1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 232 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导3.设 f (x)连续，f (0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点4.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x
2、)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2mf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dxC. a b mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b mf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx5.设 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.存在C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D.6.微
3、分方程 y 一 4y=e 2x +x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.过点(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_11.改变积分次序 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答
4、题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.设 f(x)= 0 tanx arctant 2 dt，g(x)=xsinx,当 x0 时，比较这两个无穷小的关系（分数：2.00）_17.求 f(x)= （分数：2.00）_18.求常数 a，b 使得 f(x)= （分数：2.00）_19.求 f(x)= 0 1 x 一 tdt 在0，1上的最大值与最小值（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)=2 （分数：2.00）_22.设 z=f(t 2
5、，e 2t )二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_24.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧，计算 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.设函数 f(x)以 2 为周期，且其在一 ，)上的表达式为 f(x)=x，求 f(x)的傅里叶级数，并求 （分数：2.00）_27.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 t=0 = 0 ，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 232
6、 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：因为 (x 2 +x+1)=3=f(1)，所以 f(x)在 x=1 处连续 因为 =3，所以 f(x)在x=1 处可导 当 x1 时，f (x)=2x+1，因为 3.设 f (x)连续，f (0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)
7、是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =1 及 f (x)的连续性，得 f (0)=0，由极限的保号性，存在 0，当0x 时， 4.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（分数：2.00）A. a b 2mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxB. a b 2mf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx C. a b mf(x)+g(x)f(x)一 g(x)dxD. a b mf(x
8、)一 g(x)f(x)一 g(x)dx解析：解析：由元素法的思想，对x，x+dx 5.设 f x (x 0 ，y 0 )，f y (x 0 ，y 0 )都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处连续B.存在C.f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可微D. 解析：解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数 f(x，y)= 在(0，0)处可偏导，但 不存在，(B)不对；f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由 f x (x 0 ，y 0 )= 6.微分方程 y 一 4y=e 2x +
9、x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.ae 2x +bx+cB.ax 2 e 2x +bx+cC.axe 2x +bx 2 +cxD.axe 2x +bx+c 解析：解析：y 一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1 =一 2， 2 =2，y 一 4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axe 2x ，y 一 4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，应选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 ln(1+x)=x 一 +(x 2
10、)得 x0 时，x 2 一 xln(1+x)= ， 则 8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.过点(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 16x+14y+11z+65=0）解析：解析：s 1 =1，一 2，4，s 2 =3，5，一 2，所求平面的法向量 n=s 1 s 2 =一16，14，11，则所求平面方程为一 16x+14y+11z+65=011.改变积分次序 0 1 dx （分数：2.00）填空项 1:_ （正
11、确答案：正确答案： 0 1 dy 0 y f(x，y)dx ）解析：解析： 0 1 dx f(x，y)dy= 0 1 dy 0 y f(x，y)dx 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： (x 2 y 2 +z 2 )ds= ， 原点到平面 x+y+z=1 的距离为 d= 的半径为 r= ， 则 13.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，4)）解析：解析：令 x 一 2=t，对级数 ，所以收敛半径为 R=2，当 t2 时，三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12、。（分数：2.00）_解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)= 0 tanx arctant 2 dt，g(x)=xsinx,当 x0 时，比较这两个无穷小的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x0 时，g(x)=x 一 sinx=x ， )解析：17.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=一 1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点， )解析：18.求常数 a，b 使得 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有
13、 f(0+0)=2a=f(0)=f(0一 0)=3b， f (0)= =3+2a， f (0)= =10+6b， 由 f(x)在 x=0 处可导，则3+2a=106b，解得 )解析：19.求 f(x)= 0 1 x 一 tdt 在0，1上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 0 1 x 一 tdt= 0 x (xt)dt+ x 1 (tx)dt =x 2 一 一x(1 一 x)=x 2 一 x+ 由 f (x)=2x 一 1=0 得 x= ， 因为 f(0)= ， 所以 f(x)在0，1上的最大值为 )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
14、)解析：21.设 f(x)在区间0，1上可导，f(1)=2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 2 f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x 2 f(x)dx=c 2 f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1上可导，由罗尔中值定理，存在 (c，1) )解析：22.设 z=f(t 2 ，e 2t )二阶连续可偏导，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2tf 1 +2e 2t f 2 ， )解析：23.计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 t=1 一 ，则
15、 x=a(1 一 t) 2 ，dx=一 2a(1 一 t)dt， 于是 I= )解析：24.设是球面 x 2 +y 2 +z 2 =4(z0)的外侧，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充曲面 0 ：z=0(x 2 +y 2 4)取下侧，则 )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：26.设函数 f(x)以 2 为周期，且其在一 ，)上的表达式为 f(x)=x，求 f(x)的傅里叶级数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a 0 = 0 xdx=， )解析：27.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 t=0 = 0 ，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问 t 为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 (t)，阻力 F=ma 一 解此微分方程得 (t)= 0 e t ，由 0 e t = 得 t=ln3，从开始到 t=ln3 的时间内质点所经过的路程为 S= 0 ln3 0 e t dt= )解析：
