1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 4及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该( )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定3.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，Y-N(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法
2、比较 p 1 与 p 2 的大小4.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 XN(15，4)，若 X的值落入区间(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ,x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x 1 ，
3、x 2 ，x 3 ，x 4 分别为( )（分数：2.00）A.12，135，165，18B.115，135，165，185C.12，14，16，18D.11，14，16，197.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB.C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 19.设随机变量 X i 的分布函数分别为 F
4、i (x)，i=1，2假设：如果 X i 为离散型，则 X i B(1，p i )，其中 0p i 1，i=1，2如果 X i 为连续型，则其概率密度函数为 f i (x)，i=1，2已知成立 F 1 (x)F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 B.p 1 p 2 C.f 1 (x)f 2 (x)D.f 1 (x)f 2 (x)10.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|X=，则 X等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X的分布函数 f(X)= （分数：2.00）A.0B.C.D.1
5、e -1 12.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度 f 2 (x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2二、填空题(总题数：16，分数：32.00)13.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X已知 PX029=075，则满足PYk =025 的常数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 2vx+u=0有实根的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 XN(， 2 )，且二次
6、方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=EX 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设离散型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次试验当 p= 1时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 2（分数：2.0
7、0）填空项 1:_21.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 Px3=0975，则 PX一 092= 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数，常数 a0，则 - + F(x+a)一 F(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= Y表示对 X三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）填空项 1:_24.若 （分数：2.00）填空项 1:_25.设随机变量 X的分布函数为 已知 （分数：2.00）填空项 1:_26.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2PX15，则 P
8、|X1|2= 1（分数：2.00）填空项 1:_27.设随机变量 X的密度函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_28.已知随机变量 Y一 N(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_30.(I)设随机变量 x服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s及 t，有 P(Xs+t|Xs)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无记忆性 ()设电视机的使用年数 X服从指数分布 e(01)，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的
9、概率（分数：2.00）_31.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从泊松分布 p(02)，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率（分数：2.00）_32.电话总机为 300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)（分数：2.00）_33.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度（分数：2.00）_34.我们常假设某种型号的电子元件的
10、寿命 X服从指数分布，其密度为 其中 0 是一个常数在某些情况，严格地说 是一个随机变量，记为 (例如元件选自一个很大的群体，这个群体的各个成员具有不同的工作特性)此时我们假设 X的条件概率密度为 现设 的概率密度为 （分数：2.00）_35.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 4答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 P|X一 |应该(
11、 )（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 X一 N(， 2 )，则 因此 3.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，Y-N(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析： 4.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=一 2X+3，则 Y的密度函数为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=一 2x+3是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)= 根据
12、随机变量函数的公式：5.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对任何 x，为保证 F(x)0，a 与一 b均应大于 0，又 F(+)=aaF(+)一 bF(+)=a 一b=1，故选项 A正确6.已知 XN(15，4)，若 X的值落入区间(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ,x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)内的概率之比为 7：24：38：24：7，则 x 1
13、 ，x 2 ，x 3 ，x 4 分别为( )（分数：2.00）A.12，135，165，18B.115，135，165，185C.12，14，16，18 D.11，14，16，19解析：解析：X 落入(一，x 1 )，(x 1 ，x 2 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 4 )，(x 4 ，+)的概率应为 ，即 007，024，038，024，007 PXx 4 =1一 PXx 4 =1007=093=(15) 又 PXx 3 =1一 PXx 3 =1024007=069=(05)， 7.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为(
14、 ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：X-N(， 2 )，其密度函数 f(x)= F(x)的拐点的 x坐标 a应满足 F”(a)=f(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时，F()= 8.设随机变量 X的密度函数为 (x)，且 (一 x)=(x)，F(x)为 X的分布函数，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(一 a)=1一 0 a (x)dxB. C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析：解析：如图 22所示，F(一 a)= - -a (x)dx= - -a 0 (x)dx，而 -a 0 (x)dx= 0 a (x)dx，所
15、以 F(一 a)= - 0 a (x)dx故选项 B正确 9.设随机变量 X i 的分布函数分别为 F i (x)，i=1，2假设：如果 X i 为离散型，则 X i B(1，p i )，其中 0p i 1，i=1，2如果 X i 为连续型，则其概率密度函数为 f i (x)，i=1，2已知成立 F 1 (x)F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 B.p 1 p 2 C.f 1 (x)f 2 (x)D.f 1 (x)f 2 (x)解析：解析：根据选项，只能在 A与 B或 C与 D中选一正确答案由微积分知识可知选项 C、D 未必正确，因此只考虑 A、B根据题设得： 所以
16、F 1 (X)F 2 (X) 10.设随机变量 X服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1)，数 u 满足 PXu =，若P|X|X=，则 X等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 23及图 24所示图形 如图 24所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 11.设随机变量 X的分布函数 f(X)= （分数：2.00）A.0B.C. D.1e -1 解析：解析：根据分布函数 F(x)的形式，它既不是离散型，也不是连续型，因此不能判断随机变量 X
17、的类型因此 X取值 x的概率可用以下方法计算： 对任意的 0，12.设 f 1 (x)为标准正态分布的概率密度 f 2 (x)为一 1，3上均匀分布的概率密度，若 （分数：2.00）A.2a+3b=4 B.3a+2b=4C.a+b=1D.a+b=2解析：解析：由于函数 f 1 (x)= 是 x的偶函数，即 根据概率密度的性质，可知 1= - + f(x)dx= - 0 af 1 (x)dx+ 0 + bf 2 (x)dx = 二、填空题(总题数：16，分数：32.00)13.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1一 X已知 PX029=075，则满足PYk =025 的常
18、数 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：071）解析：解析：由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1一 PX1 一 k=025，所以 PX1 一 k=1025=075又因 PX029=075，得 1一 k=029，即 k=07114.若在区间(0，1)上随机地取两个数 u，v，则关于 x的一元二次方程 x 2 2vx+u=0有实根的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=“方程 x 2 一 2vx+u=0有实根”，因 u，v 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域 D内的点一一对应
19、(如图 25所示)，其中 D=(u，v)|0u1，0v1事件A=(u，v)|(2v) 2 一 4u0，(u，v)D；阴影 D 1 满足事件 A，其中 D 1 =(u，v)|v 2 u，0u，v1利用几何型概率公式，有 15.设随机变量 XN(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y+X=0无实根”，则 A=164X0=X4，依题意，有P(A)=PX4= 而 PX4=1 一 PX4= 即 16.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.
