1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 47 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=03.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（
2、分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1)5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=minX，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)=11F X (z)1F
3、Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)6.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X+Y 服从一维正态分布7.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.D.18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设一次试验成
4、功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_12.(1)设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 根据切比雪夫不等式，有PXY3 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立，且 X i (i)(i=1，2，10)， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤。_14.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05， （分数：2.00）_15.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_（分数：2.00）_16.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_17.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分数：2.00）_设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故
6、障之间时间间隔 T 的概率分布；（分数：2.00）_(2).求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_18.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_19.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 P(maxX，Y0)及 P(minX，Y0)（分数：2.00）_n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除
7、去；（分数：2.00）_(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_21.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_22.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从
8、N(0，1)，Y i =X i （分数：6.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_(3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：2.00）_23.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_24.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_25.设总体 XN(， 1 2 )，YN(
9、， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 （分数：2.00）_26.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 47 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，
10、则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)=0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选 D3.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立 B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC
11、 相互独立D.A+B 与 A+C 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为 A4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(x)C.1F(x)D.F(2x1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减； (3)(x)右连续；(4)()=0，(+)=1 显然只有 F(2x1)满足条件，选 D5.设随机变量 X
12、，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=minX，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Z (z)=11F X (z)1F Y (z) D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=P(minX，Y)z)=1P(minX，Y)z) =1P(Xz，Yz)=1P(Xz)P(Yz) =11P(Xz)1P(Yz)=11F X (z)1F Y (z)，选 C6.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )
13、（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，A 不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，B 不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，D 不对，故选 C7.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C
14、.D.1解析：解析：设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p)，Y=nXB(n，1p)， E(X)=np，D(X)=np(1p)，E(Y)=n(1p)，D(Y)=np(1p)， Coy(X，Y)=Coy(X，nX)=Coy(X，n)Coy(X，X)， 因为 Cov(X，n)=E(nX)E(n)E(X)=nE(X)nE(X)=0，Cov(X，X)=D(X)=np(1p)，所以8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)
15、9.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，D(X)=100p(1p)，标准差为 令 f(p)=p(1p)(0p1)，由 f(p)=12p=0 得10.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 +e 3 e 5 ）解析：解析：由 Fx(x)=F(x，+)= 11.设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项
16、1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：D(x)=E(X 2 )EE(X) 2 =4，D(Y)=E(Y 2 )E(Y) 2 =9， Cov(XY)= 12.(1)设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 根据切比雪夫不等式，有PXY3 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立，且 X i (i)(i=1，2，10)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：(1)E(X)=0，D(X)=3，E(y)=0，D(y)= 则 E(XY)=0，D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)=所以 PXY3)=P(XY)E(X
17、Y)3) (2)由 X i (i)得 E(X i )=i，E(D i )=i(i=1，2，10)， 三、解答题(总题数：17，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：02)解析：解析：因为 P(AB)= 所以 A，B 相互独立，从而 A， 相互独立，故15.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：令 A i =所取
18、产品为 i 等品)(i=1，2，3)，P(A 1 )=06，P(A 2 )=03，P(A 3 )=01，所求概率为 P(A 1 A 1 +A 2 )= 16.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =第 k 次拨通对方电话(k=1，2，10)， )解析：17.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)， 由 =P(AB)=P(A)P(AB)=P(A
19、)P(A)P(B)=P(A)1P(B)= 独立； 由 =1P(A+B)=1P(A)P(B)+P(AB) =1P(A)1P(B)=)解析：设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t)（分数：4.00）(1).求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F(t)=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1P(Tt)=1P(N=0)=1e t ， 所以 )解析：(2).求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求概
20、率为 p=P(T16T8) )解析：18.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(e X y)， 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，x0，F Y (y)=P(e X y)=P(Xlny)= lny f X (x)dx= 0 lny e x xdx， )解析：19.设随机变量 XN(， 2 )，YU，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU，所以 X，Y 的密度函数为 又X，Y 相互独立，所以 X，Y 的联合密度函数为 F Z
21、 (z)=P(Zz)=P(X+Yz)= f(x，y)dxdy )解析：20.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 P(maxX，Y0)及 P(minX，Y0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(maxX，Y0)=1P(maxX，Y=0)=1P(X=0，Y=0) =1P(X=0)P(Y=0)=1e 1 e 2 =1e 3 ， PminX，Y0)=1P(minX，Y=0)， 令 A=X=0，B=Y=0，则(minX，Y=0)=A+B， 于是 P(minX，Y=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =e 1 +e 2 e 1 e 2 = e 1 +e 2
22、 e 3 ， 故 P(minX，Y0)=1e 1 e 2 +e 3 )解析：n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n 且 P(X=k)= k=1，2，n 注意：设第 3 次才能打开门，则 D(X)=E(X 2 )E(X) 2 = )解析：(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n， )解析：21.某商店经
23、销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R 为商店每周的利润，则有 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：22.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法 设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 则 X=X 2 +X 3 +X 11 ， )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i （分数：6.00）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D(y i )=Cov(Y i ，Y i )= )解析：(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).P(Y 1 +Y n 0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Y 1 + Y n =X 1 +X n 因为 X
25、1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， )解析：23.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (i=1，2，300) 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 E(X)=300006=18，D(X)=3000056 4=1692 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得解得 )解析：24.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来
26、自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设总体 XN(， 1 2 )，YN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 S 1 2 ，S 2 2 相互独立，可知 a，b 与 相互独立，显然 a+b=1 )解析：26.设总体 XU0，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X 的密度函数和分布函数分别为 设 x 1 ，x 2 ，x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 当 0x i (i=1，2，n)时， 且当 越小时 L()越大， 所以 的最大似然估计值为 =maxx 1 ，x 2 ，x n )， 的最大似然估计量为 =maxX 1 ，X 2 ，X n )因为 =maxX 1 ，X 2 ，X n )的分布函数为 =P(maxX 1 ，X n )x)=P(X 1 x)P(X n x) 则 )解析：
