1、考研数学三-235 及答案解析(总分：210.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 则 B 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2D.k25.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4
2、.00）_6.下列命题正确的是( )(A) 若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导(B) 若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 mn 矩阵，对 n 元非齐次线性方程组 Ax=b，下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=6 一定有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=6 有无穷多个解C.若 r()=m，则 AX=b 一定有唯一解D.若 AX=b 有两个线性无关解，则 AX=0 一定有非零解8.下列正确的是( )（分数：4.0
3、0）A.若函数可导，则其导函数一定为连续函数B.若函数只有有限个第一类间断点，则该函数一定存在原函数C.有第二类间断点的函数一定不存在原函数D.两个间断函数之积不一定为间断函数二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为连续函数，且 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 及 ey+z=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，Y 相互独立，且都
4、服从(-1，1)上的均匀分布，令 Z=maxX，Y，则 P0Z1=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：154.00)设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：22.00）(1).确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数；（分数：11.00）_(2).求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性（分数：11.00）_设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时，总收入函数为 R(q1，q 2)=（分数：22.00）(1).如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：11.00）_(2).若
5、排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：11.00）_15.设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x 满足不等式（分数：11.00）_16.设 f(x)为二阶连续可导，且 （分数：11.00）_17.设 二阶连续可导 （分数：11.00）_设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：22.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：11.00）_(2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化（分数：11.00）_设 1， 2， 1， 2为三维列向量组，且 1， 2与 1， 2都线性无关
6、（分数：22.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2和 1， 2线性表示；（分数：11.00）_(2).设 （分数：11.00）_设随机变量 X 的概率密度为对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令（分数：22.00）(1).求常数 a 及 PX10，X 21（分数：11.00）_18.设总体 X 的密度函数为（分数：11.00）_考研数学三-235 答案解析(总分：210.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设(X 1，X 2，X n)(n2)为标准正态总体 X 的简单随机样本，则( )（分数：4.00）A.B.C.
7、D. 解析：详解 *选(D)2.设 则 B 等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解*选(C)3.下列无穷小中阶数最高的是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *4.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点，则 k 的范围是( )（分数：4.00）A.|k|1B.|k|1C.|k|2 D.k2解析：详解 f(x)为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零f(x)=3(x 2-1)=0，得驻点 x=1，且由图形可知，x=-1 为极大点，x=1 为极小点故 f(-1)=2+k0*-2，f(1)=-2+k0*k
8、2，所以选(C)5.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4.00）_解析：详解 F Y(y)=PYy=Pmin(X，2)y=1-Pmin(X，2)y=1-PXy，2y=1-PXyP2y当 y2 时，F Y(y)=1；当 y2 时，F Y(y)=1-PXy=PXy6.下列命题正确的是( )(A) 若 f(x)在 x0处可导，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)可导(B) 若 f(x)在 x0处连续，则一定存在 0，在|x-x 0| 内 f(x)连续（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *对任意的 a0，因为*不存
9、在，所以 f(x)在 x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；*7.设 A 为 mn 矩阵，对 n 元非齐次线性方程组 Ax=b，下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=6 一定有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=6 有无穷多个解C.若 r()=m，则 AX=b 一定有唯一解D.若 AX=b 有两个线性无关解，则 AX=0 一定有非零解 解析：详解 方程组 AX=0 只有零解的充分必要条件是 r(A)=n，而方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 r(A)=r(*)-n，(A)不对；A
