1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 254 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)可导，恒正，且 0axb 时恒有 f(x)xf(x)，则（分数：2.00）A.bf(a)af(b)B.abf(x)x 2 f(b)C.af(a)xf(x)D.abf(x)x 2 f(a)3.方程 y“2y+3y=e x sin( x)的特解的形式为 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 u(x，y)在 M 0 取极大值，且 则 （分数：2.00）A.B.C.D.二
2、、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 k 为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设级数 u n 的部分和 S n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 a0，f(x)在(，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_设 f(x)在
3、(，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：4.00）(1).试求 A 的值，使 F(x)在(，+)上连续；（分数：2.00）_(2).求 F(x)并讨论其连续性（分数：2.00）_13.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_（分数：8.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_(2).证明：x=0 是 f(x)的极大值点；（分数：2.00）_(3).令 x n =1n，考察 f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数；（分数：2.00）_(4).证明：对 （分数：2.00）_14.设有一弹性轻绳(即
4、绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 124 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?（分数：2.00）_15.若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）_16.设 x=1xf(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_17.求函数 u=xy+yz+zx 在 M 0 (2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_改变二重积分的累次积分的顺序（分数：4.00）(1).f(x，y)dy(t0)；
5、（分数：2.00）_(2).极坐标系下的累次积分 0 2 d （分数：2.00）_18.考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= 0 2 d （分数：2.00）_19.求一段均匀圆柱面 S：x 2 +y 2 =R 2 (0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为1（分数：2.00）_20.设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n+1)x 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n (I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ； ()求级数 （分数：2.00）_设 f(x)= （分数：4.00）(1).求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；（分数：
6、2.00）_(2). （分数：2.00）_21.设 f(x)=sinax，x，a0，将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 254 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)可导，恒正，且 0axb 时恒有 f(x)xf(x)，则（分数：2.00）A.bf(a)af(b)B.abf(x)x 2 f(b)C.af(a)xf(x) D.abf(x)x 2 f(a)解析：解析：(A)，(B)，(D)分别
7、改写为 因此要考 f(x)x 的单调性因为 (A)，(B)，(D)均不对选(C) 或由正值函数 f(x)x 在a，b单调上升 xf(x)=f(x)xx 2 在a，b单调上升 3.方程 y“2y+3y=e x sin( x)的特解的形式为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：关键是求特征根：由 2 2+3=0 非齐次项 f(x)=e x sinx，i=1 4.设 u(x，y)在 M 0 取极大值，且 则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0
8、) x=x 0 是 f(x)的极大值点 (若0，则 x=髫 x 0 是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x 0 ，y) y=y 0 是 g(y)的极大值点 g“(y 0 )=d 2 dy 2 u(x 0 ，y) 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)由于6.设 k 为常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k）解析：解析： 7.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）
9、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x1）解析：解析：与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因 y=lnx 上点(x 0 ，y 0 )=(x 0 ，lnx 0 )(x 0 0)处的切线方程是 y=lnx 0 + x+lnx 0 1，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 1x 0 =1 8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14(e 1 1)）解析：解析：用分部积分法由于 f(x)= (x 2 )=2x ，故 0 1 xf(x)d
10、x=12 0 1 f(x)dx 2 =12x 2 f(x)| 0 1 0 1 x 2 f(x)dx =14(e 1 1) 注*处由于 f(x)= 10.设级数 u n 的部分和 S n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16）解析：解析：因为 S= =12，所以级数 u n 收敛，那么由级数的基本性质有 (u n +u n+1 +u n+2 ) =S+(Su 1 )+(Su 1 u 2 )=3S2u 1 u 2 由于 u 1 =S 1 =1，u 2 =S 2 u 1 = 1=13，则 (u n +u n+1 +u n+2 )=3 三、解答题(总题数：15，分数：40.
