1、考研数学一（高等数学）-试卷 51 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=一 1D.r=13.设 u n =(一 1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设幂级数 （分数：2.00）A.2B.4C.D.无法确定5.设 f(x)= (n=0，1，2；一x+)，其中 a n =2 0 1 (x)cosnxdx，则 S(一 )为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(
2、总题数：4，分数：8.00)6.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：2.00）_12.计算曲面积分 （分数：2.00）_13.计算曲线积分 L xyzdz，其中 C： （分数：2.00）_14.计算 L yzdx+3xzdy 一 xydz，其中 L： （分数：2.00）_
3、15.设空间曲线 C 由立体 0z1，0y1，021 的表面与平面 x+y+z= （分数：2.00）_16.计算 I= （分数：2.00）_17.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L：x 2 +y 2 =1 上有 f(x，y)0证明：f(0，0)= （分数：2.00）_18.设 L 是不经过点(2，0)，(2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算 （分数：2.00）_19.设函数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)= ，且在区域 D 的边界
4、上有 u(x，y)=1，v(x，y)=y，求 （分数：2.00）_20.设曲线 L 的长度为 l，且 （分数：2.00）_21.讨论级数 （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 0a n （分数：2.00）_24.若正项级数 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.设 a n =一 0 1 x 2 (1x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_27.设na n 收敛，且 （分数：2.00）_28.设 a n 0(n=1，2，)且a n n=1 单调减少，又级数 （分数：2.00）_29.证明：(1)设 a n 0，Rna n 有界，则级数 收敛； (2)若
5、 （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n 0，且 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 （分数：2.00）_32.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 51 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.r1B.r1C.r=一 1 D.r=1解析：解析：3.设 u n
6、=(一 1) n ln(1+ )，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：4.设幂级数 （分数：2.00）A.2 B.4C.D.无法确定解析：解析：因为 a n x n 的收敛半径为 R=4，又因为级数 5.设 f(x)= (n=0，1，2；一x+)，其中 a n =2 0 1 (x)cosnxdx，则 S(一 )为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(一 1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则二、填空题(总题数：4，分
7、数：8.00)6.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3e）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1ln2)）解析：解析：9.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 S：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
8、解析：12.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面：z=1 一 x 2 一 y 2 (z0)，补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 1)，取下侧，由高斯公式得 )解析：13.计算曲线积分 L xyzdz，其中 C： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.计算 L yzdx+3xzdy 一 xydz，其中 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设由 L 所围成的平面为，接右手准则，取上侧， )解析：15.设空间曲线 C 由立体 0z1，0y1，021 的表面与平面 x+y+z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取平面 x+y+z=
9、 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为cos=cos=cos= ， 由斯托克斯公式得 )解析：16.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)= 令 L r ：x 2 +y 2 =r 2 ，其中 r0，L r 在 L 内，方向取逆时针，由格林公式得 )解析：17.设函数 f(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 有连续的偏导数，且在 L：x 2 +y 2 =1 上有 f(x，y)0证明：f(0，0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： = 0 2 f(cos，sin)一 f(rcos，rsin)d =一 0 2 f(rcos，rsin)
10、d， 再根据积分中值定理得 I=一 2f(rcos，rsin)，其中 是介于 0 与 2之间的值 故原式=一 )解析：18.设 L 是不经过点(2，0)，(2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= =I 1 +I 2 显然曲线积分 I 1 ，I 2 都满足柯西一黎曼条件 (1)当(2，0)，(一 2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I 1 =I 2 =0，因此 I=0； (2)当(2，0)，(一 2，0)都在L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r 1 ，r 2 为半径的圆 C 1 ，C 2 ，使它们都在 L 内，则
11、I 1 = )解析：19.设函数 u(x，y)，v(x，y)在 D：x 2 +y 2 1 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)= ，且在区域 D 的边界上有 u(x，y)=1，v(x，y)=y，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设曲线 L 的长度为 l，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pdx+Qdy=P，Q)dx，dy， 因为abab， )解析：21.讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 取 0 =1，存在自然数 N，当 NN 时，
12、a n 一 01，从而 0a n 1， 当 nN 时，有 0a n 2 a n 1 由 )解析：23.设 0a n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.若正项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 a n =一 0 1 x 2 (1x) n dx，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设na n 收敛，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S=a 1 ，a 2 ，a n ，S“=(a 1 一 a 0 )+2(a 2 a 1 )+(n+1)(a
13、n+1 一aa n )， 则 S“ n+1 =(n+1)a n+1 S n a 0 ，因为 (a n a n1 )收敛且数列na n 收敛， 所以 )解析：28.设 a n 0(n=1，2，)且a n n=1 单调减少，又级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.证明：(1)设 a n 0，Rna n 有界，则级数 收敛； (2)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为na n 有界，所以存在 M0，使得 0na n M， )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设u n ，c n 为正项数列，证明： (1)若对一切正整数 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n 0，且 也发散； (2)若对一切正整数 n 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 为正项级数 (1)因为对所有 n 满足 c n u n 一 c n+1 u n+1 0，于是 c n u n c n+1 u n+1 c n u n c 1 u 1 0， )解析：32.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
