1、考研数学三（随机变量及其分布）-试卷 2及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的分布函数 F(x)= ，则 PX=1= （分数：2.00）A.B.C.D.3.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.4.假设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点
2、5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00）A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数6.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，则常数 a= （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX-应该（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法
3、比较 p 1 与 p 2 的大小9.设随机变量 x的密度函数为 f X (x)，Y=-2X+3，则 Y的密度函数为 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)-bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ，i=0，1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设离散型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2
4、.00）填空项 1:_13.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1-X已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 若 k满足概率等式 PXk= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX-092= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1.（
5、分数：2.00）填空项 1:_18.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数，常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.已知随机变量 XN(0，1)，求：()Y= （分数：2.00）_21.设连续型随机变量 X的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：2.00）_22.设随机变量 X服从参数 = （分数：2.00）_23.袋中装有大小相同的 10只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“大于 5”，“
6、等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X，并写出 X的分布律和分布函数（分数：2.00）_24.设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为 09，问 a是多少?（分数：2.00）_25.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X的概率函数（分数：2.00）_26.向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(-，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随机点落入(-，0得 0分，落入(1，+)得 1分，而落入(0，1坐标为 x的点得 x分试
7、求得分 X的分布函数 F(x)（分数：2.00）_27.设随机变量 X服从a，a+2上的均匀分布，对 X进行 3次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1的概率（分数：2.00）_28.设某一设备由三大部件构成，设备运转时，备部件需调整的概率分别为 01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X的分布函数（分数：2.00）_29.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 =-2lnX； ()Y 3 = （分数：2.00）_30.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_31.设随机变量
8、X服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X，求 Y的概率密度（分数：2.00）_32.某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6次若 6次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布（分数：2.00）_33.设随机变量 X服从参数为 A的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）_34.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_考研数学三（随机变量及其分布）-试卷 2答案解析(总分：68.
9、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的分布函数 F(x)= ，则 PX=1= （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由 PX=x=F(x)-F(x-0)，可知 PX=1=F(1)-F(1-0)=3.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若 0c1，则 ，(A)不对因 P=C+11，故(C)不对若 c=1，p=4.假设随机变量 X服从指数分布，则
10、随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：解析：由于 Y=minX，2= 所以 Y的分布函数为 5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00）A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析：解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，F(x)=PXx=6.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，则常数 a= （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由泊松分布知，PX=k= 当 a(e+1)=1即 a=7.设随机变量 X服从正态
11、分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX-应该（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 XN(， 2 )，则 N(0，1)，因此 8.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX-4，p 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析：p 1 =PX-4= =(-1)=1-(1)， p 2 =PY+5=1-PY+5= 9.设随机变量 x的密度函数为 f X (x)，Y=-2X+3，则 Y的密度函数
12、为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=-2x+3 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)-bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对任何 x，为保证 F(x)0，a 与-b 均应大于 0，又 F(+)=aF 1 (+)-bF 2 (+)=a-b=1，应选(A)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ，i=0，
13、1，则 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1，所以 p 2 +p-1=0解得 12.设离散型随机变量 X的分布函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于分布函数 F(x)只在 x=-1，0，1 处有 3个间断点，因此离散型随机变量 X与X的概率分布分别为 X的分布函数 F X (x)为 13.假设 X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1-X已知 PX029=075，则满足PYk=025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
14、答案：正确答案：0.71）解析：解析：由于 PYk=P1-Xk=PX1-k=1-PX1-k=025， 可见 PX1-k=1-025=075 由 PX029=075，得 1-k=029，k=07114.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 f(x)= 作变换，得 将其与正态分布 N(1，12)的密度比较，可得15.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 若 k满足概率等式 PXk= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3）解析：解析：当 x0 时，PXx=0， PXx=1； 当 0x1 时，PXx= 当 1x3 时，P
