1、考研数学三（微积分）-试卷 39 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= （分数：2.00）A.B.C.D.43.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)与 f“ - (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续C.x(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导4.下列命题成
2、立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 5.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续6.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)可导，则下列正确的是(
3、) （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2
4、 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在，(一 1，1)内 f“(x)=x，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_12.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx 一 1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函
5、数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_18.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“(
6、a)f“一(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_21.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+6)f(a)+f(b)（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1 一 )x 2 f(x 1 )+(1 一 )f(x 2
7、)（分数：2.00）_23.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_24.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，2)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_26.证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2
8、.00）_27.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_28.设 0ab，证明： （分数：2.00）_29.求由方程 x 2 +y 3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_30.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)一 f(x)=0 在(0，1)内有根（分数：2.00）_31.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_32.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f“(0)=1，f“(x)
9、0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_33.设 f(x)=x 1 +x 2 +x n (x2) (1)证明方程 f(x)=1 有唯一的正根 x； (2)求 （分数：2.00）_34.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 39 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f“(2)= （分数：
10、2.00）A.B. C.D.4解析：解析：因为 g“(4)=3.设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f“ + (a)与 f“ - (a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处不连续B.f(x)在 x=a 处连续 C.x(x)在 x=a 处可导D.f(x)在 x=a 处连续可导解析：解析：因为 f“ + (a)存在，所以 4.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导
11、，在 x 0 处连续且 D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：解析：设 f(x)= 不存在，所以 f(x)在 x 处不连续，A 不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x 0 0，因为 f(x)在 x 0 处不连续，所以 f(x)在 x 0 处也不可导，B 不对； 5.f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解析：解析：6.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：7.设 f(x)可导，则
12、下列正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：8.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：9.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设
13、 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(0)=0，又因为 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f“(0)x+ +o(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 )， 于是 11.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在，(一 1，1)内 f“(x)=x，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(一 1，1)内 f
14、“(x)=x，12.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx 一 1=0 确定，求 dy x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2dx）解析：解析：当 x=0 时，y=1，将 ye xy +xcosx 一 1=0 两边对 x 求导得 15.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确
15、定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)在一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式； (2)证明：存在 1 ， 2 一 a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 存在，得 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0，则 f(x)的带拉格朗日余项的
16、麦克劳林公式为 f(x)= ，其中 介于 0 与 x 之间 (2)上式两边积分得 因为 f (1) (x)在一 a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) ()x 4 Mx 4 ， )解析：18.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且f (4) (x)M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f“(a)f“一(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(
17、axb)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f“ + +(a)0，f“ - (b)0， 由 f“+(a)0，存在 x 1 (a，b)，使得 f(x 1 )f(a)=0； 由 f“ - (b)0，存在 x 2 (a，b)，使得 f(x 2 )f(b)=0， 因为 f(x 1 )f(x 2 )0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在(a，b)，使得 f“()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.
18、设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+6)f(a)+f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：22.设 f(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，对任意的 x 1 ，x 2 a，b及 01，证明： fx 1 +(1 一 )x 2 f(x 1 )+(1 一 )f(x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =x 1 +(1 一 x)x 2 ，则 x 0 a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0
19、)+ (xx 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 1 )(xx 1 )， 于是 )解析：23.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：24.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，“(x)=e -x f“(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x (x0)解析：25.
20、设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，2)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明： f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f“(x)0，所以 f(z)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 )解析：26.证明：当 x0 时，(x 2 一
21、 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 2 一 1)lnx 一(x 一 1) 2 ，(1)=0 )解析：27.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求由方程 x 2 +y 3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f(1)=f“(1)=0证明：方程 f“(x)一 f(x)=0 在(
22、0，1)内有根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)+f“(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在c(0，1)使得 “(c)=0， 而 “(x)=e -x f“(x)一 f(x)且 e -x 0，所以方程 f“(c)一 f(c)=0 在(0，1)内有根)解析：31.设 f(x)=3x 2 +Ax -3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)20?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)20 等价于 A20x 3 一 3x 5 ， 令 (x)=20x 3 一 3x 5 ，由 “(x)一 60x 2 一 15x 4 =0，得
23、 x=2， “(x)=120x 一 60x 3 ，因为 “(2)=一 2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20)解析：32.设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f“(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，当 x0 时，f“(x)f“(0)=1 当 x0 时，f(x)一 f(0)=f“()x，从而 f(x)f(0)+x，因为 由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=一 20，)解析：33
24、.设 f(x)=x 1 +x 2 +x n (x2) (1)证明方程 f(x)=1 有唯一的正根 x； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f n (x)一 1，因为 n (0)=一 10，(1)=n 一 10，所以 n (x)在(01) (0，+)内有一个零点，即方程 f n (x)=1 在(0，+)内有一个根 因为 “ n (x)=1+2x+nx n-1 0，所以 n (x)在(0，+)内单调增加，所以 n (x) 在(0，+)内的零点唯一，所以方程 f n (x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 x n (2)由 f n (x n )一 f n+1
25、(x n+1 )=0，得 (x n 一 x n+1 )+(x n n 一 x n+1 n )+(x n n 一 x n+1 n )=x n+1 n+1 0，从而 x n x n+1 ，所以x n n=1 单调减少，又 x n 0(n=1，2，)，故 ，显然 Ax n x 1 =1，由 x n +x n n +x n n =1，得 )解析：34.设 a0，讨论方程 ae x =x 2 根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ae x =x n 等价于 x n e -x 一 a=0 令 f(x)=x n e -x 一 a，由 f“(x)一(2xx n )e -x =0 得 x=0，x=2 当 x0 时，f“(x)0；当 0x2 时，f“(x)0；当 x2 时，f“(x)0， 于是x=0 为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极大值为 )解析：
