1、考研数学三（微积分）模拟试卷 130 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数是（分数：2.00）A.1+sinxB.1 一 sinxC.1+cosxD.1 一 cosx3.函数 F(x)= 0 x+2 (t)dt，其中 f(t)= （分数：2.00）A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是常数4.下列反常积分中收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列反常积分其结论不正确的是 （分数：2.
2、00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.设 f(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 F(x)是 f(x)=xcosx 的一个原函数，且 0 F(x)dx=2，则 F(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：58.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.求下列不定积分： （分数：2.00）_11.设函数 f(x)= （分数：2.00）_12.求下列不定积分：
3、 （分数：2.00）_13.求下列不定积分： （分数：2.00）_14.计算下列不定积分： （分数：2.00）_15.求下列不定积分： （分数：2.00）_16.计算下列不定积分： （分数：2.00）_17.求下列不定积分： ()arctanxdx； ()sin 2 xdx； ()sin （分数：2.00）_18.求下列不定积分： （分数：2.00）_19.求 I n = （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_21.求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续 ()F(x)= 2x ln(x+1) （分数：2.00）_22.以下计
4、算是否正确?为什么? （分数：2.00）_23.n 为自然数，证明： 0 2 cos n xdx= 0 2 sin n xdx= （分数：2.00）_24.计算下列定积分： （分数：2.00）_25.求 G(x)= 0 x f(t)g(x 一 t)dt，其中 f(x)=x(x0)，g(x)= （分数：2.00）_26.计算定积分 I= （分数：2.00）_27.求 （分数：2.00）_28.计算定积分 0 e1 (x+1)ln 2 (x+1)dx（分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上有连续的导函数，且 f(b)=0，当 xa，b时f(x)M，证明： a b f(x)dx （分数：2.
5、00）_30.设 f(x)，g(x)均为0，T上的连续可微函数，且 f(0)=0，证明： () 0 T f(x)g(x)dx= 0 T f(t) t T g(x)dxdx； () 0 T f(c)dt= 0 T f(t)(T 一 t)dt（分数：2.00）_31.求 I n = （分数：2.00）_32.求下列定积分： () I= 0 2 （分数：2.00）_33.()设 f(x)连续，证明： 0 xf(sinx)dx= f(sinx)dx； ()求 I= （分数：2.00）_34.计算下列反常积分的值： （分数：2.00）_35.设直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 一 6y=0 分成
6、两部分，求椭圆在该直线下方部分的面积（分数：2.00）_36.设 D 1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域；D 2 是由曲线 y= 和直线 y=a及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1 ()试求 D 1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V 1 ；D 2 绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V 2 (如图 38)； ()问当 a 为何值时，V 1 +V 2 取得最小值?试求此最小值 （分数：2.00）_37.设两曲线 y= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 130 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00
7、)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数是（分数：2.00）A.1+sinxB.1 一 sinx C.1+cosxD.1 一 cosx解析：解析：由题设可知 f(x)=sinx，从而 f(x)=sinxdx=一 cosx+C 1 ，于是 f(x)的全体原函数为 f(x)dx=一 sinx+C 1 x+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 取 C 1 =0，C 2 =1，即得 1 一 sinx 是 f(x)的一个原函数故应选(B)3.函数 F(x)= 0 x+2 (t)dt，其
8、中 f(t)= （分数：2.00）A.为正数B.为负数 C.恒为零D.不是常数解析：解析：由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)= 0 2 f(t)dt=2 0 f(t)dt，即 F(x)为常数由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 4.下列反常积分中收敛的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：记 I=5.下列反常积分其结论不正确的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 故(A)正确 对于(B)：由分部积分有二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.设 f(cos 2 x)=sin 2 x
9、，且 f(0)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 ）解析：解析：令 u=cos 2 x，则由题设有 f(u)=1 一 u，于是 f(u)=u 一 x 2 +C，令 x=0，则 0=f(0)=C，所以 f(x)=x 一 7.已知 F(x)是 f(x)=xcosx 的一个原函数，且 0 F(x)dx=2，则 F(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xsinx+cosx+1）解析：解析：由题设及原函数存在定理可知f(x)dx=F(x)= 0 x tcostdt+C 0 ，其中 C 0 为某常数，从而 F(x)= 0 x
