1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 2 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导3.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶
2、的无穷小4.函数 f(x)=ln|x 一 1|的导数是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.函数 （分数：2.00）A.(一 1，0)B.C.(1，0)D.6.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.00）A.nf(x) n+1B.n!f(x) n+1C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)!f(x) n+18.函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是 ( ) （分数：2.0
3、0）A.B.C.D.9.函数 y=x x 在区间 （分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是10.函数 f(x)=2x+ （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值D.在 x=一 1 处取极小值，x=0 处取极大值11.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_13.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正
4、值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_16.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则 a，b，c，d 分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若函数 f(x)=asinx+ sin 3x 在 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f(x)=x 3
5、+4x 2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况（分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在，且 f -1 f -1 (x)0证明： （分数：2.00）_23.求函数 y= （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 y=y(x)是由 sin xy= （分数：2.00）_26.设 y=f(ln x)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“
6、(x)=e f(x) , f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_28.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_29.曲线 （分数：2.00）_30.设 (x)= （分数：2.00）_31.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_32.讨论方程 2x 3 一 9x 2 +12xa=0 实根的情况（分数：2.00）_33.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_34.设 f n (x)=x+x 2 +-+x n ，n=2，3，(1)证明方程 f n (x)=1 在0，+
7、)有唯一实根 x n ； （分数：2.00）_35.设 f n (x)=1 一(1 一 cos x) n ，求证： (1)任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有 （分数：2.00）_36.在数 （分数：2.00）_37.证明：方程 x =ln x(0)在(0，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_38.设 0k1，f(x)=kxarctan x证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_39.f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）_40.设 T=cos n，=arccos x，求 （分数
8、：2.00）_41.已知 y=x 2 sin 2x，求 y (50) （分数：2.00）_42. （分数：2.00）_43.已知 f(x)= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 2 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析： =f(0)=0，f(x)在 x=0 点连续 所以 f - “(0)=0 3.设函数 f(x)可导，且
9、曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小 C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小解析：解析：由题设可知 f“(x 0 )=1， 4.函数 f(x)=ln|x 一 1|的导数是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：应当把绝对值函数写成分段函数，f(x)= 当 x1 时， 当 x1 时，5.函数 （分数：2.00）A.(一 1，0)B. C.(1，0)D.解析：解析：因为 f“(x)=x 2 +x
10、+6，所以 f“(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一 1=6x，因此与 x 轴的交点为 6.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(x)在 x= 处的左、右导数为： 因此 f(x)在 x= 处不可导，但有 f + “()= 7.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.00）A.nf(x) n+1B.n!f(x) n+1 C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)!f(x) n+1解析：解析：由 f“(x)=f(x) 2 得 f“(x)=f“(x)=(f(x) 2
11、=2f(x)f “ (x)=2f(x) 3 ， 这样n=1，2 时 f (n) (x)=n!f(x) n+1 成立假设 n=k 时，f (k) (x)=k!f(x) k+1 则当 n=k+1 时，有 f (k+1) (x)=k!(f(x) k+1 =(k+1)!f(x) k f(x)=(k+1)!f(x) k+2 ，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)8.函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，选(B)9.函数 y=x x 在区间
12、（分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是 解析：解析：y=x x (ln x+1)，令 y=0，得 10.函数 f(x)=2x+ （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=一 1 处取极大值，x=0 处取极小值 D.在 x=一 1 处取极小值，x=0 处取极大值解析：解析：11.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值解析：解析： ，当 0|xx 0 | 时， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.曲线 （分数：2.00）填空项
13、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正）解析：解析：利用反证法，假设存在点 x 1 a，b，使得 f(x 1 )0又由题意知存在点 x 2 a，b，x 2 x 1 ，使得 f(x 2 )0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x 1 和 x 2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾14.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用洛必达法则，
14、 ，由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有15.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，+)）解析：解析：16.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则 a，b，c，d 分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，一 3，一 24，16）解析：解析：由条件17.若函数 f(x)=asinx+ sin 3x 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f“(x
