1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 20及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )（分数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布
2、C.X与 Y未必独立D.X+Y服从一维正态分布4.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.设相互独立的两随机变量 X和 Y分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则 Pmin(X，Y)1的值为( )（分数：2.00）A.e -(+1)B.1一 e -(+1)C.e -2(+1)D.1一 e -2(+1) 6.设相互独立的两随机变量 X，Y，均服从 E(1)分布，则 P1min(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.e -1 一 e -2B.1一 e -1C.1一 e -2D.e -2 一 e
3、-4 7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y 3 不相关，则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01两点分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价8.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且 P|X一 1 | 1P|Y 2 | 1则必有( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 9.设随机变量(X，Y)服从二维正态
4、分布，且 X与 Y不相关 f X (x),f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y，条件下，X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )（分数：2.00）A.f X (x)B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.10.随机变量 X，Y 独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x)B.F(x)F(y)C.1一1 一 F(x) 2 D.1一 F(x)1一 F(y)11.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= （分数：2.00
5、）A.0B.1C.2D.312.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X和 Y的联合分布函数
6、为 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 X与 Y独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设(X，Y) N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X与 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_19.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E(XY)= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_21.设相互独立的两个随机变量
7、X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1（分数：2.00）填空项 1:_22.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 - （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_23.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X (x)及在 X=x条件
8、下，关于 Y的条件概率密度（分数：2.00）_26.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值 试求：(I)(X，Y)的联合概率密度； ()关于 Y的边缘概率密度函数； ()PX+Y1（分数：2.00）_27.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_28.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_29.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分
9、布，即 PX=m=pq m-1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： (I)U=X+Y 的分布函数；()V=XY的分布函数（分数：2.00）_30.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_31.已知(X，Y)的概率分布为 (I)求 Z=XY的概率分布； ()记 （分数：2.00）_32.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： (I)U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=|XY|的概率密度 f V (v)（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 20答案解析(总分：64.00，做题时间：90
10、 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设二维随机变量(X 1 ，X 2 )的密度函数为 f 1 (x 1 ，x 2 )，则随机变量(Y 1 ，Y 2 )(其中 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = )的概率密度 f 2 (y 1 ，y 2 )等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y 1 ，Y 2 )的分布为 F 2 (y 1 ，y 2 ) 3.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )（分
11、数：2.00）A.X与 Y一定独立B.(X，Y)服从二维正态分布C.X与 Y未必独立 D.X+Y服从一维正态分布解析：解析：因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X 与 Y不相关4.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从0，3上的均匀分布，则 P1max(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：P1max(X，Y)2=Pmax(X，Y)2一 Pmax(X，Y)1 =PX2，Y2一PX1，Y1 =PX2PY2一 PX1PY1 =5.设相互独立的两随机变量 X和 Y分别服从 E()(0)和 E(+2)分布，则 Pmin(X，Y)1的值为( )（分数：2.00）A.e
12、 -(+1)B.1一 e -(+1)C.e -2(+1) D.1一 e -2(+1) 解析：解析：Pmin(X，Y)1=PX1，Y1=PX1PY1 =e - .e -(+2) =e -2(+1) 故选项 C正确6.设相互独立的两随机变量 X，Y，均服从 E(1)分布，则 P1min(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.e -1 一 e -2B.1一 e -1C.1一 e -2D.e -2 一 e -4 解析：解析：P1min(X，Y)2=Pmin(X，Y)1一 Pmin(X，Y)2 =PX1，Y1一PX2，Y2 =PX1PY1一 PX2PY2 =e -1 .e -1 e -2 .e -
13、2 =e -2 e -4 故选项 D正确7.设(X，Y)为二维随机变量，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 X与 Y不相关，则 X 2 与 Y 2 不相关B.若 X 2 与 Y 3 不相关，则 X与 Y不相关C.若 X与 Y均服从正态分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价D.若 X与 Y均服从 01两点分布，则 X与 Y独立和 X与 Y不相关等价 解析：解析：对于选项 D：设 XB(1，p)，YB(1，Q)，当 X与 Y独立时 X与 Y不相关反之，当 X与 Y不相关，即 E(XY)=E(X)E(Y)=pq时，可得下列分布律8.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2
14、 )，Y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且 P|X一 1 | 1P|Y 2 | 1则必有( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 解析：解析：根据题干可知9.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关 f X (x),f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y，条件下，X 的条件概率密度 f X|Y (x|y)为( )（分数：2.00）A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，那么 X与 Y独立，且 f(x，y)=f X (
