1、考研数学一（矩阵）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 3 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A （分数：2.00）A.B.3C.6D.93.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABDB.AOC.AB0D.A14.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(AB) 2 E，则(EBA -1 ) -1 ( )（分数：2.00）A.(AB)BB.EAB -1C.A(AB)D.(AB)A5.下列命题中
2、 (1)如果矩阵 ABE，则 A 可逆且 A -1 B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 E，则(BA) 2 E； (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 ABAB，则 (1)若 A 可逆，则 B 可逆； (2)若 B 可逆，则 AB 可逆； (3)若AB 可逆，则 AB 可逆； (4)AE 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有( )（分数：2.00
3、）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A * B * 是对称矩阵D.A2B 是对称矩阵8.设 A P 1 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2D.AP 1 P 39.设 A （分数：2.00）A.a1 时，B 的秩必为 2B.a1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 210.已知 A （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 3二、填空题(总题数：12，分数：24.00)1
4、1.设 A 为四阶矩阵，且A2，则A * 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B （分数：2.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T （分数：2.00）填空项 1:_17.设方阵 A 满足 A 2 A2EO，并且 A 及 A2E 都是可逆矩阵，则(A2E) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 A ，BA 2 5A6E，则( （分数：2.00）填
5、空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.如果 A （分数：2.00）填空项 1:_22.设 (1，2，3) T ，(1， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩降记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB -1 （分数：2.00）_25.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）_26.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工
6、的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 n 和 y n ，记成向量 (1)求 的关系式并写成矩阵形式： ； (2)验证 1 ， 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当 （分数：2.00）_27.已知 3 阶矩阵 A 和 3 维向量 ，使得 ，A，A 2 线性无关，且满足 A 3 3A2A 2 (1)记 P(，A，A 2 )求 3 阶矩阵 B，使 APBP -1 ； (2)计算行列式AE（分数：2.00）_28.设 A，B
7、 为同阶方阵， (1)若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等； (2)举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立； (3)当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_29.(1)设 A ，求 (A)A 10 5A 9 ； (2)设 A （分数：2.00）_30.设 A （分数：2.00）_考研数学一（矩阵）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 3 阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵
8、，A （分数：2.00）A.B.3C.6D.9 解析：解析：由A 3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABDB.AOC.AB0 D.A1解析：解析：ABAB0，行列式是数，故有A0 或B0，反之亦成立，故应选C 取 ，ABO，但 AO，BO，选项 A 不成立 取A 0，但 A O，选项 B不成立 取A ，但 A4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(AB) 2 E，则(EBA -1 ) -1 ( )（分数：2.00）A.(AB)BB.EAB -1C.A(AB) D.(AB)A解析：解析：因为(EBA -1 ) -1 (AA -1 BA -1 ) -1
9、 (AB)A -1 -1 (A -1 ) -1 (AB) -1 A(AB)， 所以应选 C 注意，由(AB) 2 E，即(AB)(AB)E，按可逆矩阵的定义知(AB) -1 (AB)5.下列命题中 (1)如果矩阵 ABE，则 A 可逆且 A -1 B； (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 E，则(BA) 2 E； (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆； (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆 正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析：如果 A、B 均为 n
10、 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确例如 显然 A 不可逆 若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 E，即(AB)(AB)E，则可知 A、B 均可逆，于是 ABAB -1 ，从而 BABAE即(BA) 2 E因此(2)正确 若设 显然 A、B 都不可逆，但AB 6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 ABAB，则 (1)若 A 可逆，则 B 可逆； (2)若 B 可逆，则 AB 可逆； (3)若AB 可逆，则 AB 可逆； (4)AE 恒可逆 上述命题中，正确的命题共有( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析：由 A
11、BAB，有(AE)BA若 A 可逆，则 (AE)BAEBA0， 知B0即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确 应用命题(1)，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 ABAB 也可逆，故命题 (2)正确 因为 ABA+B，若 AB 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确 对于命题(4)，用分组因式分解，即 ABABE，则有(AE)(BE)E， 所以得 AE 恒可逆，命题(4)正确 所以应选 D7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A * B * 是对称矩阵D.A2B 是对称矩阵解析：解析：由
12、题设条件，则 (AB) T A T B T AB， 以及 (kB) T kB T kB， 所以有 (A2B) T A T (2B T )A2B， 从而选项 A，D 的结论是正确的 首先来证明(A * ) T (A T ) * ，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A * ) T 在位置(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ij 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T ) * 在(i，j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 a ji a ij 则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij* 从而(A * )
