1、考研数学三线性代数（行列式）-试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3维列向量，且行列式 1 ， 1 ，= 1 ， 2 ，= 2 ， 1 ，= 2 ， 2 ，=3，那么-2， 1 + 2 ， 1 +2 2 =( )（分数：2.00）A.-18B.-36C.64D.-963.设 2n阶行列式 D的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0B.a 2C.-a 2D.na 24.设
2、 A是 3阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，(i=1，2，3，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.85.4阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 2B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 )6.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0B.当 mn
3、，必有行列式AB=0C.当 nm，必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式AB=07.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4维列向量，且 4阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n8.设 A=n （分数：2.00）A.mB.-8mC.2mD.-2m9. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为 4维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（
4、分数：2.00）A.9B.6C.3D.1二、填空题(总题数：14，分数：28.00)10.设 3阶行列式 D 3 的第 2行元素分别为 1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则 D 3 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.如果 （分数：2.00）填空项 1:_12.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 3阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_16.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.行列式
5、 D= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A，B，C 都是行列式值为 2的 3阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_21.方程A= （分数：2.00）填空项 1:_22.在 xOy平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_23.已知 3阶矩阵 A的特征值为 1，2,3，则行列式A 3 -5A 2 +7A= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设 A= （分数：2.00）_26.证明：
6、（分数：2.00）_27.计算：D 2n = （分数：2.00）_28.设 A是 n阶可逆矩阵，且 A与 A -1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_考研数学三线性代数（行列式）-试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3维列向量，且行列式 1 ， 1 ，= 1 ， 2 ，= 2 ， 1 ，= 2 ， 2 ，=3，那么-2， 1 + 2 ， 1 +2 2 =( )（分数：2.00）A.-
7、18B.-36 C.64D.-96解析：解析：本题考查行列式的性质利用性质 1 ， 2 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 和k 1 ， 2 ， 3 =k 1 ， 2 ， 3 则有 -2，+，+2=-2，+2+-2，+2 =-2， 1 ， 1 +-2， 1 ，2 2 +-2， 2 ， 1 +-2， 2 ，2 2 =-2 1 ， 1 ，-4 1 ， 2 ，-2, 2 ， 1 ，-4 2 ， 2 ， =(-2-4-2-4)3=-123=-36 所以应选 B3.设 2n阶行列式 D的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=( )（分数：2.00）A.0 B.a 2C.-a
8、 2D.na 2解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n个为 a，n 个为-a，从而行列式的值为零所以应选 A4.设 A是 3阶矩阵，其中 a 11 0，A ij =a ij ，(i=1，2，3，j=1，2，3)，则2A T =( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析： =2 3 A T =8A，且由已知 故 A * =A T 又由 AA * =AA T =AE，两边取行列式，得 AA T =A 2 =AE=A 3 得 A 2 (A-
9、1)=0 又 a 11 0，则A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 = 5.4阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 -b 1 b 2 b 3 b 2B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 -b 1 b 2 )(a 3 a 4 -b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 -b 2 b 3 )(a 1 a 4 -b 1 b 4 ) 解析：解析：根据行列式的按 k行(列)展开法则，将此行列式第 2、3 行(列)展开，得 6.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 m
10、n，必有行列式AB0B.当 mn，必有行列式AB=0 C.当 nm，必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式AB=0解析：解析：因为 AB是 m阶方阵，且 r(AB)rainr(A)，r(B)minm，n， 所以当 mn 时，必有r(AB)m，从而AB=0，所以应选 B7.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4维列向量，且 4阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号