10、 td(sint)+C 0 =tsint 0 x 一 0 x sintdt+C 0 =xsinx+cosx+C 0 一 1 又 0 F(x)dx= 0 xsinxdx+ 0 cosxdx+(C 0 一 1)=C 0 一 =2，解得 C 0 =2，于是 F(x)=xsinx+cosx+18.设 f(x)在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4A）解析：解析：(cosx)在(一，+)连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得 I=2 0 2 f(cos)dx= 三、解答题(总题数：29，分数：58.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程
11、或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =tanx 一 cotx+C ()tan 2 xdx=(sec 2 x 一 1)dx=sec 2 xdx 一dx=tanx 一 x+C )解析：11.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据牛顿一莱布尼兹公式，当 0x1 时，有 )解析：12.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 再利用上面的直角三角形示意图，则有 其中 C 1 =Clna ()被积函数的定义域
12、是x，即 xa 或 x一 a当 xa 时，令 x=asect，于是 0t ，且 dx=asecttantdt，则 其中 C 1 =Clna 当 x一 a 时，令 x=一 u，于是 ua，且 )解析：14.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt，且 t=arctanx于是 原式= sec 2 tdt=e 2t costdt=e 2t sint 一 2e 2t sintdt =e 2t sint+2e 2t cost 一 4e 2t costdt )解析：15.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
13、)被积函数中含有两个根式 =t，即 x=t 6 ，则 ()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，但也能通过变量替换将根式去掉令 =t，即 x=ln(t 2 1)，从而 )解析：16.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求下列不定积分： ()arctanxdx； ()sin 2 xdx； ()sin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 为了计算xcos2xdx，要用分部积分法，有 ()令 =t，则 x=t 3 ，dx=3t 2 dt于是 原式=sint3t 2 dt=一 3t 2 dcost=一 3t 2 cost+3cost2
14、tdt =一 3t 2 cost+6tdsint=一 3t 2 cost+6tsint 一 6sintdt =一 3t 2 cost+6tsint+6cost+C=一 3 )解析：18.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 I n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 f(c)= a b f(x)dx 这就说明 f(c)=f(b)，从而根据假设可
15、得：f(x)在c，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知在(c，b)内至少存在一点 使得 f()=0，其中 (c，b) )解析：21.求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续 ()F(x)= 2x ln(x+1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式(38)可得 ()令 g(t)= 0 t f(u)du，注意 g(t)是 t 的可导函数，则 F(x)= 1 x g(t)dt，F(x)=g(x)，F“(x)=g(x)= )解析：22.以下计算是否正确?为什么? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用牛顿一莱布
16、尼兹公式计算定积分 a b f(x)dx 必须满足两个条件：其一是f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数 ()不正确因为 在一2，2上的原函数 ()正确由于 f(x)在一 2，1上只有一个第一类间断点 x=0，且是有界函数，因此 f(x)在一 2，1上可积，从而利用定积分的性质可知题中的计算过程正确 ()不正确因为 (x0)，可知积分应是负值事实上 由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 arctan 在 x=0 不连续，且 x=0 不是 arctan 在区间一 1，1上的一个原函数，故不能直接在一 1，1上应用牛顿一莱布尼兹公式这时正确的做法
17、是把一 1，1分为一 1，0与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算： )解析：23.n 为自然数，证明： 0 2 cos n xdx= 0 2 sin n xdx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算下列定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()由于函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x 一 1 后，有 0 2 f(x1)dx= 1 1 f(t)dt= 1 0 )解析：25.求 G(x)= 0 x f(t)g(x 一 t)dt，其中 f(x)=x(x0)，g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 t=u，于是
18、 t=xu，且当 t 从 0 变到 x 对应于 u 从 x 变到 0，dt=一 du，故可得 G(x)= 0 x f(t)g(xt)dt= 0 x f(x 一 u)g(u)(一 du)= 0 x g(u)f(x 一 u)du = 0 x g(t)f(x一 t)dt 又由题设知 f(x 一 t)=x 一 t(tx)，注意到积分变量 t 总不会大于 x，因而 当 0x 时， G(x)= 0 x g(t)f(xt)dt= 0 x sint(xt)dt=一 0 x (xt)d(cost)=xsinx 当x 时， G(x)= 0 x g(t)f(x 一 t)dt= (x 一 t)dt=x1 综合得 G(