15、x)f Y (y) 则 10.随机变量 X，Y 独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F 2 (x) B.F(x)F(y)C.1一1 一 F(x) 2 D.1一 F(x)1一 F(y)解析：解析：设 Z的分布函数为 F z (z)，则 F Z (x)=P(Zx)=PmaxX，Yx=P(Xx)P(Yx)=F 2 (x) 故选项 A正确11.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从标准正态分布 N(0，1)，Y 的概率分布为 PY=0=PY=1= （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：根据题意可知， F Z (z)=
16、P(XYz)=P(XYz|Y=0)P(Y=0)+P(XYz|Y=1)P(Y=1) = 一P(XYz|Y=0)+P(XYz|Y=1)， 由于 X，Y 独立，所以 12.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x) 解析：解析：因为 f 1 (x)与 f 2 (x)均为连续函数，故它们的分布函数 F 1 (x)与 F 2 (x)也连
17、续根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 - + f(x)dx=1在四个选项中，只有 D项满足 - + f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)dx = - + F 1 (x)F 2 (x)dx =F 1 (x)F 2 (x)| - + =10=1， 故选项 D正确二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(1，1)）解析：解析：根据题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故 XN(0，2 2 )，YN(1，3 2 )，X与 Y的相关系数 =0，所以
18、X与 Y独立， N(0，1)，根据 F分布典型模式知 14.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1一 PZ=0= 所以 Z的分布律为15.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1)，因此F(x)=16.已知
19、随机变量 X与 Y独立同分布，且 X的分布函数为 F(x)，记 Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 X与 Y独立且有相同分布 F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数 F(x，z)=PXx，max(X，Y)z=PXx，Xz,Yz17.设(X，Y) N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.已知随机变量 X与 Y的联合概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：03）填空项 1:_ （
20、正确答案：01）填空项 1:_ （正确答案：04）填空项 1:_ （正确答案：03）解析：解析：根据题意得知，01+02+01+02=1 及 PX+Y=1=PX=0，Y=1 +PX=1，Y=0=+01=04 解得 =03，=01，于是 PX+Y1= 19.已知随机变量 X与 Y均服从 01分布，且 E(XY)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X与 Y均服从 0一 1分布，可以列出(X，Y)的联合分布如下：20.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ，
21、2 +2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关” =X+2Y=0”，故所求的概率为 21.设相互独立的两个随机变量 X和 Y均服从标准正态分布，则随机变量 XY的概率密度函数的最大值等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意可知，XYN(0，2)，其概率密度函数 f(x)的最大值在 x=0处，最大值为22.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 - （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：Y 1 一 Y 2 =X 1
22、 一 X 2 + ，所以 Y 1 一 Y 2 为相互独立正态变量和，且服从正态分布 23.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据概率密度性质 - + - + f(x，y)dxdy=1，则有 0 2 dx 2 4 k(6一 x一 y)dy=1，又知 由 8k=1，得常数 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0yx3 一 y，y1上服从均匀分布，求边缘密度 f X (x)及在 X=x条
23、件下，关于 Y的条件概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 34所示，区域 D是一个底边平行于 x轴的等腰梯形，其面积 =2，所以(X，Y)的联合概率密度为 )解析：26.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值 试求：(I)(X，Y)的联合概率密度； ()关于 Y的边缘概率密度函数； ()PX+Y1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题设 X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量Y，在 X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密
24、度的定义，可得联合概率密度 ()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密度()如图 35所示 )解析：27.设以 X表示某一推销员一天花费在汽油上的款项(以美元计)，以 Y表示推销员一天所得的补贴(以美元计)，已知 X和 Y的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)如图 36所示 (1I)(1)当 10x20 时，f X (x)0，条件概率密度 f Y|X (y|x)存在 (2)当 10x20 时，有 (3)当 5y10 或 10y20,f Y (y)0,f X|Y (x|y)存在当 5y10 时， (4)当 10y20 时， f X|Y (x|y)是单个自
25、变量 x的函数，y 是一个固定值 ()当 x=12时 Y的条件概率密度为 )解析：28.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据题意 ，XN(0，1)且 X与 Y相互独立，所以 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=一 1PXYz|Y=一 1+PY=1PXYz |Y=1 =PY=一 1P一 Xz | Y=一 1+PY=1PXz|Y=1 =PY=一 1PX一 z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 ()由于 V=|XY|只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 F
26、V (v)=P|XY|v=0；当v0 时， F V (v)=P一 vXYv =PY=一 1P一 vXYv|Y=一 1+PY=1P一 vXYv|Y=1 综上计算可得， 由于 F V (v)是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以 V的概率密度为 )解析：29.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pq m-1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： (I)U=X+Y 的分布函数；()V=XY的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)根据全概率公式有 )解析：30.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （
27、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知(X，Y)的概率分布为 (I)求 Z=XY的概率分布； ()记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据矩阵法求解，由题设得 由此即得：(I)Z=XY 的概率分布 ()(U 1 ，V 1 )的概率分布为 ()(U 2 ，V 2 )的概率分布 U 2 V 2 的概率分布为 )解析：32.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： (I)U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=|XY|的概率密度 f V (v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种
28、方法：分布函数法和公式法求出 U、V 的概率密度 (I)分布函数法根据题设知(X，Y)联合概率密度 所以 U=XY的分布函数为(如图 37所示) (1)当 u0 时，F U (u)=0；当 u1 时，F U (u)=1； (2)当 0u1 时， ()公式法设 Z=XY=X+(一 Y)其中 X与(一 Y)独立，概率密度分别为 根据卷积公式得 Z的概率密度 f Z (z)= - + f X (zy)f -Y (y)dy= -1 0 f X (zy)dy V=|XY|=|Z|的分布函数为 F V (v)=P|Z|v|，可得 当 v0 时，F V (v)=0；当 v0 时，F V (v)=P一 vZv= -v v f Z (z)dz； 由此知，当 0v1 时， F V (v)= -v 0 (z+1)dz+ 0 v (1一 z)dz=2v-v 2 ； 当 v1 时，F V (v)= -v -1 0dz+ -1 0 (z+1)dz+ 0 1 (1一 z)dz+ 1 v 0dz=1 综上可得 )解析：
