1、考研数学三（微积分）模拟试卷 129 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：54.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求函数 y= （分数：2.00）_3.作函数 y=x+ （分数：2.00）_4.设 f(x)在(a，b)内可导，且 又 f(x 0 )0(0)， f(x)0(0)(如图 212)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_5.求证：方程 lnx= （分数：2.00）_6.就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_7.讨论曲线
2、y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_8.某商品的需求价格弹性为E p ，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性（分数：2.00）_9.设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为 p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p 1 时价格的变动对总收益的影响（分数：2.00）_10.设 f(x)在(a，b)可导，且 （分数：2.00）_11.设 f(x)在a，b可导，且 f + (a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使 f()=0（分数：2.00）_12.设
3、f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得F“(c)=0（分数：2.00）_13.设 f(x)在0，1上连续，且满足 0 1 f(x)dx=0， 0 1 xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点（分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得 f“()= （分数：2.00）_15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0求证：仔在 ，(a，b)便 f()=f() （分数：2.00）_16.设 a0，求 f(x)= （
4、分数：2.00）_17.求函数 f(x)= （分数：2.00）_18.在椭圆 （分数：2.00）_19.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ （分数：2.00）_20.设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=abQ，C= Q 3 一 7Q 2 +100Q+50， 其中常数a0，b0 待定已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p =一 （分数：2.00）_21.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx) (x 3 )（分数：2.00）_22.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格
5、朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_23.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_24.设x1，由拉格朗日中值定理，存在 (0，1)，使 arcsinx= （分数：2.00）_25.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () （分数：2.00）_26.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+)时 f(x)M 0 ， f“(x)M 3 ， 其中 M 0 ，M 3 为非负常数，求证 f“(x)在(0，+)上有界（分数：2.00）_27.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在
6、 (0，1)使f“()4（分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 129 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：27，分数：54.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y= 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y“和它们的零点及不存在的点 由 y=0 得 x=1；x= 时 y“不存在；无 y“=0 的点 现列下表： 因此得 y= 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是(0， ，0)是拐点 最后求渐近线
7、因 y= =0，所以无垂直渐近线由于 )解析：3.作函数 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数 2求 y，y“和它们的零点 由 y=0 得三个驻点 x=0，x= ，由 y“=0 得 x=0，用这些点及间断点 x=1 把函数的定义域分成六个区间(一，一 ，+) 由此可列出函数如下分段变化表： 3求渐近线有两个间断点 x=1，由 x=1 为垂直渐近线又 即 y=x 是斜渐近线，无水平渐近线 综上所述，作函数图形在 x0 部分如图 211(由于奇函数图形关于原点对称，所以只作右半平面的图形，列表也可以只列右半部分) )解析：4.
8、设 f(x)在(a，b)内可导，且 又 f(x 0 )0(0)， f(x)0(0)(如图 212)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 1 (a，x 0 )使 f(x 1 )0，x 2 (x 0 ，b)使 f(x 2 )0，又f(x 0 )0，则 f(x)在(x 1 ，x 0 )与(x 0 ，x 2 )内各至少存在一个零点 因 f(x)0( x(a，x 0 )，从而 f(x)在(a，x 0 )单调增加；f(x)0( )解析：5.求证：方程 lnx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)=lnx 一 在(0，+)只有两个零
