1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 13及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E=（ ）（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 3.设 A，B 为随机
2、事件，0P（A）1，0P（B）1，则 A，B 相互独立的充要条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（ ）（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立5.假设 F（x）是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是（ ）（分数：2.00）A.如果 F（a）=0，则对任意 xa 有 F（x）=0B.如果 F
3、（a）=1，则对任意 xa 有 F（x）=1C.D.6.设随机变量 X服从正态分布 N（ 2 ， 2 ），其分布函数为 F（x），则有（ ）（分数：2.00）A.F（+x）+，（ 一 x）=1B.F（x+）+F（x 一 ）=1C.F（+x）+F（ 一 x）=0D.F（x+）+F（x 一 ）=07.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P（1）分布，则 PX=1|X +Y=2的值为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F（x）=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知随机变量 X与 y
4、的相关系数大于零，则（ ）（分数：2.00）A.D（X+Y）D（X）+D（Y）B.D（X+Y）D（X）+D（Y）C.D（X 一 Y）D（X）+D（Y）D.D（XY）D（X）+D（Y）10.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X +3，则 X与 Y（ ）（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立11.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取自总体 N（0，1）的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.4二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间（0，1）中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2
5、.00）填空项 1:_13.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=P1，0= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 X的概率密度 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N（； 2 ），则 P max（X，Y）P min（X，Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设二维随机变量（X，Y）
6、服从 N（， 2 ， 2 ；0），则 E（XY 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机试验成功的概率 p=020现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1。（3）=09987，（1）=08413）（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1（01）。若已知P|X|x=b（b0），则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设 P（A）0，P（B
7、）0，将下列四个数：P（A），P（AB），P（AB），P（A）+P（B），按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。（分数：2.00）_23.设连续型随机变量 X的分布函数 F（x）= （分数：2.00）_24.设随机变量 X的概率密度为 f（x）= 令随机变量 （分数：2.00）_25.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y在 1X中等可能地取值。求：（）二维随机变量（X，Y）的联合分布律及边缘分布律；（）求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_26.设（X，Y）的联合分布函数为 （分数：2.00）_27.两台同样的自动记
8、录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_28.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（）乙箱中次品件数的数学期望；（）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X n （n2）为取自总体 N（0，1）的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i （分数：2.00）_30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_31
9、.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 13答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E表示事件“电炉断电”，而 T 1 T 2 T 3 T 4 为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件
10、E=（ ）（分数：2.00）A.T 1 t 0 B.T 2 t 0 C.T 3 t 0 D.T 4 t 0 解析：解析：由于 T 1 T 2 T 3 T 4 ，所以 T 1 t 0 T 2 t 0 T 3 t 0 3.设 A，B 为随机事件，0P（A）1，0P（B）1，则 A，B 相互独立的充要条件是（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 0P（A）1，0P（B）1，所以 A与 B相互独立4.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 =掷第一次出现正面，A 2 =掷第二次出现正面，A 3 =正反面各出现一次，A 4 =正面出现两次，则事件（ ）（分数：2.00）A.A 1
