1、考研数学二-201 及答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.由下列各条件可以得出 的是_A对任意 0，存在正整数 N，当 nN 时，有|x n-a| （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内_Af(x)0，f(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C.D.3.下列计算正确的是_A因 是奇函数，故BCD设 f(x)是奇函数，所以 （分数：4.00）_4. =_A2 B C
2、 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列矩阵中属于正定矩阵的是_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ABCD （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.若 f(x)0，且在0，1上连续，则（分数：4.00）填空项 1:_11.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)在0
3、，a上连续，且f(x)+f(a-x)0，x0，a，则（分数：4.00）填空项 1:_13.设 ，f 具有连续二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设函数 f(x)具有二阶导数，且满足f(x)+f(-x)=sinx，f(/2)=0，求 f(x)（分数：10.00）_16.试求曲线 （分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 0ab试证至少存在一点 (a，b)，使得（分数：10.00）_18.求曲线 r=asin2(a 为常数)在 （分数：10.00）_19.
4、一个比重为 1，半径为 R 的球体沉入水中，它与水平面相接，要从水中把球捞出，需做多少功?（分数：10.00）_20.已知（分数：10.00）_21.设二阶常数系数线性微分方程 y“+ay+by=cex的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：10.00）_22.在方程组（分数：10.00）_23.已知 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量，满足（分数：10.00）_考研数学二-201 答案解析(总分：146.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.由下列各条件可以得出 的是_A对任意 0，存在
5、正整数 N，当 nN 时，有|x n-a| （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 准确理解极限定义中的“N”语言的含义(A)中条件虽与极限定义稍有不同，但注意 0 时，有 ，只是 趋近于 0 的速度慢些但由完全可以保证数列 xn与 a 无限接近仅(A)入选一般地，对于 的函数 f()，只要满足当 0 时，有 f()0，因而将(A)中条件 换为 f()，结论仍成立(B)中条件不能得到 例如数列xn=(-1)n+a，取 =2，则对任意 N，当 nN 时，有|x n-a|=1，但 xn显然发散(C)中条件也不能得到 例如数列xn=(-1)n+a，对任意 N，存在 =2，当 nN 时，有|x
6、 n-a|，但 xn发散(D)中条件也不能得到2.若 f(x)=-f(-x)，在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内_Af(x)0，f(x)0 Bf(x)0，f“(x)0Cf(x)0，f(x)0 Df(x)0，f“(x)0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f(x)为奇函数利用奇函数的下述性质推出正确结果：奇函数在对称区间内正负性相反，而单调性相同，但凹向相反，且拐点关于原点对称可把 f(x)视为在(-，+)内的奇函数：已知在(0，+)内 f(x)0，f“(x)0，利用上述性质，则f(x)在对称区间(-，0)内，必有f(x)0，f“(x)0例如 f(x
7、)=x3，有f(x)-f(-x)=-(-x3)=x3，在(-，0)内，f(x)=3x 20， f“(x)=6x0对比四个选项知，仅(C)成立3.下列计算正确的是_A因 是奇函数，故BCD设 f(x)是奇函数，所以 （分数：4.00）_解析：4. =_A2 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先作代换将反常积分化为定积分计算如积分区间为对称区间，为简化计算，还应考察被积函数或其子函数的奇偶性原式5.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用隐函数的求导法则及已知条件，如能证明 y(x0)=0，y“
