1、考研数学一（高等数学）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_2.微分方程 y“一 xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_3.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_4.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4
2、y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(x)q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_9.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_10.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_11.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y
3、(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_12.求幂级数 （分数：2.00）_13.求函数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_14.求幂级数 （分数：2.00）_15.求幂级数 （分数：2.00）_16.求幂级数 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 且 =1 的解 (1)求 F(x)关于 x 的幂级数； (2)求 （分数：2.00）_19.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_20.设 f(x)= ，且 a 0 =1，a
4、n+1 =a n +n(n=0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程； (2)求 （分数：2.00）_21.证明 S(x)= （分数：2.00）_22.将函数 f(x)=2+x(一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_23.将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_24.设 u n 0，且 （分数：2.00）_25.设级数 （分数：2.00）_26.设 a n = （分数：2.00）_27.设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，) （分数：2.
5、00）_28.设 a 0 =1，a 1 =一 2，a 2 = (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2.微分方程 y“一 xe -y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：3.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 或者 ）解析：解析：4.
6、微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin*=lnx+C）解析：解析：5.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 3y“+4y“一 2y=0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 3 2 +4 一 2=0，所求方程为 y“一 3y“+4y“一 2y=06.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=
7、1，y“(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y“4y“+4y=0 的通解为 y=(C+C2x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ， 于是 0 1 y(x)dx= 二、解答题(总题数：22，分数：44.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有f“(x)q1，令 u n =f(u n1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.0
8、0）_正确答案：(正确答案：由u n+1 一 u n =f(u n )f(u n1 )=f“( 1 )u n 一 u n1 qu n 一 u n1 q 2 u n1 一 u n2 q n u n 一 u 0 且 )解析：9.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f“(x)M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的上界 所以对充分大的 n，有
9、)解析：11.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“=x+y 得 y“=1+y“，再由 y(0)=1 得 y“(0)=1，y“(0)=2，根据马克劳林公式，有 )解析：12.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求函数 f(x)=ln(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=ln(1 一 x 一 2x2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)， )解析：14.求幂级数 （分数：2.00）_正确答
10、案：(正确答案： )解析：15.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为一 1，1， )解析：16.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(一，+)， )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 且 =1 的解 (1)求 F(x)关于 x 的幂级数； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答
11、案： )解析：20.设 f(x)= ，且 a 0 =1，a n+1 =a n +n(n=0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.证明 S(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然级数的收敛域为(一，+)， 显然 S(x)满足微分方程 y (4) 一 y=0 y (4) 一 y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x +C 3 cosx+C 4 sinx， 由 S(0)=1，S“(0)=S“(0)=S“(0)=0 得 )解析：22.将函数 f(x)=2+x(一 1x1)展开成以 2 为周期
12、的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然函数 f(x)是在一 1，1上满足收敛定理的偶函数，则 a 0 =2 0 1 f(x)dx=5， a n =2 0 1 f(x)cosnnxdx= (n=1，2，)， b n =0(n=1，2，)， 又 f(x)C一 1，1，所以 )解析：23.将函数 f(x)=x 一 1(0x2)展开成周期为 4 的余弦级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)进行偶延拓和周期延拓， )解析：24.设 u n 0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
13、：令 S n =(a 1 一 a 0 )+(a 2 一 a 1 )+(a n 一 a n1 )，则 S n =a n 一 a 0 )解析：26.设 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)n=1 时，f 1 (x)= 0 x f 0 (t)dt，等式成立； (2)对任意的 x(一，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M 与 x 有关)，使得f 0 (t)M(t0，x或 tx，0)，于是 )解析：28.设 a 0 =1，a 1 =一 2，a 2 = (n2)证明：当x1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