9、点先考察它的单调性： 由于 f(x)在(0，e)与(e，+)分别单调上升与下降，3f(e)= 0，故只需证明： x 2 (e，+)使 f(x 2 )0因 则 )解析：6.就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=lnxx a ，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求f(z)的单调区间 则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx 0 时，f(x)单调下降；当 x=x 0 时，f(x)取最大值 f(x 0 )= (1+lna)从而 f(x)在(0，+)有几个零点，取决于 y=f(x)属于图 2
10、13中的哪种情形 万程 f(x)=0 的买根个数有下列三种情形： ()当 f(x 0 )=一 x(0，+)，故 f(x)=0 没有根 ()当 f(x 0 )=一 时，由于 x(0，+)，当 xx 0 =e e 时，f(x)0，故f(x)=0 只有一个根，即 x=x 0 =e e ()当 f(x 0 )=一 时，因为 )解析：7.讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln 2 x+k 在(0，+)内的交点个数(其中 k 为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x+ln 2 x+k 一 2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数由 f(x)=
11、2+ (x+lnx 一 1)， 令 f(x)=0，可解得唯一驻点 x 0 =1(0，+) 当 0x1 时 f(x)0，f(x)在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)最小值因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关 当 f(1)0 即 k一 2 时，f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0 即 k=一 2 时，f(x)在(0，+)内只有一个零点 x 0 =1 当 f(1)0 即 k一 2 时，需进一步考察 f(x)在 x0 + 与 x+的极限： 由连续函数的零点定理可得，
12、)解析：8.某商品的需求价格弹性为E p ，某人的收入为 M，全部用于购买该商品，求他的需求收入弹性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当某人的收入 M 全部用于购买该商品时，M=pQ由需求收入弹性 E M 的定义知道 E M = 在 M=pQ 时，两边求微分可得 dM=pdQ+Qdp因此 )解析：解析：设 Q 为需求量，则E p =一 9.设某厂商生产某种产品，其产量与人们对该产品的需求量 Q 相同，其价格为 p试利用边际收益与需求价格弹性之间的关系解释：当E p 1 时价格的变动对总收益的影响（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设总收益为 R，则 R=pQ，边际收益 )解析：
13、解析：设收益为 R，利用关系 R=pQ 就可以找出边际收益 MR= 与需求价格弹性E p =一 10.设 f(x)在(a，b)可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 g(x)= )解析：解析：这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续思路是利用 f(x)在 a 和 b 单侧极限存在，补充定义 f(x)在 a 和 b 两点的函数值就可转化为闭区间的情形11.设 f(x)在a，b可导，且 f + (a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使
14、得 a+b 一 ，且 于是 f(a+)f(a)，(b 一 )f(b) 这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在(a，b)使得 f()= )解析：解析：因 f(x)在a，b上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f + (0)0 且 f (b)012.设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得F“(c)=0（分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1可导，故存在 1 (0，1)使得 F( 1 )=0又 F(x)=x 2 f(x)+2xf(x)， 于是由 F(0)=0，F( 1 )=0 及 F(x)在0，1可导知，存在 2 (0， 1 )使得 F“( 2 )=0又因 F“(x)=x 2 f“(x)+4xf(x)+2f(x)， 于是由 F“(0)=F“( 2 )=0 及F“(x)在0，1可导知，存在 c(0， 2 ) )解析：13.设 f(x)在0，1上连续，且满足 0 1 f(x)dx=0， 0 1 xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点（分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，G(x)= 0 x F(s)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)= 0 1 F(s)ds F(s) 0 1 一 0 x sdF(s) =F(1)一 0 1 sf(s)ds=00=0， 对 G(X)在0，1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c，1对 F(x)用罗尔定理知， )解析：解析：为证 f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)= 0 x f(t)dt 在0，1区间
17、上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察 F(x)的原函数 G(x)= 0 x F(s)ds，证明 G(x)的导数在(0，1)内存在零点14.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证：存在 (0，1)使得 f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导 由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1上利用罗尔定理得，f()=0，即 f“()= )解析：解析：即证 f“(x)一15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)