10、X=0 有非零解的充分必要条件是 r(A)n，而方程组 AX=b 有无穷个解的充分必要条件是 r(A)=r(*)n，(B)不对；若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解，但不一定有唯一解，(C)不对；若 AX=b 有两个线性无关解，则 r(A)=r(*)n，从而 r(A)n，于是方程组 AX=0 有非零解，选(D)8.下列正确的是( )（分数：4.00）A.若函数可导，则其导函数一定为连续函数B.若函数只有有限个第一类间断点，则该函数一定存在原函数C.有第二类间断点的函数一定不存在原函数D.两个间断函数之积不一定为间断函数 解析：详解 *因*不存在，所以 f(x)在 x=0 处不连续，(
11、A)、(C)不对；若第一类间断点存在原函数，显然其原函数在间断点处没有可导性，故存在第一类间断点的函数不存在原函数，(B)不对；令*显然 f(x)，g(x)处处间断，但 f(x)g(x)处处连续，选(D)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为连续函数，且 f(1)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *11.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 对差分方程 yx+1-ayx=kbx，当 ba 时，通解为*当 b=a 时，通解为 yx=
12、kxbx-1+Cax，于是*的通解为*12.设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 及 ey+z=e+lnz 确定为 x 的函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 令 x=0 得 y=0，z=1，将方程*及 ey+z=e+lnz 对 x 求导得*将 x=0,y=0，z=1 代入得*于是*13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由 ABAT=E+2BAT，得 ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因为 AT可逆，所以 AB=(AT)-1+2B 或 B=(A-2E)-1(AT)-1=AT(A-2E)-1，解得*14.设随机变量 X，
13、Y 相互独立，且都服从(-1，1)上的均匀分布，令 Z=maxX，Y，则 P0Z1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为 X，Y 都服从(-1，1)上的均匀分布，所以*三、解答题(总题数：9，分数：154.00)设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 （分数：22.00）(1).确定 a 的取值，使得 g(x)为连续函数；（分数：11.00）_正确答案：(*当 a=f(0)时，g(x)在 x=0 处连续)解析：(2).求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性（分数：11.00）_正确答案：(*所以 g(x)在 x=0 处连续)解析：设某工厂生产甲、乙两种产品
14、，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时，总收入函数为 R(q1，q 2)=（分数：22.00）(1).如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：11.00）_正确答案：(利润函数为*，得 q1=4，q 2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当 q1=4，q 2=3 时 L(q1，q 2)达到最大，最大值为 L(3，4)=40(万)解析：(2).若排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?（分数：11.00）_正确答案：(令 F(q1，q 2，)=L(q 1，q 2)+(q 1+2q2-6)，令*得
15、 q1=2，q 2=2，于是在 q1+2q2=6 下，当q1=2，q 2=2 时，L(q 1，q 2)取到最大值，最大值为 L(2，2)=28(万)解析：15.设 1abe，证明：函数 f(x)=xln2x 满足不等式（分数：11.00）_正确答案：(*由于 f(x)=ln2x+2lnx，f“(x)=*(1+lnx)0(xa1)，从而当 xa1 时，g(x)0，即当 xa1时 g(x)单调增加，再由 g(a)=0，则有 g(b)0，从而左端不等号得证*因此 h(x)为单调增加的函数，从而有 h(b)h(a)=0，即右端不等号得证)解析：16.设 f(x)为二阶连续可导，且 （分数：11.00）
16、_正确答案：(*)解析：17.设 二阶连续可导 （分数：11.00）_正确答案：(*)解析：设 A 是 n 阶矩阵，证明：（分数：22.00）(1).r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 阶非零列向量 ，使得 A= T；（分数：11.00）_正确答案：(若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即*于是*显然 ， 都不是零向量且 A= T；反之，若 A= T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r( T)r()=1，又因为 ， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1)解析：(2).r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相
17、似对角化（分数：11.00）_正确答案：(因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 ，使得 A= T，显然 tr(A)=(，)，因为 tr(A)0，所以(，)=k0令 AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2-k)X=0，注意到 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k因为 1+ 2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2= 3= n=0，由 r(0E-A)=r(A)=1，得 A 一定可以对角化)解析：设 1， 2， 1， 2为三维列向量组，且 1， 2与 1， 2都线性无关（分数：22.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1， 2和 1， 2线性表示；（分数：
18、11.00）_正确答案：(因为 1， 2， 1， 2线性相关，所以存在不全为零的常数 k1，k 2， 1， 2使得k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，或 k1 1+k2 2=- 1 1- 2 2令 =k 1 1+k2 2=- 1 1- 2 2，因为 1， 2与 1， 2都线性无关，所以 k1，k 2及 1， 2都不全为零，所以 0)解析：(2).设 （分数：11.00）_正确答案：(令 k1 1+k2 2+ 1 1+ 2 2=0，)解析：设随机变量 X 的概率密度为对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令（分数：22.00）(1).求常数 a 及 PX10，X 21（分数：11.00）_正确答案：(由*因为 X1，X 2相互独立，所以 PX10，X 21=PX 10PX 21，注意到 f(x)为偶函数，所以*于是*)解析：_解析：18.设总体 X 的密度函数为（分数：11.00）_正确答案：(E(X)=0，*)解析：
