1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 4及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1987年)设 It （分数：2.00）A.依赖于 s，tB.依赖于 s，t，C.依赖于 t，不依赖于 sD.依赖于 s不依赖于 t3.(1988年)设 f()与 g()在(，)上皆可导，且 f()g()，则必有 【 】（分数：2.00）A.f()g()B.f()g()C.D. 0 f(t)dt 0 g(t)dt4.(1988年)由曲线 y （分数：2.00）A.B.
2、C.D.5.(1989年)曲线 ycos( （分数：2.00）A.B.C.D. 26.(1990年)设函数 f()在(，)上连续，则 df()d等于 【 】（分数：2.00）A.f()B.f()dC.f()CD.f()d7.(1990年)设 f()是连续函数，且 F() （分数：2.00）A.e f(e )f()B.e f(e )f()C.e f(e )f()D.e f(e )f()8.(1991年)设函数 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.(1987年)f()d 1 a b f(2)d 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.(19
3、87年)积分中值定理的条件是 1，结论是 2（分数：2.00）填空项 1:_11.(1988年) （分数：2.00）填空项 1:_12.(1988年)设 f()连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_13.(1989年) 0 tsintdt 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(1989年)曲线 y 0 (t1)(t2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.(1989年)设 f()是连续函数，且 f()2 0 1 f(t)dt，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_16.(1990年) 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.(1990
4、年)下列两个积分大小关系式： -2 -1 d 1 -2 -1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.(1987年)求 （分数：2.00）_20.(1987年)求 0 1 arcsind（分数：2.00）_21.(1987年)求过曲线 y 2 1 上的一点，使过该点的切线与这条曲线及 ，y 轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少?（分数：2.00）_22.(1987年)求由曲线 y1sin 与直线 y0，0， 围成的曲边梯形绕 O 轴旋转而成旋转体体积 V（分数：2.00）
5、_23.(1988年)设 1，求 -1 (1t)dt（分数：2.00）_24.(1988年)设 f()在(，)内有连续导数，且 mf()Ma0 (1)求： -a a f(ta)f(ta)dt； (2)求证： （分数：2.00）_25.(1989年)求 （分数：2.00）_26.(1989年)已知 f(2) （分数：2.00）_27.(1989年)证明方程 ln （分数：2.00）_28.(1989年)设抛物线 ya 2 bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴及直线 1 所围成图形的面积为 （分数：2.00）_29.(1990年)计算 （分数：2.00）_30.(1990年)设
6、f() 1 dt，其中 0，求 f()f( （分数：2.00）_31.(1990年)过 P(1，0)作抛物线 y （分数：2.00）_32.(1991年) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 4答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1987年)设 It （分数：2.00）A.依赖于 s，tB.依赖于 s，t，C.依赖于 t，不依赖于 sD.依赖于 s不依赖于 t 解析：解析：3.(1988年)设 f()与 g()在(，
7、)上皆可导，且 f()g()，则必有 【 】（分数：2.00）A.f()g()B.f()g()C. D. 0 f(t)dt 0 g(t)dt解析：解析：由于 f()和 g()在(，)上皆可导，则必在(，)上连续，则 f()f( 0 )， g()g( 0 )，又 f()g() 从而 f( 0 )g( 0 )，即 4.(1988年)由曲线 y （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：V 0 d 0 sin 3 d (cos1)dcos 5.(1989年)曲线 ycos( （分数：2.00）A.B.C. D. 2解析：解析：6.(1990年)设函数 f()在(，)上连续，则 df()d等于
8、【 】（分数：2.00）A.f()B.f()d C.f()CD.f()d解析：解析：df()d(f()d)df()d7.(1990年)设 f()是连续函数，且 F() （分数：2.00）A.e f(e )f() B.e f(e )f()C.e f(e )f()D.e f(e )f()解析：解析：由于 8.(1991年)设函数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 01 时，F() 0 f(t)dt 0 t 2 dt 当 12 时，F()tdt(2t)dt 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.(1987年)f()d 1 a b f(2)d 2（分数：2.00）填空项 1:
9、_ （正确答案：正确答案：f()C）填空项 1:_ （正确答案：*f(2b)f(2a)）解析：解析：f()df()C10.(1987年)积分中值定理的条件是 1，结论是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f()在a，b上连续；在a，b内至少存在一点 ，使 f()(ba) a b ()d）解析：解析：由定积分中值定理： 若 f()在a，b上连续，则在a，b内至少存在一点 ，使 a b f()df()(ba)11.(1988年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(e 2 1)）解析：解析：12.(1988年)设 f()连续，且 （分数：2.00）填
10、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式 f(t)dt 两边对 求导得 3 3 f( 3 1)1 令 2 得 12f(7)1 则f(7) 13.(1989年) 0 tsintdt 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：14.(1989年)曲线 y 0 (t1)(t2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：y(1)(2)，y(0)2 则所求切线方程为 y02(0)，即 y215.(1989年)设 f()是连续函数，且 f()2 0 1 f(t)dt，则 f() 1（分数：2
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令 0 1 f(t)dta，则 f()2a将 f()2a 代入 0 1 f(t)dta，得 0 1 (t2a)dta 即 2aa 由此可得 a 16.(1990年) 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： t， 原式(t1)2tdt2(tt)dt17.(1990年)下列两个积分大小关系式： -2 -1 d 1 -2 -1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：“”）解析：解析：由于当 2，1时， ，则三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明
12、、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.(1987年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)当 a0，b0 时 原式 2)当 a0，b0 时 原式 3)当 a0 且b0 时 原式 )解析：20.(1987年)求 0 1 arcsind（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(1987年)求过曲线 y 2 1 上的一点，使过该点的切线与这条曲线及 ，y 轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 1 知 y2 则曲线 y 2 1 在点 0 处切线方程为 y( 0 2 1)2 0 ( 0 ) 该切
13、线在 轴和 y轴上的截距分别为 和 0 2 1，该切线与曲线， 轴、y 轴在第一象限围成平面图形的面积为 令 S( 0 )0 得 0 ，且有 S( 0 )0，由于极值点唯一，则 S( )为极小值也即是最小值，且最小值为 ，所求切点坐标为 )解析：22.(1987年)求由曲线 y1sin 与直线 y0，0， 围成的曲边梯形绕 O 轴旋转而成旋转体体积 V（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求体积 V 0 (sin1) 2 d 0 (sin 2 2sin1)d )解析：23.(1988年)设 1，求 -1 (1t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当10 时 )解析：24.(1
14、988年)设 f()在(，)内有连续导数，且 mf()Ma0 (1)求： -a a f(ta)f(ta)dt； (2)求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)由积分的不等式性质，及 mf()M 可知 m a -a f(t)dtM 又由 mf()M，得Mf()m 故(Mm) a -a f(t)dtf()Mm 则 a -a f(t)dtf()Mm 由于f(t)f()Mm 故 )解析：25.(1989年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(1989年)已知 f(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(1989年)证明方程
15、ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 F()0 得 e 当 0e 时，F()0，F()严格单调减少； 当 e时，F()0，F()严格单调增加，因此，F()在区间(0，e)，和(e，)内分别至多有一个零点 又 F(e 4 )e 3 2 40 由闭区间上连续函数的零点定理可知，F()在(e 3 ，e)和(e，e 4 )内分别至少有一个零点，综上所述，方程 ln )解析：28.(1989年)设抛物线 ya 2 bc 过原点，当 01 时，y0，又已知该抛物线与 轴及直线 1 所围成图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由抛物线 ya 2 bc 过原点可知，c0 所以，当 a ，b )解析：29.(1990年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：30.(1990年)设 f() 1 dt，其中 0，求 f()f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.(1990年)过 P(1，0)作抛物线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设过点(1，0)作抛物线 y 的切线的切点为( 0 ， )，由 y ，得 切线方程为 此切线过点(1，0)，即 切点(3，1)，切线方程为 y (1) 于是 )解析：32.(1991年) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
