1、考研数学二-188 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设当 x0 时，有 ax3+bx2+cx ，则_Aa= ，b=1，c=0 Ba=- ，b=1，c=0Ca= （分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 y=e1/x2arctan （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5. （分数：4.00）A.B.C.D.6.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_Ay “-y-2y=3x
2、ex By “-y-2y=3exCy “+y-2y=3xex Dy “+y-2y=3ex（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有_AA 的列向量组线性相关，B 的行向量组线项相关 BA 的列向量组线性相关，B 的列向量组线项相关CA 的行向量组线性相关，B 的行向量组线项相关DA 的行向量组线性相关，B 的列向量组线项相关（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知三阶实矩阵 A=(aij)33满足条件：|A|=1，a 33=-1，a ij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为 aij的代数余子式，则方程组 的解是_A B C D （
3、分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.极限 （分数：4.00）填空项 1:_11.设平面区域 D 为 x2+y21，则二重积 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(2)=1 的解 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 G 是位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 a1=(1，2，-1，0) T，a 2=(1，1，0，2) T，a 3=(2，1，1，a) T，若有 a1，a 2，a 3生成的向量空间维数为 3，则 a 应满足 1（分数：4.00）填空项 1
4、:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求极限 （分数：9.00）_16.求函数 z=2x2-2xy+y2在区域 D:|x|+|y|1 上的最大、最小值（分数：11.00）_17.设 z=cos(xy)+ (x， )，求 ，其中 （分数：10.00）_18.设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：10.00）_19.设 e-2abe -1，证明 alnb-blna3e 4(ab2-a2b)（分数：11.00）_一质量为 M，长为 的均匀细杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点位于杆 AB 的中垂线上，且与 AB的距离为 a，试求：（
5、分数：11.00）(1).细杆 AB 与质点 C 的相互吸引力的大小；（分数：5.50）_(2).当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C(0，a)沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：5.50）_20.设函数 y=f(x)在(-，+)内可导，且对任意实数 a，b 均满足 f(a+6)=eaf(6)+ebf(a)，又 f(0)=1，试求 f(x)及 f(x)（分数：11.00）_设 a1，a 2， 1， 2为三维列向量组且 a1，a 2与 1， 2都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 a1，a 2和 1， 2线性表示；（分数：5.50）_(2)
6、.设 a1=*，a 2=*， 1=*， 2=*，求出可由两组向量同时线性表示的向量（分数：5.50）_已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY，下的标准形为-y 21-y22，且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求解矩阵 A；（分数：5.50）_(2).证明 A-E 为负定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：5.50）_考研数学二-188 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.极限 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用求幂指数型极限的一般方法，即求 归结为求：因此2.设当 x
7、0 时，有 ax3+bx2+cx ，则_Aa= ，b=1，c=0 Ba=- ，b=1，c=0Ca= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ax3+bx2+cx ，所以 ，显然 x=0由于，当 x0 时，sin(In(1+2x)ln(1+2x)2x，所以3.曲线 y=e1/x2arctan （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 当 x0 时，所以 x=0 是函数的垂直渐近线，当 x时所以 是函数的水平渐近线4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 ，于是 f(0)=0再由5. （分数：4.00）A.B.
