, 是 A关于 +1 的特征向量反之,若A=,则有 B=( 一 1) 所以,为求 A的特征值、特征向量就可转化为求 B的特征值、特征向量20.已知 A,B 均是 3阶非零矩阵,且 A 2 =A,B 2 =B,AB=BA=0,证明 0和 1必是 A与 B的特征值,并且若 是 A关于 =1 的特征

18、向量,则 必是 B关于 =0 的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 A 2 =A,则 A的特征值只能是 0或 1,又因(AE)A=0,A0,知齐次方程组(AE)x=0有非零解,故AE=0,即 =1 必是 A的特征值据 AB=0,B0,得 Ax=0有非零解,那么0EA=A=0,故 0必是 A的特征值 由于已知条件的对称性,0 与 1必是 B的特征值对于A=,同时左乘矩阵 B,得 B=B(A)=(BA)=0=0=0, 所以 是矩阵 B关于 =0 的特征向量)解析:21.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于1 是 A的特征值,将其代入特征方程,有 所以 据(

19、53), )解析:22.已知 =0 是 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 =0 是特征值,故由 由特征多项式EA= = 2 ( 一1),知 =0 是 A的二重特征值 由于 r(0E一 A)=r(A)=r )解析:23.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:矩阵 A的特征多项式为 ()如果 =2 是单根,则 2 8+18+3a 是完全平方,那么有 18+3a=16,即 a= 由于矩阵 A的特征值是 2,4,4,而秩 r(4E一 A)=r =2,故 =4 只有一个线性无关的特征向量,从而 A不能相似对角化 ()如果 =2 是二重特征值,则 2 8+18+3a=

20、( 一 2)( 一 6),那么有 18+3a=12,即 a=一 2 由于矩阵 A的特征值是2,2,6,而秩 r(2E一 A)=r )解析:24.设 A是 n阶矩阵,A 2 =A, r(A)=r;证明 A能对角化,并求 A的相似标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对 A按列分块,记 A=( 1 , 2 , n )由 r(A)=r,知 A中有 r个列向量线性无关, 不妨设为 1 , 2 , r ,因为 A 2 =A,即 A( 1 , 2 , n )=( 1 , 2 , n ),所以 A 1 = 1 =1. 1 , , A r = r =1. r 那么 =1 是 A的特征值, 1 , 2

21、 , r 是其线性无关的特征向量 对于齐次线性方程组 Ax=0,其基础解系由nr(A)=nr个向量组成因此,0 是 A的特征值,基础解系是 =0 的特征向量从而 A有 n个线性无关的特征向量,A 可以对角化(=1 是 r重根,=0 是,nr 重根),且有 )解析:25.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先求 A的特征值、特征向量由特征多项式,有 于是 A的特征值是1(二重),0 对 =1,解齐次方程组(EA)x=0, 得到特征向量 1 =(一 2,1,0) T , 2 =(1,0,1) T 对 =0,解方程组 Ax=0 ,得特征向量 3 =(2,0,1) T 令 P=( 1

22、 , 2 , 3 )= ,则 P 1 AP=A= )解析:26.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A的特征多项式,得 =( 一 2n+1)( 一 n+1) n1 , 所以 A的特征值为 1 =2n1, 2 =n一 1(n一 1重根) 对于 1 =2n一 1,解齐次方程组( 1 E一 A)x=0, 得到基础解系 1 =(1,1,1) T 对于 2 =n一 1,齐次方程组( 2 EA)x=0等价于 x 1 +x 2 +x n =0,得到基础解系 2 =(一 1,1,0,0) T , 3 =(一 1,0,1,0) T , n =(一 1,0,0,1) T , 所以 A的特征向

23、量是:k 1 1 及 k 2 2 +k 3 3 +k n n )解析:27.设矩阵 A与 B相似,且 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 AB,据(55)及(57)有 由 AB,知 A与 B有相同的特征值,于是 A的特征值是 1 = 2 =2, 3 =6 当 =2 时,解齐次线性方程组(2EA)x=0 得到基础解系为 1 =(1,一 1,0) T , 2 =(1,0,1) T ,即 =2 的线性无关的特征向量 当 =6 时,解齐次线性方程组(6EA)x=0 得到基础解系是(1,一 2,3) T ,即 =6 的特征向量 那么,令 P=( 1 , 2 , 3 )= )解析:解析:

24、A 与对角矩阵 B相似,为求矩阵 P应当用相似的性质先求出 a,b,然后再求 A的特征值与特征向量可逆矩阵 P即为特征值 2和 b对应的线性无关特征向量构成的矩阵28.设 A为 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是线性无关的 3维列向量,且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ,A 2 =2 2 + 3 ,A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值; ()求可逆矩阵 P使 P 1 AP=A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(I)由已知条件有 A( 1 , 2 , 3 ) =( 1 + 2 + 3 ,2 2 + 3 ,2 2 +3 3 )=( 1 , 2 , 3 ) 记 P 1 =

25、( 1 , 2 , 3 ),B= ,则有 AP 1 =P 1 B 因为 1 , 2 , 3 线性无关,矩阵 P 1 可逆,所以 AP 1 =B,即矩阵 A与 B相似由 知矩阵 b的特征值是 1,1,4,故矩阵 A的特征值是 1,1,4 ()对矩阵 b,由(E 一 B)x=0,得 =1 的特征向量 1 =(一 1,1,0) T , 2 =(一 2,0,1) T ; 由(4Eb)x=0,得 =4 的特征向量 3 =(0,1,1) T 那么令 P 2 =( 1 , 2 , 3 )= 于是 故当 P=P 1 P 2 =( 1 , 2 , 3 ) =(一 1 + 2 ,一 2 1 + 3 , 2 + 3

26、 )时, P 1 AP=A= )解析:29.已知矩阵 A与 B相似,其中 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 AB,知 a=7,b=2 从矩阵 A的特征多项式EA= = 2 一 4 一 5,得到 A的特征值是 1 =5, 2 =1它亦是 B的特征值 解齐次线性方程组(5E 一 A)x=0,(一 E一 A)x=0可得到矩阵 A的属于 1 =5, 2 =1 的特征向量 1 =(1,1) T 与 2 =(一2,1) T 解齐次线性方程组(5EB)x=0,(一 EB)x=0得到曰的特征向量分别是 1 =(一 7,1) T , 2 =(一 1,1) T 那么,令 P 1 = BP 2 ,

27、 即 P 2 =B可见,取 P=P 1 )解析:解析:由A= 1 2 =50,知 AA,因而可求可逆矩阵 P 1 和 P 2 ,使 BP 2 =A,那么 P=P 1 30.已知 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按特征向量的定义,设 是 所对应的特征向量,则 A=,即 即 故 A= ,由 EA= 3 2+(一 3)+(一 2) 2 +(一 1+62) 一(一 1)=(+1) 3 , 知 =1 是 A的三重特征值又因 r(一 E一 A)=r )解析:31.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 AB,它们有相同的特征值,相同的迹,又因 B是上三角矩阵,故 0,一1

28、,一 1是 B的特征值,于是由 )解析:解析:由于相似矩阵有相同的特征值(54),B 是上三角矩阵,故 0,一 1,一 1就是 B的特征值,因而也就是 A的特征值,故A=0,一 E一 A=0,再利用(53)就可得到以 a,b,c 为未知数的方程组32.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:据已知有 AA * =AE=E对于 A * = 0 ,用 A左乘两端,得 由此可得 一得 0 =1将 0 =1代入和得 b=3,a=c 由A=1 和 a=c,有 )解析:33.已知 A i =i i (i=1,2,3),其中 1 =(1,2,2) T , 2 =(2,一 2,1) T , 3

29、 =(一 2,一 1,2) T 求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 A i =i i 知,A 有 3个不同的特征值 1,2,3所以 AA= ,即P 1 AP=A,其中 P=( 1 , 2 , 3 )= 故 A=PAP 1 = )解析:34.已知线性方程组 有无穷多解,而 A是 3阶矩阵,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对增广矩阵高斯消元,有 由于方程组有无穷多解,故 a=1 或 a=0 当a=1 时,三个特征向量 线性相关,不合题意,舍去; 当 a=0时, 线性无关,是 A的特征向量,故 a=0 令 P= )解析:35.设 A是 3阶实对称矩阵,A 的特征值

30、是 6,一 6,0,其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1,a,1) T 及(a,a+1,1) T ,求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A是实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交(512),所以 1a+a(a+1)+11=0 a=1 设属于 =6 的特征向量是(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,它与=6,=0 的特征向量均正交,于是 解得(1,2,1) T 是 =6 的特征向量 那么,A )解析:36.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1,且(1,1,1) T ,(1,0,一 1) T ,(1,一 1,0) T 是 A的 3个特征向量,求 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设这些特征向量分别属于特征值 1 , 2 , 3 ,则 类似地, 2 = 3 =0于是 )解析:37.已知 A= (分数:2.00)_

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 考试资料 > 大学考试

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1