11、，得 3 ， 2 ， 1 ，( 1 + 2 )= 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 =- 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n-m 所以应选 C8.设 A=n （分数：2.00）A.mB.-8mC.2mD.-2m 解析：解析：方法一：9. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为 4维列向量，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B=( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A=1，B=2，则A+B=( )（分数：2.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析：方法一：由矩阵加法公式，得 A+B=( 1 + 3 ， 1 + 3 ， 3 + 2
12、 ， 1 + 2 )，结合行列式的性质有 A+B= 1 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2( 1 + 2 + 3 )， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ， 2 + 1 ， 3 + 2 ， 1 + 2 =2 1 + 2 + 3 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 2 =2 2 ，- 3 ，- 1 ， 1 + 2 =2 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 =2(A+B)=6 方法二： A+B=+，+，+，+= =，+= 二、填空题(总题数：14，分数：28.00)10.设 3阶行列式 D 3 的第 2行元素分别为 1、-2、3，对应的代数
13、余子式分别为-3、2、1，则 D 3 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：根据行列式的求解方法，行列式的值等于它的任一行(列)的元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 =a 21 A 21 +a 22 A 22 +a 23 A 23 =1(-3)+(-2)2+31=-411.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据代数余子式的定义可知 A 12 =(-1) 1+2 = =-(5x-4)=-1，因此可得 x=1 所以 A 21 =(-1) 2+1 12.如果 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
14、答案：正确答案：0）解析：解析：方法一：令 M= ，N=(4，5，6)因为 r(MN)r(M)1，即 r(A)1，又 AO，则 r(A)1，所以 r(A)=1，因此A=0 方法二：采用矩阵相乘的方法，13.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2(x 3 +y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列上14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：140）解析：解析：因为 A是一个对称矩阵，所以 A T =A= ，因此 15.已知 3阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某
15、一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即16.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-15）解析：解析：利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算对已知行列式作变换，则17.设 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2(n-2)!）解析：解析：运用行列式的性质把第 2行所有元素乘以一 1加到其他各行所对应的元素上，再将第 1行所有元素乘以 2加到第 2行相应的元素上，可得18.行列式 D= （分数：2.00）填空项 1:_
16、 （正确答案：正确答案：120）解析：解析：利用行列式的性质和范德蒙德公式将行列式第四行加到第一行上后，就可以提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即 原式19.已知 A，B，C 都是行列式值为 2的 3阶矩阵，则 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，得20.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6x 2）解析：解析：f(x+1)-f(x)=21.方程A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 3 ，-( 1 + 2 + 3 )）解析：解析：由观察
17、可知，x 1 =a 1 时，1、2 行对应元素相等，A=0；x 2 =a 2 时，2、3 行对应元素相等， A=0； 3 =a 3 时，3、4 行对应元素相等，A=0 又由行列式的每行元素和为 x+a 1 +a 2 +a 3 ，将 2、3、4 列各元素加到第 1列相应元素上去，且提取公因式， 得A=(x+a 1 +a 2 +a 3 ) 22.在 xOy平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 y= 与 x轴(即 y=0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y=23.已知 3阶矩阵 A的特征值为
18、 1，2,3，则行列式A 3 -5A 2 +7A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：令 为矩阵 A的特征值，则( 3 -5 2 +7)为(A 3 -5A 4 +7A)的特征值多项式令()= 3 -5 2 +7，由于 1，2，3 是 A的特征值，则 (1)=3，(2)=2，(3)=3 是 (A)的特征值， 故有 A 3 -5A 2 +7A=(A)=(1)(2)(3)=323=18三、解答题(总题数：5，分数：10.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
19、：方法一：数学归纳法 记 D n =A= ，以下用数学归纳法证明 D n =(n+1)a n 当 n=1时，D 1 =2a，结论成立 当 n=2时，D 2 = =3a 2 ，结论成立 假设结论对小于 n的情况成立，将 D n 按第一行展开，则有 D n =2aD n-1 - =2aD n-1 -a 2 D n-2 =2ana n-1 -a 2 (n-1)a n-2 =(n+1)a n ， 结论仍成立故A=(n+1)a n 得证 方法二：消元法 记 )解析：26.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明 )解析：27.计算：D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式 按照第一行展开，得 将以上两个行列式分别按照最后一行展开，得 由此得递推公式 D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n-2 按照递推公式逐层代入得 )解析：28.设 A是 n阶可逆矩阵，且 A与 A -1 的元素都是整数，证明：A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AA 1 =E，则AA -1 =1 因为 A的元素都是整数，所以A必是整数同理可得，A -1 亦必是整数 又由于两个整数A和A -1 相乘为 1，故A和A -1 只能同时取值为1)解析：
