1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 49 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XY
2、C.maxX，YD.minX，Y4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关5.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，
3、X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1
4、，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_11.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则 P(A+B)=_（分数：2.00）_14.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_（分数：2.00）_15.将编号为 1，2，
5、3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_16.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设随机变量 X 1 ，X 2
6、，X 3 ，X 4 独立同分布，且 (i=1，2，3，4)，求 X= （分数：2.00）_设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：6.00）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_(2).求 XZ ；（分数：2.00）_(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立且
7、都服从 N(， 2 )分布，令 Z=maxX，Y，求 E(Z)（分数：2.00）_20.设总体 XN(， 2 ) ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 （分数：2.00）_21.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）模拟试卷 49 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两
8、两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析：解析：由于 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，所以 3.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.maxX，YD.minX，Y 解析：解析：由于 XE()，所以密度函数为 分布函数为 E(XY)=0， 而 maxX，Y的分布函数是 所以 A，B，C 项都不对，选 D 事实上，minX，
9、Y的分布函数为 P(minX，Yx)=1P(minX，Yx)=1P(Xx，Yx) =1P(Xx)P(yx)=11F(x) 2 = 4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D
10、(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关 解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 B，C 是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 A 是正确的，选 D5.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 相互独立，于是6.从正态总体 XN(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 二、填空题(总
11、题数：5，分数：10.00)7.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)=P(X 2 y) 于是 8.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu)=P(X=0)P(yu)= 当 1u2 时，F
12、U (u)=P(X=0，Yu)+P(X=1，Yu1) 当 u2 时，F U (u)=1所以 9.设 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：随机变量 X 的分布律为 10.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08413）解析：解析：令11.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解
13、答题(总题数：13，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10)，B=XY)，则 P(A+B)=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：P(A)=PX=4，Y=6十 PX=5，Y=5+PX=6，y=4= P(B)=PX=2，Y=1+PX=3，Y=1+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3 +PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3) +PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6，Y=4) +PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+P
14、X=6，Y=1= P(AB)=PX=6，Y=4= 则 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=14.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格)，则所求概率为15.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i 本书正好在第 i 个位置， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A 1 +A 2 +
15、A 3 ，且 故 P(B)=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )P(A 1 A 2 )P(A 1 A 3 )P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) )解析：甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=击中目标，则 C=A+B， P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B) =06+050605=08)解析：(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已
16、被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =选中甲，A 2 =选中乙，B=目标被击中，则 P(A 1 )=P(A 2 )= P(BA 1 )=06，P(BA 2 )=05， )解析：16.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放人乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(从甲袋中取出黑球)，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=B i (i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B 0 )P(A)P(B 0 A)+ P(X=1
17、)=P(B 1 )P(A)P(B 1 A)+ P(X=2)=P(B 2 )P(A)P(B 2 A)+ P(X=3)=P(B 3 )P(A)P(B 3 A)+ 所以 X 的分布律为 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =(1)(2)(Y)=0， 得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化； 当 Y=1 时， =1 为二重特征值， 因为r(EA)=2，所以 A 不可对角化； 当 Y=2 时， =2 为二重特征值， 因为 r(2EA)=1，所以 A可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P
18、(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= )解析：18.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 (i=1，2，3，4)，求 X= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X= =X 1 X 4 X 2 X 3 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为1，0，1 P(X=1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0134 4， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01 34 4，
19、 P(X=0)=120134 4=0731 2，于是 )解析：设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)（分数：4.00）(1).求 X，Y 的联合密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XU(0，1)，所以 又在 X=x(0x1)下，YU(0，x)，所以 故 f(x，y)=f X (x)f YX (yx)= )解析：(2).求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f Y (y)= + f(x，y)如，当 y0 或 y1 时，f Y (y)=0； 当 0y1 时，)解析：设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3
20、 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：6.00）(1).求 E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 XZ ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).X，Z 是否相互独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立)解析：19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=maxX，Y，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都
21、服从 N(， 2 )分布，所以 且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=maxX，Y=maxU，V+， 由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 (u，v+) 于是 E(Z)=EmaxU，V+ 而 Emax(U，V)= + du + max(u，v)f(u，v)dv )解析：20.设总体 XN(， 2 ) ，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以有 E(X 1 T)=E(X 2 T)=E(X n T)=E(X 1 T) )解析：21.设总体 XU( 1 ， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，求 1 ， 2 的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x； 1 ， 2 )= L(x 1 ，x 2 ，x n ； 1 ， 2 )= lnL( 1 ， 2 )=nln( 2 1 )， 因为 lnL( 1 ， 2 )是 1 的单调增函数，是 2 的单调减函数，所以 )解析：