8、(x0)0，则 x0为 y(x)的极小值点按隐函数求导法知，y(x)满足令 x=x0相应地 y=y0，因故 y(x0)=0将上式再对 x 求导，并注意 y=(x)。既得再令 x=x0，相应地 y=y0由 y(x0)=0， (x0,y0)0，得到因6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 注意到 ，而因而可在(-，-1)，(-1，+)内分别使用介值定理，说明 f(x)有两个零点，再由 f(x)的单调性说明仅有两个零点求 f(x)，分析其单调性区间由于因此 x=-1 是 f(x)的最小值点，且 又7.下列矩阵中属于正定矩阵的是_ABCD （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析
9、 n 阶矩阵 A=aij为正定矩阵的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，而必要条件是aii0可用此判别正确选项解一 (C)中矩阵的元素 a33=-10，必不正定；(A)中矩阵的二阶顺序主子式 =-10，必不正定；(D)中矩阵的三阶顺序主子式|A|=-10，必不正定由排除法可知，仅(B)入选解二 (B)中矩阵的一阶顺序主子式大于 0，显然其二阶顺序主子式 0，其三阶顺序主子式8.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_ABCD （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用系数矩阵 A 的秩的性质判别由题设知 1与 2线性无关(分量不成比例)，故有 3-秩(A)2，从而
10、秩(A)1显然只有(A)满足要求仅(A)入选二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 作变量代换或提公因式，再利用等价无穷小代换 x-sinxx 3/6(x0)简化求之解一 令 t=1/x，x时，t0，则原式=解二原式=10.若 f(x)0，且在0，1上连续，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先取对数，进行恒等变形得到再化为积和式用定积分定义求之原式=11.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 用复合函数求导法则求之由 f(x)=arctanx2得故12.设函数
11、 f(x)在0，a上连续，且f(x)+f(a-x)0，x0，a，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先作变量代换 t=a-x，可得到所给积分的另一种表示方式，两者相加，其值非常容易求了记 令 t=a-x，则 x=a-t，dx=-dt将式、式相加得即13.设 ，f 具有连续二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用二元复合函数高阶偏导数的求法求之要特别注意的是在一次求导后的函数 仍是复合函数，即 和 与 f 一样都是关于(xy，y/x)的函数，亦即再次对 x 或 y 求偏导时，也必须运用复合函数求导法则由题设条件得14.已知 （
12、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 矩阵方程中同时出现未知矩阵 A*及 A-1时，常在原方程两边同时左乘或右乘矩阵 A，利用A*A=AA*=|A|E, AA-1=A-1A=E消掉 A*与 A-1，简化方程，在此基础上再提取公因式使所求矩阵成为因子矩阵，最后求行列式算出结果.在原方程两边左乘 A，利用|A|=3，得到AA*B+2AA-1=AB，|A|B+2E=AB即AB-3B=2E，(A-3E)B=2E， |A-3E|B|=|2E|，故三、解答题(总题数：9，分数：90.00)15.设函数 f(x)具有二阶导数，且满足f(x)+f(-x)=sinx，f(/2)=0，求 f
13、(x)（分数：10.00）_正确答案：(应作代换 -x=u 将其化为标准微分方程，然后再求解为此先在原方程两边求导.在已知等式两端对 x 求导，得到f(x)-f“(-x)=cosx令 u=-x，即 x=-u，上述方程化为f(-u)-f“(u)=cos(-u)=-cosu，即 f(-x)-f“(x)=-cosx又f(x)+f(-x)=sinx，由式-式得到-f“(x)f(x)=-cosx-sinx，即f“(x)+f(x)=cosx+sinx易求得通解为由 f(/2)=0 且 f(x)+f(-x)=sinx 易求得 f(/2)=1，代入求得于是)解析：16.试求曲线 （分数：10.00）_正确答案
14、：(先求 y，y“；再分别令 y=0，y“=0 求出拐点；最后求出两个拐点的直线方程，然后将另一个拐点代入，若满足直线方程即证得三点在同一条直线上令 y“=0，即 2(x-a)(x2+4ax+a2)=0，从而得将 x1，x 2，x 3分别代入 ，得对拐点的判断如下：y“=2(x-x1)(x-x2)(x-x3)， x 1x 2x 3由上表可知拐点分别为可求得过 B，C 点的直线的斜率为且由点斜式可求得过 B，C 点的直线方程为将 A )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 0ab试证至少存在一点 (a，b)，使得（分数：10.00）_正确答案：(待证中值等式中出现 a
