1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 235 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f (x 0 )=f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f (x 0 )是 f (x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(
2、x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点4.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1 一 x 2 )dx 等于( )（分数：2.00）A.B.C.2(1 一 x 2 ) 2 +CD.一 2(1 一 x 2 ) 2 +C5.f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.iB.一 iC.jD.一 j二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 x0 时，ln(cosax)一 2x b (a0)，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_7.设 y=y(x)满足：y= （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 L： (a0)在 t= （分数：2.00）填空项 1:_9. 0
3、 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.过点 A(3，2，1)且平行于直线 （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_12.设 S 为平面 x 一 2y+z=1 位于第四卦限的部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.f(x)为以 2 为周期的函数，当一 x 时，f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y 1 (x)，y 2 (x)为 y +P(x)y=Q(x)的特解，又 py 1 (x)+2qy 2 (x)为 y +P(x)y=0 的解，Py 1 (x)一 qy 2 (x)为 y +P(x)y=Q(x)的解，则 p= 1，q=
4、2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.当 x0 时，f(x)=x，设 g(x)= （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f (x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_22.设 z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f 1 (1，1)=a，f 2 (1，1
5、)=b，又 fx，f(x，x)，求 （分数：2.00）_23.求 I= cos(x+y)dxdy，其中 D=(x，y)0x ，0y （分数：2.00）_24.设 f(x，y，z)是连续函数，是平面 xy+z 一 1=0 在第四卦限部分的上侧，计算 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.求微分方程 xy +2y =e x 的通解（分数：2.00）_27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模
6、拟试卷 235 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 f(x)= =0，而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对； 即 存在只能保证 f(x)在x=0 处右可导，故(B)不对； 因为 ，所以 h0 时，h 一 tanh h 3 ， 于是 存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故(D
7、)不对； 3.设 f (x 0 )=f (x 0 )=0，f (x 0 )0，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f (x 0 )是 f (x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析：解析：因为 f (x 0 )0，所以存在 0，当 0x 一 x 0 时， 4.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1 一 x 2 )dx 等于( )（分数：2.00）A.B. C.2(1 一 x 2 ) 2 +CD.一 2(1 一 x 2 ) 2 +C解析：解析：xf(1 一 x 2 )dx= (1
8、 一 x 2 )d(1 一 x 2 )= 5.f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.i B.一 iC.jD.一 j解析：解析：由二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设 x0 时，ln(cosax)一 2x b (a0)，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2，b=2；）解析：解析：ln(cosax)=lnl+(cosax 一 1)cosax 一 1一 x 2 ， 则 7.设 y=y(x)满足：y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.曲线 L： (a0)在 t= （分数：2.00）填空项
9、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：解析：10.过点 A(3，2，1)且平行于直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或：x 一 2y 一 5z+6=0）解析：解析：直线 L 1 ，L 2 的方向向量为 s 1 =1，一 2，1，s 2 =2，1，0，所求平面的法向量为 n=s 1 s 2 =1，2，5，则所求平面为 ：一(x 一 3)+2(y 一 2)+5(z 一 1)=0，或 ：x 一 2y 一5z+6=011.曲线
10、L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：所求的曲面为：z=x 2 +y 2 ，所求的体积为 V= 1 2 dz dxdy= 1 2 zdz= 12.设 S 为平面 x 一 2y+z=1 位于第四卦限的部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：S：z=1x+2y，S 在 xOy 平面上的投影区域为 D xy =(x，y)0x1， y0 13.f(x)为以 2 为周期的函数，当一 x 时，f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kz)
11、，所以 S(11)=14.设 y 1 (x)，y 2 (x)为 y +P(x)y=Q(x)的特解，又 py 1 (x)+2qy 2 (x)为 y +P(x)y=0 的解，Py 1 (x)一 qy 2 (x)为 y +P(x)y=Q(x)的解，则 p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由一阶线性微分方程解的结构性质得 ，解得三、解答题(总题数：13，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：
12、(正确答案： )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f (x)= 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为 f (x)= ，当 x0 时，f (x)0；当 x0 时，f (x)0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=f(x)的拐点 因为 f(一 x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.当 x0 时，f(x)=x，设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(t)g(x 一 t)dt
13、x 0 f(x 一 )g()(一 d)= 0 x f(x 一 )g()d， (1)当 0x 时， 0 x f(t)g(xt)dt= 0 x (x 一 )sind=xsinx； (2)当x 时， 0 x f(t)g(xt)dt= 0 )解析：21.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f (x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f ( 1 )x，其中 0 1 x，f(x)一 f(2)=f ( 2 )(x 一 2)，其中 x 2 2，于是 )解析：22.设 z=f(x，y)在点(1，
14、1)处可微，f(1，1)=1，f 1 (1，1)=a，f 2 (1，1)=b，又 fx，f(x，x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =f 1 x，f(x，x)+f 2 x，f(x，x)f 1 (x，x)+f 2 (x，x)，得 )解析：23.求 I= cos(x+y)dxdy，其中 D=(x，y)0x ，0y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 x+y= 将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ， 其中 D 1 =(x，y)0x ，0y 一 x， D 2 =(x，y)0x ， )解析：24.设 f(x，y，z)是连续函数，是平面 xy+z 一 1=0 在第四卦限部分
15、的上侧，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：的法向量为 n=1，一 1，1，方向余弦为 ，根据两类曲面积分之间的关系有 F(x，y，z)+xdydz2f(x，y，z)+ydxdx+f(x，y，z)+zdxdy = f(x，y，z)+x一2f(x，y，z)+y+f(x，y，z)+zds = )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 n时， 收敛，所以级数 )解析：26.求微分方程 xy +2y =e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy +2y =e x 两边乘以 x 得 x 2 y +2xy =xe x ，即(x 2 y ) =xe
16、 x ， 积分得 x 2 y =(x 一 1)e x +C 1 ，即 y = 再积分得原方程通解为 y= )解析：27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 Yy= (Xx)(y 0) 令 Y=0，得 X=x+yy ，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 ， 由题意得 ，即 yy =1+y 2 令 y =p，则 y = ， 两边积分得 y= ，由 y(1)=1，y (1)=0得 C 1 =1，又 y 0，所以 y = ， 变量分离得 =dx，两边积分得 ln(y+ )=x+C 2 ，由 y(1)=1 得 C 2 =一 1， )解析：