8、 C.D.解析：解析 令 x2=t，则6.函数 y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是_Ay “-y-2y=3xex By “-y-2y=3exCy “+y-2y=3xex Dy “+y-2y=3ex（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设 y1=ex及 y2=e-2x是所求方程对应的齐次方程的解，故特征方程有根 r1=1，r 2=-2，特征方程为：(r-1)(r+2)=r2+r-2=0齐次方程为 y “+y-2y=0设所求方程为 y“+y-2y=f(x)将 y“=xex代入其中得 f(x)=3ex7.设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有_AA
9、 的列向量组线性相关，B 的行向量组线项相关 BA 的列向量组线性相关，B 的列向量组线项相关CA 的行向量组线性相关，B 的行向量组线项相关DA 的行向量组线性相关，B 的列向量组线项相关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A=(a 1a 2，a s)，其中 ，其中 i=(bi1，b i2，b in)(i=1，2，s)由于 A0，故存在 i，使(a i1，a i2，a is)(0，0，0)，于是第 i 行是 ai1 1+ai2 2+ais s=0，故 B 的行向量组线性相关由于 B0，故存在 j，使 ，于是 AB=(a1a 2，a s) (0，0，0)第 j 列是b1ja1+b2
10、ja2+bsjas=0，故 A 的列向量组线性相关，选项 A 正确8.已知三阶实矩阵 A=(aij)33满足条件：|A|=1，a 33=-1，a ij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij为 aij的代数余子式，则方程组 的解是_A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 Aij应马上联想到 A*及行列式按行(或列)展开显然由 aij=Aij有 于是|A *|=|AT|=|A|，又 N=3，所以|A *|=|A|n-1=|A|2所以|A|=|A| 2，故|A|=0(舍去)，|A|=1，又 1=|A|=a31A31+a32A32+a33A33=a231+a232+a
11、233=a231+a232+1所以 a231+a232=0 a31=a32=0因为|A|=1，由 得所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2 2-8）解析：解析 令 t= ，得10.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 本题为“”型未定式，作变量替换 后未定式化为“ ”型11.设平面区域 D 为 x2+y21，则二重积 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于积分区域是圆域，故考虑用极坐标进行计算本题的被积函数用极坐标表示较复杂，最好将被积函数变成 的形式由于积分区域关于 y=x
12、 对称，所以12.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(2)=1 的解 y= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 将方程变量分离，由 xy+y=0，得 ，两边积分得：y= ，将 y(2)=1 代入得 c=2，故13.设 G 是位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 14.设 a1=(1，2，-1，0) T，a 2=(1，1，0，2) T，a 3=(2，1，1，a) T，若有 a1，a 2，a 3生成的向量空间维数为 3，则 a 应满足 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a6）解析：解析 由 a1，a 2，a 3所生成的向
13、量空间的维数是 3，可知向量组的秩 r(a1，a 2，a 3)=3，那么对(a1，a 2，a 3)做初等变换，有三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.求极限 （分数：9.00）_正确答案：( )解析：16.求函数 z=2x2-2xy+y2在区域 D:|x|+|y|1 上的最大、最小值（分数：11.00）_正确答案：(令 ，解方程组得驻点(0，0)D，且 z(0，0)=0，D 的边界|x|+|y|=1 由四条线段组成：L1:x+y=1 L2:x-y=1 (0x1)L3:x+y=-1 L4:y-x=1 (-1x0)在 L1上:z=5x 2-4x+1=0，由 zx=10x-4=0 得 ，
14、，z(0)=1，z(1)=2即最大值为 2,最小值为 在 L2上:z=x 2+1，由 zx=2x=0 得 x=0z(0)=l，z(1)=2即最大值为 2，最小值为 1在 L3上:z=5x 2+4x+1，由 zx=10x+4=0 得，z(-1)=2，z(0)=1，即最大值为 2,最小值为 在 L4上:z=x 2+1，由 zx=2x=0 得 x=0z(0)=1，z(-1)=2，即最大值为 2，最小值为 1综上所述，z 在 D 上的最大值为 2，最小值为 )解析：17.设 z=cos(xy)+ (x， )，求 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：18.设 y=y(x)是一向上凸的连续
