1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f
2、(0)也不是 y=f(x)的拐点4.设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小5.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(x)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点6.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx 在 x=1 处有极小值-2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3D.a=0，b=37.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可
3、导函数，且 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0，则当 axbb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.x y =y x ，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)为偶函数，且“(-1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.设曲线 y=lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)=
4、（分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_16.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_17.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_18.当 0x （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：2.00）_20.求曲线 y= （分数：2.00）_21.求曲线 y= （分数：2.00）_22.求 y=f(x)= （分数：2.00）_23.证明：当 x0 时， （分数：2.
5、00）_24.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= （分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_(2).存在 (0，3)，使
6、得 f“()-2f“()=0（分数：2.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_(2).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.0
7、0）A.f(x)在 x=a 处可导且 f“(a)0B.f(a)为 f(x)的极大值 C.f(a)不是 f(x)的极值D.f(x)在 x=a 处不可导解析：解析：由 ，根据极限的保号性，存在 0，当 0x-a 时，有3.设 f(x)二阶连续可导，f“(0)=0，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点 B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 注意到 x 3 =o(x)，所以当 0x 时，f“(x)0， 从而 f“
8、(x)在(-，)内单调递减，再由 f“(0)=0 得 4.设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+o(x)，所以y-dy 是x 的高阶无穷小，选(A)5.若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的零点B.(0，f(x)是 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极大点D.x=0 是 f(x)的极小点 解析：解析：由 得 f“(0)=0， 由 1=6.设 f(x)=x 3 +ax 2
9、 +bx 在 x=1 处有极小值-2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3 D.a=0，b=3解析：解析：f“(x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值-2，所以 7.设 f(x)，g(x)(axb)为大于零的可导函数，且 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0，则当 axbb 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a) 解析：解析：由 f“(x)g(x)-f(x)g“(x)0 得二、填
10、空题(总题数：6，分数：12.00)8.x y =y x ，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 x y =y x ，得 ylnx=xlny，两边求导数得 9.设 f(x)为偶函数，且“(-1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-8）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(1)=-2，10.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 ，再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0 由11.设曲线 y=
11、lnx 与 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e 2 两条曲线的公共切线为 y-lne 2 = 12.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 f(x)=13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：由三、解答题(总题数：16，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.证明：当 x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)-xl
12、nx，f(1)=2ln20， 因为 f“(x)=ln(1+x)+1-lnx-1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=24n20 得当 x1 时，f(x)0，即 )解析：解析：当 x1 时，16.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx+ 因为 f“(x)= 0(x0)，所以 f(x)在(0，+)内单调递减， 又因为 )解析：17.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)- f“(x)=ln(1+x)+ arcsinx0(0x1)， 由
13、)解析：解析：18.当 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x-sinx，f(0)=0 f“(x)=1-cosx0(0x )， )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=2x- 因为 f(x)1，所以 1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 “(x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2x- )解析：20.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 y“00 得(x-3) 2 -10，解得 2x4， 故曲线
14、y= )解析：21.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得曲线 y= )解析：22.求 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，所以 y=f(x)没有水平渐近线， )解析：23.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得 )解析：24.设 0a1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx-ax，由 由 为 f(x)的最大点， 由 得方程arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一
15、实根，位于 )解析：25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=lnx，F“(x)= 0， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得即 )解析：26.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)e g(x) ，由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 “()=0，因为 “(x)=e g(x) f“(x
16、)+f(x)g“(x)且 e g(x) (x)0，所以 f“()+f()g“()=0)解析：设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= （分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(t)dt，F“(x)=f(x)， f(t)dt=F(2)-F(0)=F“(c)(2-0)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M，m M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+
17、f(3)=2f(x 0 )， 于是f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) )解析：(2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又 （分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=lnx，F(x)= f(t)dt，且 F“(x)=f(x
18、)0， 由柯西中值定理，存在(1，2)，使得 )解析：(2).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f“()(-1)，其中 1， 故 )解析：27.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 从而 两式相加得 f(x 0 ) )解析：