20、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设随机变量 X服从参数为 1的泊松分布，则 PX=EX 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X服从参数为 1的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1,从而由 D(X)=E(X 2 )一 E 2 (X)得 EX 2 =2故 PX=E(X 2 )=PX=2= 18.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p一
21、1=0，解得 19.设离散型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于分布函数 F(x)只在 x=一 1，0，1 处有 3个间断点，因此离散型随机变量 X与|X|的概率分布分别为 |X|的分布函数 F |X| (x)为 20.设一次试验成功的概率为 p，进行 100次试验当 p= 1时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：若设进行 100次试验成功的次数为 X，则 XB(100，p)，X 的标准差为 因此当 ,成功次数的标准差的值最大，其最大值为21
22、.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 Px3=0975，则 PX一 092= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0025）解析：解析：由 PX3=22.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数，常数 a0，则 - + F(x+a)一 F(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析： - + F(x+a)-F(x)dx= - + x x+a f(y)dydx 23.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= Y表示对 X三次独立重复观察中事件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.若
23、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：25.设随机变量 X的分布函数为 已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即26.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2PX15，则 P|X1|2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06826）解析：解析：求正态分布随机变量 X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知=2，需先求出 27.设随机变量 X的密度函数 f(x)= （分数：2.
24、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= - + f(x)dx= 1 2 Axdx+ 2 3 Bdx= 又 P1X2=P2X3， 28.已知随机变量 Y一 N(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 YN(， 2 )，且 P方程有实根=P14Y0= 即 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)29.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：30.(I)设随机变量 x服从指数分布 e()，证明：对任意非负实数 s及 t，有 P(Xs+t|Xs
25、)=P(Xt)这个性质叫做指数分布的无记忆性 ()设电视机的使用年数 X服从指数分布 e(01)，某人买了一台旧电视机，求还能使用 5年以上的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)已知随机变量 X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F(x) =1一 e -x ，根据结论 对任意非负实数 s及 t，有 因为 X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有 P(Xx)=P(Xx)=F(x) P(Xt)=1 一 P(Xt)=1 一 P(Xt)=1一 F(t)=1一(1 一 e -t )=e -t ，因此可得 P(xs+t|Xs)=P(Xt)成立 ()已
26、知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe(01)，则其概率分布函数为 )解析：31.已知一本书中每页印刷错误的个数 X服从泊松分布 p(02)，写出 X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于 1个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知，Xp(02)，X 的概率函数为 将 x=0，1，2，3代入函数，可得 p(0)081 87，P(1)01637， P(2)0 0164，P(3)0 0011， p(4)00001，P(5)0 X的概率分布表如下： )解析：32.电话总机为 300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4个用户使用电话的概率
27、(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一小时内使用电话的用户数量作为随机变量 X，则 XB(300，001)，概率函数为 p(x；300，001)=C 300 x (001) x (099) 300-x 一小时内有 4个用户使用电话的概率为 p(4；300，001)=C 300 4 (001) 4 (099) 296 01689， X 近似服从泊松分布， =np=300001=3 泊松分布的概率函数为 一小时内有 4个用户使用电话的概率为 二者的相对误差为 )解析：33.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分
28、布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X 1 与 X 2 ，则 T=X 1 +X 2 ，X 1 ，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变量之和的卷积公式，可得 f T (t)= - + f(x)f(t一 x)dx= 0 t 5e -5x .5e -5(t-x) dx=25te -5t (t0) 从而其概率密度为 )解析：34.我们常假设某种型号的电子元件的寿命 X服从指数分布，其密度为 其中 0 是一个常数在某些情况，严格地说 是一个随机变量，记为 (例如元件选自一个很大的群体，这个群体的各个成员具有不同的工作特性)此时我们假设 X的条件概率密度为 现设 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 X和 的联合概率密 那么 X的概率密度为 f X (x)= 0 + f(x,)d= 0 + 2 e -(x+1) d f X (x)=0，其他， 所以 )解析：35.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意可知， (1)当 x1 时，F(x)=0；当 1x2 时，则 (2)当 x2 时，F(x)=1 综上所述，X 的分布函数 F(x)为 )解析：