15、曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：10.00）_正确答案：(因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得这是高阶可降阶方程的初值问题：令 y=p，y “= ，则有 =-(1+p2) arctanp=C1-x因为曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为 y=x+1，所以 ，从而 ，积分得 因为曲线过点(0，1)，所以 C2=1+ 所求曲线为 因为 ，所以当 x= 时函数取极大值 1+ )解析：19.设 e-2abe -1，证明 alnb-blna3e 4(ab2-a2b)（分数：11.00）_正确答案：(方法一：要证 alnb-blna3e 4(ab2-a2b)，即要证 构造辅助
16、函数 则 F(x)在e -2，e -1上连续，在(e -2，e -1)内可导，应用拉格朗日中值定理，得： 设 ，e -2te -1，则有 ，e -2te -1即 g(x)在(e -2，e -1)内单调减小，从而 g(t)g(0)=3e 4故即 alnb-blna3e 4(ab2-a2b)方法二：要证 alnb-blna3e 4(ab2-a2b)，即证设 ，则当 e-2xe -1时， “(x)0，所以在区间(e -2，e -1)内 (x)单调减少，则有 (x) (e-2)=3e4-3e4=0 所以 (x)在区间(e -2，e -1)内单调减少又 e-2abe -1，所以 (b)(a)，即 )解析
17、：一质量为 M，长为 的均匀细杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点位于杆 AB 的中垂线上，且与 AB的距离为 a，试求：（分数：11.00）(1).细杆 AB 与质点 C 的相互吸引力的大小；（分数：5.50）_正确答案：(如图，选 x 做积分变量，则 x 的取值范围为 ，引力微元为 所以 令 x=atant)解析：(2).当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C(0，a)沿 y 轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：5.50）_正确答案：(根据上面的计算，当质点 C 位于坐标(0，y)处时，引力的大小为 ，于是 令 ，有 )解析：20.设函数 y=f(x)在(-，+)内可
18、导，且对任意实数 a，b 均满足 f(a+6)=eaf(6)+ebf(a)，又 f(0)=1，试求 f(x)及 f(x)（分数：11.00）_正确答案：(由于对任意 a，b，等式 f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)均成立，故建立微分方程根据导数的定义，利用导数的定义式 f(x+x)展开令 a=b=0，由 f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)得，f(0)=0，又 f(0)=1 故 f(x)=exf(0)+f(x)=ex+f(x)即 f(x)的微分方程为 f(x)-f(x)=ex，f(0)=0 两边乘 e-x，得(e -xf(x)=1，两边积分，得 )解析：设 a1，a 2， 1， 2为
19、三维列向量组且 a1，a 2与 1， 2都线性无关（分数：11.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 a1，a 2和 1， 2线性表示；（分数：5.50）_正确答案：(因为 a1，a 2， 1， 2线性相关，所以存在不全为零的常数 k1，k 2， 1， 2，使得k1a1+k2a2+ 1 1+ 2 2=0 或 k1a1+k2a2=- 1 1- 2 2令 =k 1a1+k2a2=- 1 1- 2 2，因为 a1，a 2与 1， 2都线性无关，所以 k1，k 2及 1， 2都不全为零，所以 0)解析：(2).设 a1=*，a 2=*， 1=*， 2=*，求出可由两组向量同时线性表示的向量
20、（分数：5.50）_正确答案：(令 k 1a1+k2a2+ 1 1+ 2 2=0则 )解析：已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 在正交变换 X=QY，下的标准形为-y 21-y22，且 Q 的第三列为 （分数：11.00）(1).求解矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(二次型 XTAX 在正交变化下的标准形为-y 12-y22，说明二次型的特征值为-1，-1，0又因为 Q的第三列是 ，说 a3=(1，1，0) T是矩阵 A 关于特征值 =0 的特征向量因为 A 是实对称矩阵，特征值不同的特征向量相互正交，设 A 关于 1= 2=-1 的特征向量为 a=(x1，x 2，x 3)T，则 aTa3=0，即x1+x2=0取 a1=(0，0，1) T，a 2=(-1，1，0) T为特征值 1= 2=-1 的特征向量由 A(a1，a 2，a 3)=(-a1，-a 2，0)，得 )解析：(2).证明 A-E 为负定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵（分数：5.50）_正确答案：(由于矩阵 A 的特征值为-1，-1，0，那么 A-E 的特征值为-2，-2，-1，因为 A-E 的特征值全部小于 0，所以 A=E 负定)解析：
