1、考研数学一（高等数学）-试卷 67 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=03.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该
2、方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)4.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.一D.ln3二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_7
3、.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_8.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_13.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.0
4、0）_14.求微分方程 xy“+(1 一 x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：2.00）_15.求微分方程(y+ （分数：2.00）_16.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_17.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 cosy （分数：2.00）_19.求微分方程 xy （分数：2.00）_20.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_21.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解（分数：2.0
5、0）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.求微分方程 （分数：2.00）_24.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_25.设 f(x)=e x 0 x (xt)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_26.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_27.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x tf(xt)dt=x+1，求 f(x)（分数：2.00）_28.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数
6、：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 67 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y“一 y“一 y“+y=0 B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“+2y“一 y“一 2y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 为三阶常系
7、数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y“+y=0，选(A)3.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解
8、，所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)，选(C)4.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.一D.ln3 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：y=cosxe tanxdx dx+Ce tanxdx =(x+
9、C)cosx6.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x 一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3x）解析：解析：由 0 x f(x 一
10、 t)dt 10.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是y= 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求微分方程 xy“+
11、(1 一 x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求微分方程(yx 3 )dx 一 2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求微分方程 xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求微分方程 x 2 y“+xy=y
12、 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求微分方程(xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy 2 +y 一 1，Q(x，y)=x 2 y+x+2；因为 =2xy+1，所以原方程为全微分方程， 令 u(x，y)= (0，0) (x，y) (xy 2 +y 一 1)dx+(x 2 y+x+2)dy = 0 x (一 1)dx+ 0 y (x 2 y+x+2)dy=一 x+ +xy+2y， 则原方程的通解为 )解析：22.求微分方程 （分数：2.00）
13、_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe x x，原方程化为 )解析：25.设 f(x)=e x 0 x (xt)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e x 0 x (xt)f(t)dt，得 f(x)=e x x 0 x f(t)dt+ 0
14、x tf(t)dt，两边对 x 求导，得 f“(x)=e x 0 x f(t)出，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=Ccosx+Csinx+ e在 f(x)=e x 0 x (x 一 t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f“(x)=e x 0 x f(t)dt 中，令 x=0 得 f“(0)=1，于是有 C 1 = )解析：26.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f(x)二阶可导，且 0 x f(t)dt+ 0 x tf(xt)dt=x+1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x tf(xt)dt )解析：28.求满足初始条件 y“+2x(y“) 2 =0，y(0)=1，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
