1、考研数学三（随机变量及其分布）-试卷 1 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列函数中是某一随机变量的分布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(-x)D.f(x)4.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布（分数：2.00）A.B.C.D.5.
2、设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f 1 (x)为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 则随机变量 X 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2.00）填空项 1:_8.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中
3、有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 1 服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为2p 的泊松分布，已知 X 1 取 0 的概率是 X 2 取 0 概率的 9 倍，X 1 取 1 的概率是 X 2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0= 1，PY=1= 2（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 与-X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X
4、的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_12.设离散型随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为 已知 P-1X1= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 服从正态分布 N(，22)，已知 3PX15=2PX15，则 PX-12= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:
5、_17.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0 有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）_20.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 试求：()常数 C；()概率 （分数：2.00）_21.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）_22.随机变量 X 在 （分数：2.00）_23.设离散型随机变量 X 只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，-a 与 a 2 ，求
6、 X的分布函数（分数：2.00）_24.已知随机变量 X 的概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_25.已知袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止试求抽取次数 X 的概率分布（分数：2.00）_26.随机地向半圆 （分数：2.00）_27.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 PX=0= （分数：2.00）_28.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码 ()求 X 的分布律； ()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，k
7、=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_29.设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X 服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (01).据统计资料，该地段在一个月内发生 8 次交通事故是发生 10 次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设 =005)（分数：2.00）_30.假设测量的随机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e -5 =0007)（分数：2.00）_31.设随机变量 X 的分布函数为 已知
8、 （分数：2.00）_32.设离散型随机变量 X 服从参数为 p(0P1)的 0-1 分布()求 X 的分布函数 F(x)； ()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_33.已知随机变量 X 的分布函数 F X (x)= (0)，Y=lnX()求 Y 的概率密度 f Y (y)；()计算 （分数：2.00）_考研数学三（随机变量及其分布）-试卷 1 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列函数中是某一随机变量的分
9、布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于(A)：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确对于(B)：由于 F(1+0)=13.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(-x) D.f(x)解析：解析：根据概率密度的充要条件逐一判断 对于(C)：f(-x)=f(-x)0，且 故(C)满足概率密度的充要条件，选(C)4.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1 处有驻点，且 f(1)=1，则 X 服从分布（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：
10、正态分布 N(， 2 )的概率密度函数为 由于 f(x)的驻点是 x=，且 5.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f 1 (x)为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 X 的分布函数为 F(x)，X的分布函数为 F 1 (x)，则 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=0，从而 f 1 (x)=0； 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=P-xXx= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 则随机变量 X 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X 的概率分布
11、为7.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8 次，每次从已生产出的产品中随意取 10 件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.55）解析：解析：如果用 X 表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1-PX=0显然 0X8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么 X 就是 8 次试验，事件 A=“10 件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此 XB(8，p)，其中 p=P(A)如果用 Y 表示 10 件产品中次
12、品数，则 Y-B(10，001)， p=P(A)=PY1=1-PY=0=1-(1-001) 10 =1-099 10 所求的概率为 PX1=1-PX=0=1-(1-p) 8 =1-099 80 =1-044750558.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球现从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若记 A i =“第 i 次取出 4 个球为
13、 2 个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 A i 相互独立，根据超几何分布知 ，再由几何分布即得 9.设随机变量 X 1 服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为2p 的泊松分布，已知 X 1 取 0 的概率是 X 2 取 0 概率的 9 倍，X 1 取 1 的概率是 X 2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0= 1，PY=1= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 Y 服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 p 的值 PX 1 =0=1-p q， PX 1
14、=1=p， PX 2 =0=q n ， PX 2 =1=npq n-1 10.设随机变量 X 与-X 服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X 的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若 X-Ua，b，则-XU-b，-a，由 X 与-X同分布可知 a=-b，即 XU-b，b于是有 由题设 f 2 (x)也是概率密度，则由 11.已知随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知 PX0=1，PX0=0，应用全概率公式得1
15、2.设离散型随机变量 X 的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=-2=PY=3X 2 -5=PY=3(-2) 2 -5=PY=7=01， PX=-1=PY=-2=02，PX=0=PY=-5=01， PX=1=PY=-2=03，PX=2=PY=7=02， PX=3=PY=22=01， 因此 Y 可能取值为-5，-2，7，22，其概率分布为 PY=-5=01，PY=-2=02+03=05， PY=7=01+02=03，PY=22=01， 于是 Y=3X 2 -5 的概率分布为 13.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
