1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 11 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点D.至少有三个不可导点3.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n 为( )（分数：2.00）A
2、.0B.1C.2D.35.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2在区间 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.06.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 处不连续D.可导且 “(x)在 x=0 处连续7.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导8.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导D.可导9.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(
3、x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab。10.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.312.设 f(x)在a，b可导 （分数：2.00）A.f + “(a)=0B
4、.f + “(a)0C.f + “(a)0D.f + “(a)013.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件14.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件15.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=
5、a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f（A）=0 且 f“(a)（a）=0B.f（A）=0 且 f“(a)0C.f(A)0 且 f“(a)0D.f（A）0 且 f“(a)016.设函数 f(x)在 x=0 外连续，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若B.若C.若D.若二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.为奇函数且在 x=0 处可导，则 f“(0)= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 348 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y
6、) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 y=(1+sinx) x ，则 dy x- = 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.已知 （分数：2.00）填空项 1:_23.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 （分数：2.00）填空项 1:_25.已知 （分数：2.00）填空项 1:_26.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：5，分数：10.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 （分数：4.00）(1).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续。（分
7、数：2.00）_(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_28.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f“(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一，+)f“(x)都存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_29.设 y=x x2 (x0)，求 （分数：2.00）_30.设 y=f(t), 其中 f，g 均二阶可导且 g“(x)0，求 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 11 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，
8、分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 （分数：2.00）A.处处可导B.恰有一个不可导点C.恰有两个不可导点 D.至少有三个不可导点解析：解析：本题可以先求出 f(x)的表达式，再讨论其不可导点。 x1 时, x=1 时,x1 时, 即 f(x)的表达式为3.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |，则导数 f“(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 (x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则 f(x)=(x)
9、。使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 “(x)在这些点的值。“(x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，显然，“(1)0，“(2)=0，“(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1。故选 B。4.设 f(x)=3x 2 +x 2 x，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n 为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：由 3x 3 任意阶可导，本题实质上是考查分段函数 x 2 x在 x=0 处的最高阶导数的存在性
10、。事实上，由 5.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)sin2在区间 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g(x)=x 2 +x 一 2，(x)=sin2x，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续但有不可导点。所以只需考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零。(x)=sin2x的图形如图 12-3 所示，在 内的不可导点为 因为 ，所以 g(x)=g(x)(x)在 x=0， 6.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0。 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 “(x)在 x=0 处不连续D.可导且 “(x)在 x
11、=0 处连续 解析：解析：因为 所以 (x)在 x=0 处连续。7.设函数 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导解析：解析：显然 f(0)=0，对于极限 是无穷小量， 为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知， 因此 f(x)在 x=0 处连续，排除 A、B。又因为8.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析： 9.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x
12、=1 处不可导。B.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=a。C.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=b。D.f(x)在 x=1 处可导，且 f“(1)=ab。 解析：解析：因 且由 f“(0)=b 可知，10.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因11.设 f(x)=xsin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3解析：解析：12.设 f(x)在a，b可导 （分数：2.00）A.f + “(a)=0B.f + “(a)0C.
13、f + “(a)0D.f + “(a)0 解析：解析：由导数定义及题设得13.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：令 (X)=f(x)sinx，显然 (0)=0。由于 14.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g“(a)存在，则 g(a)=0，g“(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非
14、充分非必要条件解析：解析：因 (x)在 x=a 处不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，需用定义求 F“(a)。题设(x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 当 g(a)=0 时， 下面证明若 F（A）存在，则 g（a）=0。反证法，若15.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f（A）=0 且 f“(a)（a）=0B.f（A）=0 且 f“(a)0 C.f(A)0 且 f“(a)0D.f（A）0 且 f“(a)0解析：解析：若 f（A）0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D。当 f(x)在 x=a 可导
15、，且f（A）0 时，f(x)在 x=a 点可导。当 f（A）=0 时，16.设函数 f(x)在 x=0 外连续，下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若B.若C.若D.若 解析：解析：本题主要考查的是导数的极限定义及函数连续与可导的关系。由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数 f(x)判断。取特殊函数二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.为奇函数且在 x=0 处可导，则 f“(0)= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2g“(0)）解析：解析：由 g(x)在 x=0 处可导可知，g(x)在 x=0
16、 处连续。又因为 g(x)是奇函数，所以 g(0)=0。根据导数的定义可得18.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时， 当 x=0 时，19.设 348 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先考察 (x)的可导性并求导。(x)在 x=0 处的左导数为20.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y“一 1=e x(1-y) (1 一 yxy“)，将 x=
17、0，y=1 代入上式，可得 y“(0)=1。所以 21.设 y=(1+sinx) x ，则 dy x- = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 dx）解析：解析：运用等价转换 y=(1+sinx) x =e xln(1+sinx) ，于是 22.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有23.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由已知 而 x1 时 f“(x)=2，所以 f“(一 1)=f“(0)=2，代入可得24.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
18、确答案：(1+3x)e 3x）解析：解析：先求出函数的表达式，即* 于是有 f“(x)=e 3x +x.e 3x .3=(1+3x)e 3x25.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：易知26.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f“(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：由于 d“(x)=(x+1)(x+2)(x+n)+x(x+2)(x+n)+(x+1)(x+2)(x+n1)，所以 f“(0)=n!。三、解答题(总题数：5，分数：10.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
19、骤。_解析：设 （分数：4.00）(1).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处连续。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 若要 g(x)在 x=0 处连续，必须 )解析：(2).a、b 为何值时，g(x)在 x=0 处可导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若要 g(x)在 x=0 处可导，则必须 g(x)在 x=0 处连续(b=一 1)，且 g + “(0)=g + “(0)，所以 )解析：28.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f“(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意的 x(一，+)f“(x)都存在，并求 f(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，得 f(0)=0，为证明 f“(x)存在，则由导数定义 )解析：29.设 y=x x2 (x0)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 y=x x2 两端取对数得 lny=x x lnx，在该式两端同时对 x 求导， )解析：30.设 y=f(t), 其中 f，g 均二阶可导且 g“(x)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分上限函数求导法则可得 )解析：