11、00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 a0，f(x)在(，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I(a)=114a 2 a a f(t+a)f(ta)dt，由积分中值定理可得 I(a)=14a 2 f(+a)f(a)2a=12af(+a)f(a)， aa 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)=12af()2a=f()，a+a 于是 )解析：设 f(x)在(，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：4.00）(1).试求 A 的值，使 F(x)在(，+)上连续；（分数：2.00）
12、_正确答案：(正确答案：由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 )解析：(2).求 F(x)并讨论其连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时 F(x)= 0 x tf(t)dt+ xf(x)=1xf(x) 0 x tf(t)dt 在 x=0 处，由导数定义和洛必达法则可得 )解析：13.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(x 0 )= f(x)0，
13、则 x 0 (a，b)f(x 0 )=0，f“(x 0 )0 f“(x 0 )+g(x 0 )f(x 0 )f(x 0 )0 与已知条件矛盾同理，若 f(x 1 )= f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0 ( )解析：（分数：8.00）(1).求 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时按求导法则得 当 x=0 时按导数定义得 )解析：(2).证明：x=0 是 f(x)的极大值点；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)f(0)=x 2 (2+sin )解析：(3).令 x n =1n，考察 f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数；（分数：2.0
14、0）_正确答案：(正确答案：令 x n =1n(n=1，2，3，)，则 sin =(1) n ，于是 )解析：(4).证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 0，当 n 为 负奇数且|n|充分大时 x n (，0)，f(x 0 )0 f(x)在(，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 x n (0，)，f(x n )0 )解析：14.设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，已知此绳受1 克重量的外力作用时伸长 124 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?（分数：2.00）_正确答
15、案：(正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正 s=?时，移(速度)=0 ()受力分析 弹性恢复力 f=ks，由条件知 g=k124 k=24g f=24gs，g 为重力加速度 重力 mg=3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 初始条件：t=0 时 s(0)=0，dsdt| t=0 =0 v(s)| s=0 =0 ()求解初值问题 分离变量得 vdv=(g8gs)ds 12v 2 =gs4gs 2 +C 由 v(0)=0 )解析：15.若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）
16、_正确答案：(正确答案：记，=0，则面积 S=|=|sin 下求 ：由+=0 )解析：16.设 x=1xf(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知 方便， 由复合函数求导法则得 =f(xy)+(x+y)+y(x+y)， )解析：17.求函数 u=xy+yz+zx 在 M 0 (2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求
17、出所设方向的方向余弦设所求方向与各坐标轴的夹角为口，由方向余弦的性质得 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1 )解析：改变二重积分的累次积分的顺序（分数：4.00）(1).f(x，y)dy(t0)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 913 所示当 x0，t 2 时， t(t0)，于是 )解析：(2).极坐标系下的累次积分 0 2 d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系 Or 中画出 D的草图(如图 914) 当 04 时=12arcsinr 2 ； 当 42 时 022， r 2 =sin2=sin(2) 于是2=arcsinr 2 ，= arcsi
18、nr 2 因此原积分= 0 1 dr )解析：18.考虑柱坐标系下的三重累次积分 I= 0 2 d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()积分区域 ： ，(x，y)D xy ， 其中 D xy =(x，y)|x 2 +y 2 2于是 () 是由锥面 z= (球坐标方程为 =4)与上半球面 z= (球坐标方程是 =2)围成 的球坐标表示是：02，04，02，于是 I= 0 2 d 0 4 d 0 2 3 2 sind ()用球坐标最为方便 I=2 0 4 sind 0 2 3 2 d=2(cos)| 0 4 3 | 0 2 =8(2 )解析：19.求一段均匀圆柱面 S：x 2 +y 2
19、=R 2 (0zh)对原点处单位质点的引力假设该圆柱面的面密度为1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设引力 F=F x ，F y ，F z ，由对称性知，F x =0，F y =0因此只需求 F沿 z 轴的分量 F z 如图 934 ()在圆柱面上任一点(x，y，z)处取一小块曲面元 dS，记r=x，y，z，r=|r|= 则曲面元对原点处单位质点的引力 ，它沿 z 轴的分量为 dF z =kzr 3 dS ()圆柱面对原点单位质点的引力的 z 分量 ()计算曲面积分要投影到 yz 平面(或 zx 平面)来计算 圆柱面 S 在 yz 平面的投影区域为 D yz =(y，z)|0zh，
20、RyR，曲面 S 的方程为 x= ，曲面微元 dS= dydz，出，记 S 1 为前半圆柱面，于是 )解析：20.设有两条抛物线 y=nx 2 + 和 y=(n+1)x 2 + ，记它们交点的横坐标的绝对值为 a n (I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 S n ； ()求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 y=nx 2 + 又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称，所以 ()利用()的结果 )解析：设 f(x)= （分数：4.00）(1).求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数 S(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 b 2n =0，b 2n1 该傅氏级数的和函数 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 S(0)=0 )解析：21.设 f(x)=sinax，x，a0，将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数如果 a 不是自然数，则 b n =2 0 sinaxsinnxdx=1 0 cos(na)xcos(n+a)xdx )解析：