16、案：*）解析：解析：依题意有14.设随机变量 X 的分布函数为 已知 P-1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(-1+0)=F(-1)，即 又因 PX=2=P-1X1-P-1X1=F(1)-F(-1)- ，于是有15.设随机变量 X 服从正态分布 N(，22)，已知 3PX15=2PX15，则 PX-12= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.6826）解析：解析：求正态分布随机变量 X 在某一范围内取值的概率，要知道分布参数 与 ，题设中已知=2，需先求出 由于16.设随机
17、变量 X 的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 ，又 P1X2=P2X3，17.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0 有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 YN(， 2 )，且 P方程有实根=P1-4Y0= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设随机变量 X 的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 为离散型随机变量，其分布函数为 ，这里和式是对
18、所有满足 x i x 的i 求和，本题中仅当 x i =1，4，6，10 时概率 PX=x i 0，故有 当 x1 时，F(x)=PXx=0； 当1x4 时，F(x)=PXx=PX=1=26； 当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36； 当6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=56； 当 x10 时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1 于是 )解析：20.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 试求：()常数 C；()概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 () ()分布函数 F(x)= ，由于 f(x)是分段函数
19、，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行要注意的是不管 x 处于哪一个子区间，积分的下限总是“-”，积分 由(-，x)的各个子区间上的积分相加而得 )解析：21.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P04X13=F(13)-F(04)=(13-05)- =06， PX05=1-PX05=1-F(05)=1- =075， P17X2=F(2)-F(17)=1-1=0； )解析：22.随机变量 X 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分布函数法先求 Y 的分布函数 F Y (y)由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率
20、密度 f X (x)与分布函数 F X (f)分别为 F Y (y)=PYy=PsinXy 当-1y1 时，F Y (y)=PXarcsiny=F X (arcsiny)= 当 y-1 时，F Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=1 因此Y 的概率密度为 f Y (y)为 )解析：23.设离散型随机变量 X 只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，-a 与 a 2 ，求 X的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用离散型随机变量分布律的基本性质 与 p i 0，i=1，2，有 则 X 的分布律与分布函数分别为 )解析：24.已知随机变量 X 的
21、概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 PX2=1-PX=1=1- 2 = 又 PX=2=2(1-)0，故取 = ，从而得 X 的概率分布 于是 X 的分布函数 )解析：25.已知袋中有 3 个白球 2 个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止试求抽取次数 X 的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 X 可能取的值为 4，5，k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率 p 不变，并且都是 p= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=p 4 ， PX=5=P前 4 次抽取取到
22、 3 个白球 1 个黑球，第 5 次取到白球 )解析：26.随机地向半圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设比例系数为 ，而点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 因此当 0x 时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积；分子面积 S 是三角形 BOA 与扇形 ABC 的面积之和，即 )解析：解析：由图 21 看出，X 取值在27.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 PX=0= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)依题意 PX1=P-1X1=1， PXx=0= 又除 0 点外，X 在其他取
23、值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 = ，故有 当 X-1 时，F(x)=0；当 x1 时，F(x)=1；当-1x0 时， F(x)=PXx=PX-1+P-1Xx= 当 0x1 时， F(x)=PXx=Px0+PX=0+P0Xx )解析：28.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记 X 为至少有一只球的盒子的最小号码 ()求 X 的分布律； ()若当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()随机变量 X 的可
24、能取值为 1，2，3，4，设事件 A i 表示第 i 个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则 PX=4=P(A 1 A 2 A 3 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) 于是X 的分布律为 ()由于当 X=k 时，随机变量 Y 在0，k上服从均匀分布，故 PY2X=1=PY2X=2=1， 由全概率公式即得 )解析：29.设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X 服从泊松分布，其中重大事故所占比例为 (01).据统计资料，该地段在一个月内发生 8 次交通事故是发生 10 次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生
25、交通事故情况互不影响并设 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先确定 X 的分布参数 ，由于 PX=8=25PX=10，即 计算出 Y 服从参数为 的泊松分布，即 一个月内无重大交通事故的概率 p=PY=0=e -0.3 一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有 11 个月无重大交通事故，其概率为 PZ=11+PZ=12= )解析：解析：此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数 Y 的概率分布，据此可求出概率p=PY=0如果用 Z 表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z 服从二项分布 B(12，p)30.假设测量的随
26、机误差 XN(0，10 2 )，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e -5 =0007)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记事件 A=“100 次独立测量中至少有 3 次测量误差 X 的绝对值大于 196”=“100 次独立测量中，事件X196至少发生 3 次”，依题意，所求 =P(A)如果记事件C=X196，Y 表示 100 次独立测量中事件 C 发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中p=P(C) p=P(C)=PX196=1-PX196 =1-P-196X196= =21-(196)=2
27、0025=005， 因此所求的概率 =P(A)=PY3=1-PY3 =1-PY=0-PY=1-PY=2，其中 PY=k= 由于 n=100 充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理的条件，可认为 Y 近似服从参数为 5 的泊松分布因此 PY=k ，其中 =np=5，于是 1-e -5 -5e -5 - )解析：31.设随机变量 X 的分布函数为 已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从 X 的分布函数 F(x)可知：X 只取-2，-1 与 1 三个值，其概率分别为03，03，04，因此随机变量 ，其相应概率分别为 03，03 与 0.4因此Y的分布律为
28、=03，Y的分布函数为 )解析：解析：显然 X 是离散型随机变量，32.设离散型随机变量 X 服从参数为 p(0P1)的 0-1 分布()求 X 的分布函数 F(x)； ()令 Y=F(X)，求 Y 的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() F(x)=PXx= () Y=F(X)= PY=0=PX0=0， PY=1-P=P0X1=PX=0=1-P， PY=1=PX1=PX=1=p， 于是 Y 的分布律与分布函数分别为 )解析：33.已知随机变量 X 的分布函数 F X (x)= (0)，Y=lnX()求 Y 的概率密度 f Y (y)；()计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设知 X 的概率密度 f X (x)= 所以 Y 的分布函数 F Y (y)=PYy=PlnXy(yR) 由于 PX1=1，故当 y0 时 F Y (y)=0；当 y0 时， 可见，Y 服从参数为 的指数分布 ()PYk= ，由于 0，0e - 1，故 )解析：
