1、考研数学一（高等数学）-试卷 68 及答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.累次积分 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 D(x，y) 0x，0y)，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x，y)在区域 D：x 2 y 2 t 2 上连续且 f(0，0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_
2、7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 a0，f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设连续函数 f(x)，f(0)0，F(t) z 2 f(x 2 y 2 )dxdydz， t ：x 2 y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：31，分数：62.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设函数 z
3、f(u)，方程 u(u) 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.求二元函数 zf(x，y)x 2 y(4 一 xy)在由 z 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_16.求函数 uxyz 在沿球面 x 2 y 2 z 2 1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_17.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，
4、销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 2402p 1 ，q 2 10005p 2 ，总成本函数为 C3540(q 1 q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_18.设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_19.设 ：xx(t)，yy(t)(t 是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的
5、偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) （分数：2.00）_22.计算二重积分 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.已知 ，设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 （分数：2.00）_25.计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28. （分数：2.00）_29. （分数：2.00）_30.计算 （分数：2.00）_31.计算二
6、重积分 （分数：2.00）_32.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 y 2 z 2 a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_33.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_34.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_35.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)0，f“(x)0， 为 yf(x)，y0，xa围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_36.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb
7、，ayb证明： （分数：2.00）_37.设 f(x)连续， 其中 V(x，y，z)x 2 y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_38.设 ：x 2 y 2 z 2 1，证明： （分数：2.00）_39.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_40.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_41.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_42.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 68 答案解析(总分：84.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给
8、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.累次积分 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1，0y3.设 D(x，y) 0x，0y)，则 等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 (x，y)0x，0yx， 4.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 1)）解析：解析：6.设 f(x，y)在区域 D：x 2 y 2 t 2 上连续
9、且 f(0，0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：7.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.设 a0，f(x)g(x) 而 D 表示整个平面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在 D 1 (x，y)x，0y1上，f(y)y； 在 D 2 ：0xy1 上，f(xy)xy， 则在 D 0 D 1 D 2 (x，y)yx1 一 y,0y1)上，f(y)f(xy)y(xy)，
10、10.设连续函数 f(x)，f(0)0，F(t) z 2 f(x 2 y 2 )dxdydz， t ：x 2 y 2 t 2 ，0z1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2)的直线段，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：31，分数：62.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设函数 zf(u)，方程 u(u) 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u
11、)连续，且 “(u)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求二元函数 zf(x，y)x 2 y(4 一 xy)在由 z 轴、y 轴及 xy6 所围成的闭区域 D 上的最小值和最大值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L 1 ：y0(0x6)上，z0； 在 L 2 ：x0(0y6)上，z0； 在 L 3 ：y6 一 x(0x6)上，z一 2x 2 (6 一 x)2x 3 一 12x 2 ， 由 6x 2 一 24x0 得 x4，因为 f(0，0)0
12、,f(6，0)0,f(4，2)一 64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值为一 64，最大值为 0 (2)在区域 D 内，由 得驻点为(2，1)， )解析：16.求函数 uxyz 在沿球面 x 2 y 2 z 2 1 上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：球面 x 2 y 2 z 2 1 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的外法向量为聘2x 0 ，2y 0 ，2z 0 )， )解析：17.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分
13、别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 2402p 1 ，q 2 10005p 2 ，总成本函数为 C3540(q 1 q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：p 1 1205q 1 ，p 2 20020q 2 ，收入函数为 Rp 1 q 1 p 2 q 2 ， 总利润函数为 LRC(1205q 1 )q 1 (20020q 2 )q 2 一3540(q 1 q 2 )， 由 )解析：18.设二元函数 f(x，y)xy(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在
14、点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f x “(0，0)，f y “(0，0)存在 (充分性)若 (0，0)0，则 f x “(0，0)0，f y “(0，0)0 )解析：19.设 ：xx(t)，yy(t)(t 是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.
15、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.已知 ，设 D 为由 x0、y0 及 xyt 所围成的区域，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， 当 t2 时，F(t)1，则 )解析：25.计算 ，其中 D(x，y)0x1，0y1故 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
16、 D 1 (x，y)0x1,0yx，D 2 (x，y)0xy，0y1，则 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)1x1，0yx 2 )，D 2 (x，y)一 1x1，x 2 y2)， )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面
17、 x 2 y 2 z 2 a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设球面 S：x 2 y 2 (z 一 a) 2 R 2 ， )解析：33.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(z，y
18、)f(x，y)g(x，y)Mg(z，y) 积分得 )解析：35.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)0，f“(x)0， 为 yf(x)，y0，xa围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 yx 对称， )解析：37.设 f(x)连续， 其中 V(x，y，z)x 2 y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.设 ：x 2 y 2 z 2 1，证
19、明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)x2y 一 2z5， 因为 f x “10，f y “20，f z “一 20，所以 f(x，y，z)在区域 的边界 x 2 y 2 z 2 1 上取到最大值和最小值 令 F(x，y，z，)x2y 一 2z5(x 2 y 2 z 2 一 1)， )解析：39.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 )解析：40.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)x 2 y 2 R 2 ，x0，y0)， S(x，y)0xR，0yR)， D 2 (x，y)x 2 y 2 2R 2 ，x0，y0) )解析：
