1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 3 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g“(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在 x=a 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分也非必要3.函数 f(x)=(x 2 -x-2)x 3 -x的不可导点有（分数：2.00）A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个4.设 f(x+1)=af(x)总成立，f
2、“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(1)=aC.可导且 f“(1)=bD.可导且 f“(1)=ab二、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.设 f“(0)=1，且 f(0)=0，求极限 （分数：2.00）_7.已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0 ，又满足 （分数：2.00）_8.求下列函数的导数与微分： （分数：2.00）_9.设 y= ，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 （分数：2.00）_10.求下列隐函数的微分或导数：
3、()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设由方程 （分数：2.00）_11.设 f(x)= （分数：2.00）_12.设 g(x)= （分数：2.00）_13.设 f(x)在(-，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f“(0)若 （分数：2.00）_14.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：2.00）_15.设 y=ln(3+7x-6x 2 )，求 y (n) （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f“(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 ，x 2 0，1，有 （分数：2.00）_17.设 ae，0xy （分数：2
4、.00）_18.证明：当 x1 时，0lnx+ （分数：2.00）_19.求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_20.当 x(0，1)时 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f“(x)1(x(0，1)，求证： （分数：2.00）_22.设 p，q 是大于 1 的常数，且 （分数：2.00）_23.设 0x1，求证：x n (1-x) （分数：2.00）_24.设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1 x 2 b (I)若 x(a，b)时 f“(x)0，则 对任何 x(x 1 ，x 2 )
5、成立； ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 （分数：2.00）_25.证明：当 0x （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： （分数：2.00）_27.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 3 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在
6、 x=a 连续但不可导，又 g“(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在 x=a 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要 B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分也非必要解析：解析：因为 “(a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当 g(a)0 时，若 F(x)在x=a 可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)=0，按定义考察 即 F“(a)=g“(a)(a) ()再用反证法证明：若 F“(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，则由商的求导法则即知 (x)=3.函数 f(x)=(x 2 -x-2)x 3 -x的不可导点有（分数：2.00）A.3 个B.
7、2 个 C.1 个D.0 个解析：解析：函数x，x-1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x=-1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f(x)是否可导 方法 1 f(x)=(x 2 -x-2)xx-1x+1，只需考察 x=0，1，-1是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 -1，则 f(x)=g(x)x，g“(0)存在，g(0)0，(x)=x在 x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x=0 不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 +x，(x)=x-1，则 g“(1)存在，g(1)0，(x)在 x=1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(
8、x)在 x=1 不可导 考察 x=-1，令 g(x)=(x 2 -x-2)x 2 -x，(x)=x+1，则 g“(-1)存在，g(-1)=0，(x)在 x=-1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=-1 可导因此选(B) 方法 2 按定义考察 在 x=0 处 故 f“ + (0)f“ - (0)因此 f(x)在 x=0 不可导 在 x=0 处 故 f“ + (1)f“ - (1)因此 f(x)在 x=1不可导 4.设 f(x+1)=af(x)总成立，f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(1)=aC.可导