19、x)= )解析：解析：本题的特点是积分中含有参数 x，且它的取值范围是0，+)，由于当参数 x 在不同区上取值时被积函数有不同表达式，从而需要分段积分26.计算定积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间0，上按如下方式用牛顿一莱布尼兹公式是错误的即 因而不能在0，上对积分，应用牛顿一莱布尼兹公式但可按如下方法计算： )解析：27.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作代换 x=asect，当 t 由 0 变到 时对应于 x 由 a 变到 2a，所以 )解析：28.计算定积分 0 e1 (x+1)ln 2 (x+1)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
20、解析：29.设 f(x)在a，b上有连续的导函数，且 f(b)=0，当 xa，b时f(x)M，证明： a b f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 a b f(x)d(x 一 a)利用分部积分公式由于 a b f(x)dx= a b f(x)d(xa)=(xa)f(x) a b a b (xa)f(x)dx =一 a b (x 一 a)f(x)dx， 因此 a b f(x)dx= a b (x 一 a)f(x)dxM a b (x 一 a)dx= )解析：30.设 f(x)，g(x)均为0，T上的连续可微函数，且 f(0)=0，证明： () 0 T f(x)g(x)dx=
21、 0 T f(t) t T g(x)dxdx； () 0 T f(c)dt= 0 T f(t)(T 一 t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 g(x)连续，所以 T t g(x)dx 关于 t 可导，则利用凑微分及分部积分法有 0 T f(x)g(x)dx= 0 T f(x)d t x g(t)dt=f(x) T x g(t)dt 0 T 一 0 T T x g(t)dtf(x)dx 由 f(0)=0 知，上述第二个等号后的第一项为零，于是 0 T f(x)g(x)dx=一 0 T f(x) T x g(t)dtdx= 0 T f(t) t T g(x)dxdt ()因
22、f(0)=0，由分部积分法有 0 T f(t)dt= 0 T f(t)d(t 一 T)=f(t)(t 一 T) 0 T 一 0 T (t 一 T)f(t)dt = 0 T f(t)(Tt)dt)解析：31.求 I n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 于是当 n2 时得递推公式 I n = I n2 (312) 应用这一递推公式，当 n 为偶数时，就有 )解析：32.求下列定积分： () I= 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.()设 f(x)连续，证明： 0 xf(sinx)dx= f(sinx)dx； ()求 I= （分数：2.00）_正确
23、答案：(正确答案：()令 g(x)=xf*sinx)，则 g(x)在0，上连续，注意到 sin(x)=sinx，于是 g( 一 x)=(x)fsin(x)=( 一 x)f(sinx)，由(*)式可得 ()由于 1+cos 2 x=2sin 2 x，从而可用()的结果，即 )解析：解析：在定积分 0 a f(x)dx 中作换元，令 t=a 一 x 可得 x：0a 对应 t：a0，且 dx=一 dt，于是 0 a f(x)dx=一 a 0 f(a 一 t)dt= 0 a f(a 一 t)dt= 0 a f(ax)dx， 从而有 0 a f(c)dc= 34.计算下列反常积分的值： （分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案： ()由于 x 2 一 2x=(x 一 1) 2 1，为去掉被积函数中的根号，可令 x 一1=sect这样就有 ()采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有 ()由于 4x 一 x 2 =4 一(x 一 2) 2 ，令 x 一 2=t，可得 )解析：35.设直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 一 6y=0 分成两部分，求椭圆在该直线下方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求图形(如图 35)的面积为 )解析：解析：如图 35，直线 y=x 与椭圆 x 2 +3y 2 一 6y=0 的交点坐标为 O(0，0)，A( )选用 y
25、为积分变量更恰当，这时两曲线方程分别为 x=y 与 x= 36.设 D 1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域；D 2 是由曲线 y= 和直线 y=a及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1 ()试求 D 1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V 1 ；D 2 绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V 2 (如图 38)； ()问当 a 为何值时，V 1 +V 2 取得最小值?试求此最小值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 1 与 D 2 可分别表示为 在 D 1 中对应横坐标为 xx+dx 的小窄条绕x 轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为 a，外半径为 ，厚度为 dx，故其体积为 dV=(1一 x 2 a 2 )dx，从而 在 D 2 中对应横坐标为 xx+dx 的小窄条绕 y 轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为 x，高度为 a 一 ，从而 )解析：37.设两曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 39，先求 a 值与切点坐标： y 1 = 由两曲线在(x 0 ，y 0 )处有公切线得 解得 x 0 =e 2 ，a=e 1 我们所求的旋转体体积 V 等于曲线 y= 分别与 x 轴及直线 x=e 2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即 )解析：