11、 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立C.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：显然 P（A 1 ）=P（A 2 ）= ，且 A 1 与 A 2 相互独立。 由于 A 3 = A 2 ，A 4 =A 1 A 2 ， 所以 5.假设 F（x）是随机变量 X的分布函数，则下列结论不正确的是（ ）（分数：2.00）A.如果 F（a）=0，则对任意 xa 有 F（x）=0B.如果 F（a）=1，则对任意 xa 有 F（x）=1C.D. 解析：解析：由于 F（x）是单调不减且 0F（x）1，F（x）=PXx，因此选项 A
12、、B、C 都成立，而选项 D未必成立，因此选 D。6.设随机变量 X服从正态分布 N（ 2 ， 2 ），其分布函数为 F（x），则有（ ）（分数：2.00）A.F（+x）+，（ 一 x）=1 B.F（x+）+F（x 一 ）=1C.F（+x）+F（ 一 x）=0D.F（x+）+F（x 一 ）=0解析：解析：7.设相互独立的随机变量 X和 Y均服从 P（1）分布，则 PX=1|X +Y=2的值为（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： =2e 2 。 PX=1，X+Y=2=PX=1，Y=1=PX=1PY=1 =e 1 e 1 =e 2 。 所以 PX=11X +Y=2= 8.设随机
13、变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F（x）=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F（x）=PX 1 + X 2 X =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0 +PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 9.已知随机变量 X与 y的相关系数大于零，则（ ）（分数：2.00）A.D（X+Y）D（X）+D（Y）B.D（X+Y）D（X）+D（Y）C.D（X 一 Y）D（X）+D（Y）D.D（XY）D（X）+D（Y） 解析：解析：根据公式 D（XY）=D（X）
14、+D（Y） +2Cov（X，Y）确定正确选项。由于 X与 Y的相关系数10.已知随机变量 X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X +3，则 X与 Y（ ）（分数：2.00）A.不相关且相互独立B.不相关且相互不独立C.相关且相互独立D.相关且相互不独立 解析：解析：通过计算 Cov（X，Y）来判定。 由于 XN（0，1），所以 E（X）=0，D（X）=E（X 2 ）=1，E（X 3 ）=0， E（XY）=E（X）（2X 2 +X+3）=2E（X 3 ）+E（X 2 ）+3E（X）=1， Cov（X，Y）=E（XY）E（X）E（Y）=10 X与 Y相关 11.设 X 1 ，X 2 ，X m 是取
15、自总体 N（0，1）的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0B.1C.2 D.4解析：解析： +1）（S 2 +1）=E（ 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.在区间（0，1）中随机地取出两个数，则“两数之积小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：记（0，1）中任取的两个数为 X，Y，则（X，Y）=（x，y）10 x 1，0yl，n为基本事件全体，并且取 n中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，如图 312所示，事件13.已知 X，Y 为随机变量且 PX0，Y0= ，PX0=P1，0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
16、正确答案： ）解析：解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。 由于A=max（X，Y）0=X，Y 至少有一个大于等于 0=X0Y0，所以 根据全集分解式知：A= max（X，Y）0=max（X，Y）0，min（X，Y）0+max（X，Y）0，min（X，Y）0=C+X0，y0，故 P（C）=P（A）一 PX0，Y0=14.已知随机变量 Y服从0，5上的均匀分布，则关于 x的一元二次方程 4x 2 +4Yx+Y+2=0有实根的概率p= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 Yf（x）= 所以所求的概率为 p=P方
17、程有实根=P0=P16Y 2 一16（Y+2）0 =P16（Y2）（Y+1）0 =P（Y2）（Y一 1） =PY2+PY一 1 15.已知 X的概率密度 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N（； 2 ），则 P max（X，Y）P min（X，Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：Pmax（X，Y）Pmin（X，Y） =1Pmax（X，Y）1Pmin（X，Y） =P max（X，Y）+P min（X，Y） 因为 X与 y均服从正态分布（， 2 ），所以 PX
18、= 故 Pmax（X，Y）一 Pmin（X，Y）= 17.设随机变量 X和 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：002）解析：解析：由 X和 Y的联合概率分布得 18.设二维随机变量（X，Y）服从 N（， 2 ， 2 ；0），则 E（XY 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 3 + 2）解析：解析：由于 =0，根据二维正态分布的性质可知随机变量 X，Y 独立，所以 E（XY 2 ）=E（X）E（Y 2 ）。 已知（X，Y）服从 N（，； 2 ， 2 ；0），则 E（X）=，E（Y 2 ）=D（Y）+E 2 （Y）= 2