13、 T (A T ) * A * ，故 A * 为对称矩阵，同理，B * 亦为对称矩阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的 因为(AB) T B T A T BA，从而选项 B 的结论不正确 注意：当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 ABBA 所以应选 B8.设 A P 1 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2D.AP 1 P 3解析：解析：矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除 该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再
14、 1、2 两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B 而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B9.设 A （分数：2.00）A.a1 时，B 的秩必为 2B.a1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，B 的秩必为 2解析：解析：当 a1 时，易见 r(A)1；当 a1 时，则10.已知 A （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 3 解析：解析：A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式 可见 r(A * )1 r(A)3 对矩阵A 作初等变换，有 二、填空题(总题数：12，分数：24.0
15、0)11.设 A 为四阶矩阵，且A2，则A * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为A0 时，有 A -1 12.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 ABAB，其中 B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，ABAB，则(AE)(EB)E因此 AE13.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于A 3，又因为 AA * A * AAE，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A得 3AB6BA，即 3(A2E)nA，该等式两端同时取行列式有 3(A2E).BA3， 即27A2E.BA
16、3 又A2E 1，因此可得B 14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据矩阵乘积的计算方法16.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 (a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 而 T (a 1 ，a 2 ，a 3 ) 17.设方阵 A 满足 A 2 A2EO，并且 A 及 A2E 都是可逆矩阵，则(A2E) -1 1（分数：2
17、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A3E)）解析：解析：由 A 2 A2EO，即可得(A2E)(A3E)4E，于是有 (A2E) -1 (A2E)(A3E)4(A2E) -1 ， 因此(A2E) -1 18.设矩阵 A ，BA 2 5A6E，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 B(A2E)(A3E)，又( B) -1 5B -1 ，因此可知 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BE(EA) -1 (EA)E (EA) -1 (EA)(EA) -1 (EA) (EA) -1 (EA
18、)(EA) 2(EA) -1 ， 因此(EB) -1 (EA)，已知 A 因此，(EB) -1 20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据逆矩阵的求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即21.如果 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 A (BE)且 B 2 E，因此 A 2 (BE) 2 (B 2 2BE) (2B2E) 22.设 (1，2，3) T ，(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
19、：因为 A T ，又因为 T 2，且矩阵的乘法满足结合律， 所以，A 3 ( T )( T )( T )( T )( T ) T 4 T 4A 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩降记为 B (1)证明 B 可逆； (2)求 AB -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有BE(i，j)A，因此有 BE(i，j)AA0， 所以矩阵 B
20、可逆 (2)AB -1 AE(i，j)A -1 AA -1 E -1 (i，j)E -1 (i，j)E(i，j)解析：25.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * A * AAE，知A * A n-1 ，因此有 8A * A 3 ，于是A2 在等式 ABA -1 BA -1 3E，两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2BA * B3A * A，由上述结论，则有 (2EA * )B6E 于是 B6(2EA * ) -1 )解析：26.某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练
21、工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 n 和 y n ，记成向量 (1)求 的关系式并写成矩阵形式： ； (2)验证 1 ， 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； (3)当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)因为行列式 1 ， 2 50 可见 1 ， 2 线性无关 又 A 1 1 ，故 1 为 A，的特征向量，且相应的特征值 1 1 A 2 2 ，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2 (3)因为 因此只要计算出 A n 即可 令 P( 1 ， 2 ) 则由 P -1
22、 AP ，有 AP P -1 )解析：27.已知 3 阶矩阵 A 和 3 维向量 ，使得 ，A，A 2 线性无关，且满足 A 3 3A2A 2 (1)记 P(，A，A 2 )求 3 阶矩阵 B，使 APBP -1 ； (2)计算行列式AE（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令等式 APBP -1 两边同时右乘矩阵 P，得 APPB，即 A(，A，A 2 )(A，A 2 ，A 3 )(A，A 2 ，3A2A 2 ) (，A，A 2 ) 所以 B (2)由(1)知 AB，那么 AEBE，从而 AEBE )解析：28.设 A，B 为同阶方阵， (1)若 A，B 相似，证明 A，B 的特征
23、多项式相等； (2)举一个 2 阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立； (3)当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P -1 APB，则 P -1 (EA)PP -1 EAPEA 所以 A、B 的特征多项式相等 (2)令 ，那么EA 2 EB 但是 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 P -1 APBO，从而 APOP -1 O 与已知矛盾也可从 r(A)1，r(B)0，知 A 与 B 不相似 (3)因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，
24、记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 也就是，存在可逆矩阵 P，Q，使 P -1 AP )解析：29.(1)设 A ，求 (A)A 10 5A 9 ； (2)设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 的特征多项式为 A (1)(5) 解得 A 的特征值为 1 1， 2 5 对于 1 1，解方程(AE)0，得单位特征向量 对于 2 5，解方程(A5E)0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 P ，使得 P -1 APdiag(1，5)，从而 APAP -1 ，A k PA k P -1 因此 (A)P()P -1 P( 10 5 9 )P -1 Pdiag(1，5 10 )5diag(1，5 9 )P -1 Pdiag(4，0)P -1 (2)A 的特征多项式为 AE (1)(1)(5)， A 的特征值为 1 1， 2 1， 3 5 对于 1 1，解方程(AE)0，得单位特征向量 对于 2 1，解方程(AE)0，得单位特征向量 对于 3 5，解方程(AE)0，得单位特征向量 于是有正交矩阵 使得 P -1 APdiag(1，1，5)，APP -1 因此 )解析：30.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(B)2，因此可设 B ，由 ABO，即 解此非齐次线性方程组，得唯一解 故所求矩阵为 B )解析：