18、内可导，又 ba0求证：仔在 ，(a，b)便 f()=f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 g(x)=lnx，由柯西中值定理知，存在 (a，b)使得 由托格朗日中值定理知，存在 (a，b)使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，代入即得 )解析：解析：把要证的结论改写成16.设 a0，求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用x= ，可得函数 f(x)的分段表达式 从而函数 f(x)在(一，+)上连续，且分别在(一，0)，(0，a)，(a，+)三个区间内可导，其导函数是 由此得x(一，0)时 f(x)0，故 f(x)在(一，0单调增加；x(a，+)
19、时 f(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(一，+)上的最大值 当 x(0，a)时，由由于 =f(0)=f(a)，因此 f(x)在0，a即在(一，+)上的最大值是 由于 f(x)在(一，0)上单调增加，在(a，+)上单调减少，又 f(x)在0，a上的最小值 )解析：17.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 从而 f(x)的最大值是 f(*)= 0 2 (2t)e t dt=一 0 2 (2t)de t =(t2)e t 0 2 0 2 e t dt
20、 =2+e t 0 2 =1+e 2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f(x)的大小由于 )解析：解析：f(x)的定义域是(一，+)，由于它是偶函数，故只需考虑 x0，+)求 f(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需求极限值18.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过椭圆上任意点(x 0 ，y 0 )的切线的斜率 y(x 0 )满足 分别令 y=0 与x=0，得 x，y 轴上的截距：x= 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 214)为 问题是求：S(x)= ，将其代入 S(x)中， 问题可进一步化为求函数 f(x)=
21、x 2 (a 2 一 x 2 )在闭区间0，a上的最大值点 由 f(x)=2x(a 2 一 2x 2 )=0(x(0，a)得 a 2 一 2x 2 =0，x=x 0 = 注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0 )0，故 x 0 = )解析：19.已知某厂生产 x 件产品的成本为 C(x)=25000+200x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()生产 x 件产品的平均成本 (x0)， 因 在(0，+)中仅有唯一零点 x=1000，又因 (x)在其唯一驻点 x=1000 处取得最小值即应生产 1000 件产品才可使平均成本最小 ()若该产品以每件 500 元的价格售出，则生产 x
22、件产品可获利润(单位：元) L(x)=500x(25000+200x+ x 2 ，(x0) 由边际利润 ML=L(x)=300 一 )解析：20.设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=abQ，C= Q 3 一 7Q 2 +100Q+50， 其中常数a0，b0 待定已知当边际收益 MR=67，且需求价格弹性 E p =一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总利润函数 L(Q)=R 一 C=QARC=一 Q 3 +(7 一 b)Q 2 +(a 一 100)Q 一50，从而使总利润最大的产量 Q 及相应的 a，b 应满足 L(Q)=0，MR=67 及 E p =一 ，即 由此得到两组可能的
23、解：a=111，b= ，Q=3 与 a=111，b=2，Q=11 把第一组数据中的 a，b 代入得总利润函数 L=一 Q 2 +11Q 一 50， 虽然 L(3)=0，L“(3)0，即 L(3)确实是 L(x)的最大值，但 L(3)0，不符合实际，故应舍去 把第二组数据中的 a，b 代入得总利润函数 L=一 Q 3 +5Q 2 +11Q一 50， 也有 L(11)=0，L“(11)0，即 L(11)=232 )解析：解析：平均收益函数 AR=a 一 bQ 其实就是价格 P 与销售量 Q 的关系式，由此可得总收益函数 R=QAR=aQ 一 bQ 2 ， 需求函数(它是 P=a 一 bQ 的反函数
24、)Q= (a 一 P)，进而可得需求价格弹性 21.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx) (x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：由已知的泰勒公式，通过适当运算即可求得22.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：通过求 f(0)，f(0)，f (n) (0)及 f (n+1) (x)而得23.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用 e t ，ln
25、(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0展开由于 再求分子的泰勒公式由 x 2 e 2x =x 2 1+(2x)+o(x)=x 2 +2x 3 +o(x 3 )，ln(1 一x 2 )=x 2 +o(x 3 )， 可得 x 2 e 2x +ln(1 一 x 2 )=2x 3 +o(x 3 ) )解析：24.设x1，由拉格朗日中值定理，存在 (0，1)，使 arcsinx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林公式，有 )解析：解析：先利用带皮亚诺余项的泰勒公式解出 (x)，然后再求极限25.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷
26、小阶数： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+)时 f(x)M 0 ， f“(x)M 3 ， 其中 M 0 ，M 3 为非负常数，求证 f“(x)在(0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 )解析：27.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)使f“()4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 两式相减消去未知的函数值 f( )解析：