15、f(b)-bf(a)式子时，常在待证等式两端除以 ab 将其化为 ，从而找到证明中值等式的辅助函数 证 在待证等式两端除以 ab，待证中值等式化为即由上等式左端易知，应设辅助函数对其在a，b上使用拉格朗日中值定理易验证 F(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导满足拉格朗日中值定理的条件于是由该定理知，存在 (a，b)使得即亦即 )解析：18.求曲线 r=asin2(a 为常数)在 （分数：10.00）_正确答案：(先利用参数方程的导数求法求出曲线在点 =/4 处的导数(斜率)，然后分别写出切线方程和法线方程将极坐标方程化为参数方程：则在 处，从而 k 法 =1则所求切线方程为即所求法线方
16、程为)解析：19.一个比重为 1，半径为 R 的球体沉入水中，它与水平面相接，要从水中把球捞出，需做多少功?（分数：10.00）_正确答案：(先求出重力做功的功元素，再积分即可求得所求的功!取水面为 x 轴，如图建立坐标系，球与 xOy 平面的交线为x2+(y-R)2=R2将球从水中取出，球中介于y，y+dy的小薄片总的行程为 2R，其中在水中行程为 y，由于球与水的比重一样，在水中重力与浮力的合力为零，故做功为零，其余行程为 2R-y，由重力 x 2dy 做功，即dA=(2R-y)x 2dy因x2=R2-(y-R)2，故 )解析：20.已知（分数：10.00）_正确答案：(f(ux)的中间变
17、量 ux 与积分变量 u 不一致，需先作变量代换化为一致将其结果再求导，去掉积分号，得一关于 f(x)的一阶微分方程，解之即可求得 f(x)令 ux=t(x0)，则于是原方程化为即两边对 x 求导，得f(x)=2+2x-2f(x)-2xf(x)，即此为一阶线性微分方程，其通解，其中 c 为任意常数 )解析：21.设二阶常数系数线性微分方程 y“+ay+by=cex的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：10.00）_正确答案：(由所给特解易看出 1 与 2 为特征方程的根故特征方程为(r-2)(r-1)=r2-3r+2=0，从而可求得 b 与
18、a易看出 ex或 xex也满足方程，代入后可确定另一常数(1)由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2，故特征方程为(r-1)(r-2)=0，即 r2-3r+2=0，于是 a=-3，b=2为确定 c，只需将 y1=xex代入方程得(x+2)ex-3(x+1)ex+2xex=cex， c=-1(2)对应齐次方程的通解为y=c1ex+c2e2x设原方程的特解为 y*=Axex将其代入原方程得到 A=1，故原方程通解为y=Y+y*=c1ex+c2e2x+xex，其中 c1，c 2为任意常数)解析：22.在方程组（分数：10.00）_正确答案：(所给方程组的增广矩阵用初等行变换，利用 a1+a2=b1
19、+b2化为行阶梯形矩阵，证明增广矩阵与系数矩阵的秩相等，且秩( )=秩(A)n=4，从而该方程组有无穷多解进一步将变换矩阵化为含最高阶单位矩阵的矩阵，从而能写出其基础解系和特解，求出其一般解由 易看出秩( )=秩(A)=3n=4，故所给方程组有解，且有无穷多组解下求其一般解为此用初等行变换将 化为含最高阶单位矩阵的矩阵，从而即可写出其特解和基础解系：)解析：23.已知 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的三维列向量，满足（分数：10.00）_正确答案：(求特征值既可用特征多项式求之，也可根据相似矩阵有相同的特征值求之特征向量既可用解齐次方程组( iE-A)X=0 求之，也可用 P-1A
20、P=A 求之，其中 P 的各个列向量就是 A 的特征值所对应的特征向量()据已知条件，有那么由 1， 2， 3线性无关知，矩阵 P1= 1， 2， 3可逆，且 AP1=B，即 A 与 B 相似由矩阵B 的特征多项式得矩阵 B 的特征值为 1，2，3，从而矩阵 A 的特征值也是 1，2，3()由(E-B)x=0 得基础解系 1=1，1，1 T，即为矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量；由(2E-B)x=0 得基础解系 2=2，3，3 T，即为矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量；由(3E-B)x=0 得基础解系 3=1，3，4 T，即为矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量那么令 P2= 1， 2， 3，则有 于是令= 1+ 2+ 3,2 1+3 2+3 3, 1+3 2+4 3则有故矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为k1( 1+ 2+ 3)， k 2(2 1+3 2+3 3)， k 3( 1+3 2+4 3)，其中 k1，k 2，k 30()由 及|A|=6 知，从而 )解析：