15、)=acos x+cos3x，因 为极值点，则 a=2这时 f“(x)=一 2sin x 一 3sin 3x，三、解答题(总题数：26，分数：52.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f(x)=x 3 +4x 2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(一 5)=一 110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在一 5，一 1及一 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1 (一 5，一 1)及 2 (一 1，0)，使得 f( 1 )=f( 2
16、 )=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点 3 ，使得 f( 3 )=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0 在(一，0)内只有两个不等的实根)解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 运用高阶导数公式，得： )解析：22.设函数 f(y)的反函数 f -1 (x)及 f“f -1 (x)与 f“f -1 (x)都存在，且 f -1 f -1 (x)0证明：
17、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=f(y)则其反函数为 y=f -1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得 )解析：23.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 y=y(x)是由 sin xy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程中令 x=0 可得 将方程两边对 x 求导数，得 将 x=0，y(0)=e 2 代入，有 ，即 y(0)=ee 4 将式两边再对 x 求导数，得 一 sin(xy)(y+xy) 2 +cos(xy)(2y+xy“)= 将 x=0，y(
18、0)=e 2 和 y(0)=ee 4 代入，有 )解析：26.设 y=f(ln x)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) , f(2)=1，计算 f (n) (2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=e f(x) 两边求导数得 f“(x)=e f(x) .f“(x)=e 2f(x) ， 两边再求导数得 f“(x)=e 2f(x) 2f“(x)=2e 3f(x) ， 两边再求导数得 f 4 (x)=2e 3f(x) 3f“(x)=3!e 4f(
19、x) . 由以上规律可得n 阶导数 f (n) (x)=(n 一 1)!e nf(x) ， 所以 f (n) (2)=(n 一 1)!e n )解析：28.设曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由导数几何意义，曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线斜率 k=f“(1)=nx n-1 | x=1 =n，所以切线方程为 y=1+n(x-1)，令 y=1+n(x1)=0 解得 ，因此 )解析：29.曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0
20、)，B 于是AOB 的面积为当切点沿 x 轴正向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，有 )解析：30.设 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=f(x)= 当 x0 时，用复合函数求导法则求导得 当 x=0 时(分段点)，用导数定义求导数得 )解析：31.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 则 令 f“(x)=0，得驻点为 x=0，由于 知 x=0 为极小值点，即最小值点 f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(一，+)，有 f(x)0，即有 )解析：32.讨论方程 2x 3 一 9x 2 +12xa
21、=0 实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x 3 一 9x 2 +12x 一 a，讨论方程 2x 3 一 9x 2 +12x 一 a=0 实根的情况，即是讨论函数 f(x)零点的情况显然， )解析：33.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=axe x +b， 求函数 f(x)=axe x +b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f“(x)=ae x +axe x =ae x (1+x)，驻点为 x=一 1， f“(x)=2ae x +axe x =ae x (2+x)，f“(一 1)0，
22、所以，x=一 1 是函数的极小值点，极小值为 f(-1)= (1) 函数 f(x)无零点，即方程无实根； (2) 函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； (3) )解析：34.设 f n (x)=x+x 2 +-+x n ，n=2，3，(1)证明方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f n (x)连续，且 f n (0)=0，f n (1)=n1，由介值定理， (0，1)，使 f n (x n )=1，n=2，3，又 x0 时，f n “(x)=1+2x+nx n-1 0，故 f n (x)严格单增，因此 x n 是
23、f n (x)=1 在0，+)内的唯一实根 (2)由(1)可得，x n (0，1)，n=2，3，所以x n 有界 又因为 f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，所以 x n +x n 2 +x n n =x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n +x n+1 n+1 ， 即(x n +x n 2 +x n n )一(x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n )=x n+1 n+1 0，因此x n x n+1 ，n=2，3，即x n 严格单调减少于是由单调有界准则知 由 x n +x n 2 +x n n =1 得 =1因为 0x n 1，所以 )解析：
24、35.设 f n (x)=1 一(1 一 cos x) n ，求证： (1)任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由保号性知， 0，当 nN 时，有 由 f n (x)的单调减少性质知 )解析：36.在数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考查连续函数 f(x)= 令 得 x=e，且有当 xe 时，f“(x)0，f(x)单调增加； 当 xe 时，f“(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e)为 f(x)当 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 中取到， )解析：37.证明：方程 x =ln x(0)在(0
25、，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ln xx ，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=一 10， =+，故 ，当 xX 时，有 f(x)M0，任取 x 0 X，则 f(1)f(x 0 )0，根据零点定理，至少 )解析：38.设 0k1，f(x)=kxarctan x证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.设 T=cos n，=arccos x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 nsinn(一 sin)=nsin n/sin，因为 =arccos x，当 x1 - 时，0，所以 )解析：41.已知 y=x 2 sin 2x，求 y (50) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式 )解析：43.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