19、 + 2 ，所以 E（XY 2 ）=（ 2 + 2 ）= 3 + 2 。19.设随机试验成功的概率 p=020现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16与 32之间的概率 = 1。（3）=09987，（1）=08413）（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：令 X=“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为（n，p）的二项分布，其中 n=100，p=020，且 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量 近似服从标准正态分布 N（0，1）。因此试验成功的次数介于 16和 32之间的概率 =P16X3220.设随机变量
20、 X服从 n个自由度的 t分布，定义 t 满足 PXt =1（01）。若已知P|X|x=b（b0），则 x= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据 t分布的对称性以及 b0，可知 x0。所以 PXx=1PXx=1 根据题干“t 满足 PXt =1一 （01）”可知，x= 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设 P（A）0，P（B）0，将下列四个数：P（A），P（AB），P（AB），P（A）+P（B），按由小到大的顺序排列，用符号“”联系它们，并指出在什么情况下
21、可能有等式成立。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A、AB、AB 之间的所属关系为 B。 P（A）=P（A B）成立的条件是A=AB，即 B A。 P（AB）=P（A）+P（B）成立的条件是 P（AB）=0，即 AB= )解析：23.设连续型随机变量 X的分布函数 F（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因 X是连续型随机变量，所以分布函数 F（x）连续，故 F（a0）=F（a）， )解析：24.设随机变量 X的概率密度为 f（x）= 令随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）根据题意可知随机变量 y的取值区间为1，2，Y 的分布函数为 F（y）=PY
22、y。 当 y1 时，F（y）=0； 当 y2 时，F（y）=1； 当 1y2 时，F（y）=PYy=Py1+P1Yy =PX2+P1Xy 所以 Y的分布函数为 （）根据概率的性质，可得 PXY=1PXY=1PX2=1 )解析：25.设随机变量 X在 1，2，3 中等可能地取值，随机变量 Y在 1X中等可能地取值。求：（）二维随机变量（X，Y）的联合分布律及边缘分布律；（）求在 Y=2的条件下 X的条件分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由题意可知 PX=1，Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0 由乘法公式，可得 所以X，Y的联合分布律为 进一步得到边缘分布 （）在 Y
23、=2的条件下 X可能的取值为 2，3，因此 从而得到在 Y=2条件下随机变量 X的条件分布为 )解析：26.设（X，Y）的联合分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，F X （x）=PXx=F（x，+）=1e x ；当 x0 时，F X （x）=0，所以关于 X的边缘分布函数为 同理，关于 y的边缘分布函数为 )解析：27.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障
24、工作的时间分别为 X 1 与 X 2 ，则 T=X 1 +X 2 ，X 1 ，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 f T （t）= + f（x）f（t 一 x）dx= 0 t t5e 5x 5e 5（tx） dx=25te 5t （t0）。 从而其概率密度为 )解析：28.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品。从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（）乙箱中次品件数的数学期望；（）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）x 的可能取值为 0，1，2，3，所
25、以 X的概率分布为 （）设 A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于X=0，X=1，X=2，X=3构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X n （n2）为取自总体 N（0，1）的简单随机样本， 为样本均值，记 Y i =X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，知 X 1 ，X 2 ，X n （n2）相互独立，且 E（X i ）=0，D（X i ）=1（i=1，2，n）， （）因为已知 X 1 ，X 2 ，X n （n2）相互独立， )解析：30.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X的数学期望
26、是 E（X）= + xf（x）dx= 0 1 （+1）x +1 dx= 令 得到参数 的矩估计量为 设 x 1 ，x 2 ，x n 是相对于样本 X 1 ，X 2 ，X n 的一组观测值，所见似然函数为 当 0 x i 1（i=1，2，3，n）时，L 0 且ln/=nln（0 +1）+ 令 lnx i =0，解得 的极大似然估计为 )解析：31.设 X服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X的样本观测值为 x 1 ，x 2 ，x n ，则似然函数 显然 0，且 ba越小 L值越大，但是bx i ，i=1，n=bmax（x 1 ，x 2 ，x n ），同理ax i ，i=1，n=amin（x 1 ，x 2 ，x n ），所以只有当 b=maxx i ，a=minx i 时，L 才达到最大值，所以 a，b 的最大似然估计值为 最大似然估计量是 )解析：