9、且 f“(1)=bD.可导且 f“(1)=ab 解析：解析：按定义考察二、解答题(总题数：23，分数：46.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.设 f“(0)=1，且 f(0)=0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 型极限，因为在题目中没有假设当 x0 时 f(x)可导，故不能使用洛必达法则求极限由导数定义可得 )解析：7.已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0 ，又满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：8.求下列函数的导数与微分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()这是求连
10、乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得 若只求 y“(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得 )解析：9.设 y= ，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由变限积分求导法先求得 ，最后由复合函数求导法得 )解析：10.求下列隐函数的微分或导数：()设 ysinx-cos(x-y)=0，求 dy；()设由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()方法 1 利用一阶微分形式不变性求得。 d(ysinx)-dcos(x-y)=0， 即 sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0， 整理得 sin
11、(x-y)-sinxdy=ycosx+sin(x-y)dx， 故 方法 2 先求 y“，再写出 dy=y“dx等式两端对 x 求导，注意 y=y(x)下略 方法 3 记 F(x，y)=ysinx-cos(x-y)，代公式得 ()方法 1 将原方程两边取对数，得等价方程 于是方程两边对x 求导并注意 y 是 x 的函数，即得 方法 2 将方程(*)两边求微分得 化简得 xdx+ydy=xdy-ydx，即 (x-y)dy=(x+y)dx， 由此解得 为求 y“，将 y“满足的方程(x-y)y“=x+y 两边再对 x 求导，即得 代入 y“表达式即得 )解析：11.设 f(x)= （分数：2.00）
12、_正确答案：(正确答案：()这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f“(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f“ - (0)=2； ()f“(x)也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f“(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f“ + (0)与 f“ - (0)同前可得 按定义求 f“ + (0)，则有 )解析：12.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若已求得 g“(x)，则由复合函数求导法得 fg(x)=f“g(x)g“(x)故只需求 g“(x) 当 x0 时，g“(x)= 当 x=0 时，按定义有 g
13、“(0)= )解析：13.设 f(x)在(-，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0 并存在 f“(0)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求 F“(x)当 x0 时，由求导法则易求 F“(x)，而 F“(0)需按定义计算然后讨论 F“(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F“(x)连续，当 x=0 时可按定义证型极限问题，可用洛必达法则 )解析：14.设 y=xcosx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：逐一求导，得 y“=cosx+x(cosx)“， y“=2(cosx)“+x(cosx)“， y“=y (3) =3(cosx)“+x(co
14、sx) (3) ，观察其规律得 y (n) =n(cosx) (n-1) +c(cosx) (n) (*) 用归纳法证明：当n=1 时(*)显然成立，设 n=k 时(*)式成立，得 y (k+1) =k(coosx) (k) +(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) =(k+1)(cosx) (k) +x(cosx) (k+1) ， 即 n=k+1 时成立，因此(*)式对任意自然数 n 成立 再用(cosx) (n) 的公式得 )解析：解析：逐一求导，求出 y“，y“，总结出规律，写出 y (n) 表达式，然后用归纳法证明15.设 y=ln(3+7x-6x 2 )，求 y (n)
15、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先分解 y=ln(3-2x)(1+3x)=ln(3-2x)+ln(1+3x) y (n) =ln(3-2x) (n) +ln(1+3x) (n) 然后利用ln(ax+b) (n) 的公式得 )解析：解析：利用对数函数性质将函数 y 分解为形如 ln(ax+b)的对数函数之和，再用ln(ax+b) (n) 的公式即可得结果16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f“(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 ，x 2 0，1，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x 1 )-f(x 2 )与 f“(x)的是拉格朗日中值
16、定理不妨设 0x 1 x 2 1分两种情形： 1)若 x 2 -x 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f(x 1 )-f(x 2 )=f“()(x 2 -x 1 )=f“()x 2 -x 1 2)若 x 2 -x 1 ，当 0x 1 x 2 1 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1 与 2 ，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1 )，(x 2 ，1)使得 f(x 2 )-f(x 2 )=f(x 1 )-f(0)-f(x 2 )-f(1) f(x 1 )-f(0)+f(1)-f(x 2 ) =f“()x 1 +f“()(1-x 2 ) x 1 +(1-x 2 )=1-(x 2 -
