1、考研数学一（高等数学）-试卷 10 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=一 f“(0)3.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f
2、x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值7.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)为 y=f(x)的拐点D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f
3、1)也不是 y=f(x)的拐点8.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为偶函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数
4、36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)=g(a+bx)一 g(abx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)。（分数：2.00）_14.设 f“(x)=x 一 ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_15.设 y= （分数：2.00）_16.求下列函数的导数： (1) （分数：2.00）_17.设 y= （分数：2.00）_18.设 y= （分数：2.00）_19.(1)由方程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y，确定
5、求 dy x=0 (3)设 y=y(x)由 In(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 (4)设由 e y +x(yx)=1+x确定 y=y(x)，求 y“(0) (5)设 y=y(x)由 （分数：2.00）_20.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 （分数：2.00）_21.设 y=ln(2+3 x )，求 dy x=0 （分数：2.00）_22.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 y=x 2 lnx，求 y (n) （分数：2.00）_25.求 （分数：2.0
6、0）_26.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_27.求 y=f(x)= （分数：2.00）_28.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 10 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)可导，且 F(x)=
7、f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)=f“(0)D.f(0)=一 f“(0)解析：解析：F(0)=f(0)， 3.设 f(x)连续，且 F(x)= f(t)dt，则 F“(x)=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：F“(x)=f(lnx)(lnx)“一4.设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析： 因为 f“ (1)=f“ + (1
8、)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 x=1 处可导， 5.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析： 6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f“(0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析：解析：由= =一 2 得 f(0)=1， 由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，7.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1
9、f(1)为 y=f(x)的拐点 D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：8.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：因为 注意到 x 3 =o(x)，所以当 0|x| 时，f“(x)0， 从而 f“(x)在(一，)内单调递减， 再由 f“(0)=0 得 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)9.设 f(x)一阶可导，且 f(0)
10、f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.设 f(x)为偶函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(1)=2，11.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f“(a)）解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.
11、00）_解析：13.设 f(x)=g(a+bx)一 g(abx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f“(x)=x 一 ag(x)，其中 g(x)连续，讨论 f“(a)的存在性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求下列函数的导数： (1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.(1)由方
12、程 sin(xy)+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 (2)设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y，确定，求 dy x=0 (3)设 y=y(x)由 In(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 (4)设由 e y +x(yx)=1+x确定 y=y(x)，求 y“(0) (5)设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)x=0 代入 sin(xy)+ln(yx)=x 得 y=1， (4)x=0 时，y=0 e y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得一 e y y“+yx+x(y“一 1)=1，则 y“(0)=一 1； 一 e y y“+y
13、x+x(y“一 1)=1两边关于 x 求导得 e y (y“) 2 一 e y y“+2(y“一 1)+xy“=0， 代入得 y“(0)=一 3 (5)x=0 时，y=1 )解析：20.设 f(x)可导且 f“(0)0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y=ln(2+3 x )，求 dy x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入得 y=0， )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案
14、正确答案： )解析：24.设 y=x 2 lnx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y (n) =C n 0 x(lnx) (n) +C n 1 2x(lnx) (n1) +C n 2 2(lnx) n2 )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x 一 99) 得f“(0)=(一 1)2(一 3)100=100!)解析：27.求 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=y0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(一，+)， )解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