15、Xx= 当 3x6 时，PXx= 当 x6 时，PXx=1，PXx=0 因此满足 PXk=16.设随机变量 X服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX-092= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.025）解析：解析： 由 PX3=17.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示方程 y 2 +4y+X=0无实根，依题意 PA)=P16-4X0=PX4= 即 18.设 F(x)是连续型随机变
16、量 X的分布函数，常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.已知随机变量 XN(0，1)，求：()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用定义法求分布函数，而后再求概率密度 ()由题设知 Y是离散型随机变量，其概率分布为 PY=-1=PX1=(1)， PY=1=PX1=1-PX1=1-(1)=(-1)， 故 Y的分布函数 ()Y=e X 的分布函数 F(y)=PYy=Pe X y，故当 y0 时，F(y)=0；
17、当 y0 时，F(y)=PXlny=(lny)，即 ()Y=X的分布函数 F(y)=PXy，当 y0 时，F(y)=0；当y0 时， F(y)=PXy=P-yXy=(y)-(-y)=2(y)-1， )解析：21.设连续型随机变量 X的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，F Y (y)=0；当 y0 时， 所求 Y的分布函数为 将 F Y (y)对 y求导数，得到 Y的概率密度为 )解析：解析：求一个随机变量函数 Y的分布，如果 Y是连续型，则求 Y=g(X)的概率密度 f Y (y)的最基本方
18、法是分布函数法；如果 y=g(x)是关于 x的单调可导函数且其导数恒不为零，则可用单调函数公式法求解 f Y (y)22.设随机变量 X服从参数 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 y的取值一定不小于 0且不大于 2，即 P0Y2=1由于 X服从参数 = 的指数分布，因此当 x0 时，PXx=1- 当0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy=1- 于是，Y 的分布函数为 )解析：23.袋中装有大小相同的 10只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“大于 5”，“等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个
19、随机变量 X，并写出 X的分布律和分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设随机变量 y表示从 10个球中任取一只，其球上的号码数，令 则有 P(Y=i=01，i=0，1，9，P(X=0=05，PX=1=01，PX=2=04于是 X的分布函数为 )解析：24.设随机变量 X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X的四个值，已知至少有一个大于 a的概率为 09，问 a是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意 0a1 且 PXa=1-a，PXa=a，且 a 4 =1-09=01，a= )解析：25.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信
20、的邮箱数 X的概率函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见 X是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，则相应概率分别为 )解析：26.向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(-，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随机点落入(-，0得 0分，落入(1，+)得 1分，而落入(0，1坐标为 x的点得 x分试求得分 X的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 H 1 ，H 2 ，H 3 分别表示事件：随机点落入(-，0，(0，1和(1，+)，它们构成完备事件组由条件知 P(H 1 )=02，P(H 2 )
21、=05，P(H 3 )=03 于是，由全概率公式即得 )解析：27.设随机变量 X服从a，a+2上的均匀分布，对 X进行 3次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y表示对 X进行 3次独立观测，其观测值小于 a+1的次数，P=PXa+1=05，则 YB(3，05)所求概率为 PY=0+PY=1=05 3 + )解析：28.设某一设备由三大部件构成，设备运转时，备部件需调整的概率分别为 01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 只取 0，1，2，3 各值，为计算
22、概率 PX=i，i=0，1，2，3，设 A i =第 i个部件需要调整，i=1，2，3依题意，A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，且 P(A 1 )=01， P(A 2 )=02，P(A 3 )=03. =010807+090207+090803=0398， PX=2=1-PX=0-PX=1-PX=3=0092 于是 X的分布函数 F(x)为 )解析：解析：显然 X是离散型随机变量，为求 X的分布函数 F(x)，我们应首先求出 X的分布律，即 X的所有可能取值与相应概率29.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 =-2lnX；
23、 ()Y 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，X 的概率密度为 f X (x)= ()y=e x 在(0，1)内是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=lny的定义域为(1，e)，x=h“(y)= 0，用公式(216)即得 Y的概率密度为 ()y=-2lnX 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域为(0，+)，h“(y)= 0，根据公式(216)，Y 3 的概率密度为 ()y= 在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)= 的定义域为(1，+)，当 y1 时，其导数 h“(y)= 0，应用公式(216)，Y 3 的概率密度为 ()y=x 2 在
24、(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域亦为(0，1)，且h(“y)= 0应用公式(216)，Y 4 的概率密度为 )解析：30.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X是只取非负值的随机变量，所以在(0，+)内 y= 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=y 2 的定义域为(0，+)，h“(y)=2y0，根据公式(216)，Y= 的概率密度f Y (y)为 )解析：31.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X，求 Y的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，PYy=0；
25、当 y0 时， PYy=PXy=P-yXy=(y)-(-y) 于是 Y的分布函数 F Y (y)为 当 y0 时，F“ Y (y)=(y)+(-y)=2(y) Y 的概率密度 f Y (y)为 )解析：32.某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6次若 6次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该人在选拔赛中跳的次数为 X，显然 X是一个离散型随机变量，其全部可能取值为 1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有
26、PX=1=06，PX=2=0406， PX=3=04 2 06， PX=4=04 3 06， PX=5=04 4 06，PX=6=04 5 即 X的概率分布为 )解析：33.设随机变量 X服从参数为 A的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为 设 Y=G(X)的分布函数为 H(X)，对于分布函数 G(x)易见，当 y0 时， H(Y)=PYY=PG(X)y=0； 当 y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=1； 当 0y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=PXy=1-e -y 于是，Y=G(X)的分布函数 )解析：34.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接应用 F(x)=PXx，F Y (y)=PF(X)y求解 () F(x)=PXx= ()令 Y=F(X)，则由 0F(x1 及 F(x)为 x的单调不减连续函数知(如图 21)，当 y0 时 F Y (y)=0；当 y1 时，F Y (y)=1；当 0y 时， F Y (y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)y )解析：