17、x 1 ) 当 x 1 =0 且 x 2 时，有 f(x 1 )-f(x 2 )=f(0)-f(x 2 )=f(1)-f(x 2 )=f“()(1-x 2 ) 当 x 1 且 x 2 =1 时，同样有 f(x 1 )-f(x 2 )=f(x 1 )-f(1)=f(x 1 )-f(0)=f“()(x 1 -0) 因此对于任何 x 1 ，x 2 0，1总有f(x 1 )-f(x 2 ) )解析：17.设 ae，0xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=a t ，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即存在满足0x y 的 ，使得 )解析：解析：把不等式改写成 1
18、8.证明：当 x1 时，0lnx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 x1 引入函数 f(x)= ，则 f(x)在1，+可导，且当 x1 时 从而f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时 f(x)f(1)=0，即 -20 令 g(x)= ，则g(x)在1，+)可导，且当 x1 时 故 g(x)在区间1，+)上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1时 g(x)g(1)=0，即 )解析：19.求证：当 x0 时，不等式(1+x)ln 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 f(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，
19、则有 f(0)=0， f“(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，f“(0)=0， 于是 f“(x)当 x0 时单调增加，又 f“(0)=0，所以当 x0 时 f“(x)f“(0)=0从而 f“(x)当 x0 时单调增加，又 f“(0)=0，故当 x0 时 f“(x)f“(0)=0因此 f(x)当x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证 (2)由(1)求得 f“(x)后，因为当 x0 时 ，所以 f“(x)与 x-In(1+x)同号由于 G(x)：x-ln(1+z)满足 G(0)=0，G“(x)= ，可见当 x0 时 G(x)0，于是
20、 f“(x)0由此可得 f“(x)在 x0 单调增加，又 f“(0)=0，于是f“(x)0( 0)所以 f(x)在 x0 单调增加，又 f(0)=0，故 f(x)0 当 x0 时成立，即戈 x 2 (1+x)ln 2 (1+x) (3)由(1)已求得 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0，f“(x)0(x0)，于是，将f(x)在 x=0 处展开为带拉格朗 13 余项的二阶泰勒公式，有 )解析：20.当 x(0，1)时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)= ，当 x0 时有 故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= ，g(x)在 x
21、=0 无定义，但 若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0，1上连续又g“(x)0，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x)g(0)，即 )解析：21.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f“(x)1(x(0，1)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 若能证明 F(x)0(x(0，1)即可这可用单调性方法 由题设知 f(x)在0，1单调上升，故 f(x)f(0)=0(x(0，1)，从而 F(x)与 g(x)= -f 2 (x)同号计算可得 g“(x)=2f(x)1-f“(x)0(x(0，1)，结合 g(x)在0，
22、1连续，于是 g(x)在0，1单调上升，故 g(x)g(0)=0(x(0，1)，也就有 F“(x)0(x(0，1)，即 F(x)在0,1单调上升，F(x)F(0)=0(x(0，1)因此 )解析：22.设 p，q 是大于 1 的常数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，则 f“(x)=x p-1 -1令 f“(x)=0，得唯一驻点 x=1因为 f“(x)=(p-1)x p-2 ，f“(1)=p-10，所以当 x=1 时 f(x)取极小值，即最小值从而当 x0 时，有 f(x)f(1)=0，即 )解析：解析：构造函数 f(x)=23.设 0x1，求证：x n (1-x)
23、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=nx n (1-x)，则 f“(x)=nnx n-1 (1-x)-x n =nx n-1 n(1-x)-x=nx n-1 n-(n+1)x 所以 f(x)在 x=x n 取到(0，1)上的最大值： )解析：24.设 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 ax 1 x 2 b (I)若 x(a，b)时 f“(x)0，则 对任何 x(x 1 ，x 2 )成立； ()若 x(a，b)时 f“(x)0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因()与()的证法类似，下面只证()把(217)式改写成下面的等价不等式，有 (x 2 -x)f(x
24、)-f(x 1 )(x-x 1 )f(x 2 )-f(x)， 由拉格朗日中值定理知 (x 2 -x)f(x)-f(x 1 )=(x 2 -x)(x-x 1 )f“( 1 )，x 1 1 1 ，(x-x 1 )f(x 2 )-f(x)=(x-x 1 )(x 2 -x)f“( 2 )，x 2 x 2 由 f“(x)0 知 f“(x)单调增加，故 f“( 1 )f“( 2 )，由此即知等价不等式成立，从而()成立 引进辅助函数 故 F(x)的图形在x 1 ，x 2 )解析：25.证明：当 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= )解析：解析：即证对 a 有函数恒等式27.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 无妨设 f(x 0 )= ，则 x 0 (a，b)且 f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，从而 f“(x 0 )+g(x 0 )f“(x 0 )-f(x 0 )0，与已知条件矛盾类似可得若 f(x 1 )= )解析：
